- Περισσότερα για την εμβύθιση και τις γεωδαισίες.
Όλες οι επιφάνειες δεν μπορούν να εμβυθιστούν στο R³. Για παράδειγμα, θεωρήστε τη μετρική (134)
όπου Rs > 0 και r > 0
ορίζεται στο R modulo 2 
Με τις ειδικές αυτές συντεταγμένες [ r , ], αυτό το στοιχείο μήκους είναι κανονικό σχεδόν παντού (εκτός από το σημείο r = 0). Παρακάτω, δεν υπάρχει πρόβλημα. Ο ομοιόμορφος ομάδα της είναι O₂. Οι τροχιές της ομάδας είναι κύκλοι r = σταθερό. Μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτή η επιφάνεια μπορεί να εμβυθιστεί στο R³, όπου θα φαινόταν αξονικά συμμετρική γύρω από κάποιο άξονα z.
Υπάρχουν γεωδαισίες ( = σταθερό ). Μπορούμε να σκεφτούμε ότι είναι « μεριδιανές γραμμές » της επιφάνειας, και ότι η εξίσωση z ( ) μιας τέτοιας μεριδιανής μπορεί να κατασκευαστεί όπως είχαμε κάνει στην αρχή του άρθρου. Κατά μήκος των γεωδαισιών ( = σταθερό ): (135)
Αν αυτή η επιφάνεια μπορεί να εμβυθιστεί στο R³, κατά μήκος αυτών των γεωδαισιών: (136)
που δίνει: (137)
Συμπέρασμα: αυτή η επιφάνεια δεν μπορεί να εμβυθιστεί στο R³.
Αυτή η μετρική (135) υποδηλώνει κάποια απωστική δράση.
Όλες οι επιφάνειες, όπως ορίζονται από τη μετρική τους, δεν μπορούν να εμβυθιστούν. Εν πάση περιπτώσει, αυτές οι επιφάνειες « υπάρχουν », ακόμη και αν δεν μπορούμε να τις αγγίξουμε με τα χέρια μας. Θεωρήστε την εξής 3δ υπερεπιφάνεια, ορισμένη από: (138)
όπου Rs > 0 και r > 0
ορίζεται στο R modulo 2
Δεν μπορούμε να εμβυθιστούμε μια τέτοια υπερεπιφάνεια. Αλλά υπάρχει και διαθέτει « επίπεδες γεωδαισίες » ( 
= /2).
Μπορούμε να υπολογίσουμε το σύστημα γεωδαισιών αυτών των 2δ και 3δ υπερεπιφανειών. Μπορούμε να τις απεικονίσουμε σε ένα επίπεδο (r,). Είναι πραγματικές. (139)
Η απεικόνισή τους είναι ίδια με την απεικόνιση των δύο προηγούμενων επιφανειών, όπως ορίζονται από το στοιχείο μήκους (134). Αυτά τα δύο γεωμετρικά αντικείμενα είναι απλώς συνδεδεμένα.
Σχ. 25: Γεωδαισίες που αντιστοιχούν στα στοιχεία μήκους (134) και (138)
(Παρατηρήστε ότι είναι παρόμοια με μια δράση απωστικής φύσης).
Υπάρχει κάτι που προκαλεί απορία. Δεδομένου ενός στοιχείου μήκους, μπορούμε να υπολογίσουμε το σύστημα γεωδαισιών. Για παράδειγμα, αυτό της κλασικής αναπαράστασης της γεωμετρίας του Schwarzschild αντιστοιχεί σε: (140)
Μπορούμε να υπολογίσουμε τις καμπύλες r () που αντιστοιχούν σε αυτή τη διαφορική εξίσωση. Είναι πραγματικές, ακόμη και για τιμές r < Rs!
Σχ. 26: Πλήρης γεωδαισία που αντιστοιχεί στο στοιχείο μήκους του Schwarzschild.
Καταλαβαίνουμε γιατί οι φυσικοί ήταν εντύπωση, μετά την παρατήρηση αυτού του περίεργου αποτελέσματος. Αλλά υπάρχει μαθηματικό γεγονός: ένα στοιχείο μήκους μπορεί να παράγει ένα πραγματικό σύστημα γεωδαισιών, κάποια τμήματα των οποίων αντιστοιχούν σε φανταστικό μήκος ds.
Τι γίνεται με τη φυσική; Ταυτίζουμε το ds με ένα προσωπικό χρονικό βήμα. Προηγουμένως αποφασίσαμε να θεωρήσουμε ότι το φανταστικό ds δεν αντιστοιχεί σε φυσική διαδρομή, κάτι που μας ανάγκασε να επανεξετάσουμε τη «τοπολογία τοπικά» της υπερεπιφάνειας, αλλάζοντας τη «τοπολογία τοπικά σφαιροειδή» σε «τοπολογία τοπικά υπερτοροειδή».
Σε προηγούμενες εργασίες, οι άνθρωποι διατήρησαν την υπόθεση της «τοπολογίας τοπικά σφαιροειδή», πράγμα που έκανε τη φυσική ερμηνεία του «εσωτερικού» της σφαίρας Schwarzschild προβληματική. Στην αναφορά [1], στην ενότητα 6.8, διαβάζουμε:
(Στο εσωτερικό της σφαίρας Schwarzschild) θα φαινόταν φυσικό να ερμηνεύσουμε το r ως δείκτη χρόνου και το t ως δείκτη ακτινικής απόστασης (...) ... που θα σήμαινε ότι ds² < 0 κατά μήκος αυτής της γραμμής κόσμου.
- Αναλυτική επέκταση του Kruskal.
Στο κλασικό σύστημα συντεταγμένων [x° , r , , ], η ακτινική ταχύτητα του φωτός είναι: (141)
έτσι ώστε να τείνει προς μηδέν όταν το r τείνει στο Rs. Ο συλλογισμός του Kruskal είναι ο εξής (αναφορά [1], ενότητα 6.8).
Αυτό είναι ένα ανεπιθύμητο χαρακτηριστικό των συντεταγμένων Schwarzschild που μπορούμε να εξαλείψουμε ως εξής· αναζητούμε μια μετασχηματισμό για το r και το t σε νέες μεταβλητές u και v, όπου το στοιχείο μήκους παίρνει τη μορφή: (6.187)
...* φτάνουμε σε έναν κατάλληλο μετασχηματισμό για το εσωτερικό της ακτίνας Schwarzschild: (6.204)*
Ενώ, έξω από αυτή τη σφαίρα: (6.201)
Η βασική απαίτηση είναι ότι η f να είναι κανονική στη σφαίρα Schwarzschild r = Rs. Ακόμη από το [1]:
Έτσι το u χρησιμεύει ως γενικός δείκτης ακτινικής απόστασης, και το v χρησιμεύει ως γενικός δείκτης χρόνου.
Επιπλέον, από την (6.187), οι μηδενικές γεωδαισίες (ds = 0) δίνουν «σταθερή ταχύτητα φωτός»: (142)
Από την (6.201) βλέπουμε ότι όταν το r τείνει στο άπειρο, η f τείνει στο μηδέν, έτσι ώστε οι Adler, Schiffer και Bazin να λένε [1]:
Δεν αντιστοιχούν όμως σε σφαιρικές συντεταγμένες για επίπεδο χώρο σε ασυμπτωτική απόσταση, όπως κάνουν οι συντεταγμένες Schwarzschild.
Η μετρική του Kruskal είναι επίσης μια μη ιδιομορφή λύση των εξισώσεων Einstein σε αυτές τις περιοχές και είναι ισοδύναμη με τη λύση Schwarzschild, αλλά δεν έχει ιδιομορφία στην περιφέρεια (η σφαίρα Schwarzschild). Αυτή είναι μια αναλυτική επέκταση της πολλαπλότητας.
Ο Kruskal εστιάζει στο πρόβλημα σε αυτή την περιφέρεια, η οποία γίνεται μη ιδιομορφή, η ιδιομορφία εστιάζεται στο «γεωμετρικό κέντρο» όπου η f τείνει στο άπειρο. Ακόμη χρησιμοποιώντας την αναφορά [1], αναπαράγουμε την παράγραφο που αφιερώνεται στις ακτινικές τροχιές των φωτονίων προς τα μέσα:
Σε όρους u, v η τροχιά είναι απλή· σε όρους r και t, όμως, βλέπουμε ότι ξεκινά από κάποιο πεπερασμένο r > Rs και πεπερασμένο x°, κινείται προς τα μέσα προς r = Rs ενώ το x° τείνει στο άπειρο, και διασχίζει τη γραμμή x° = άπειρο προς το εσωτερικό της σφαίρας Schwarzschild. Μετά αυτού, το r συνεχίζει να μειώνεται κατά μήκος της τροχιάς, αλλά το x° μειώνεται. ... Η παρούσα ερμηνεία διευκρινίζει επίσης ότι το x° δεν είναι λογικός δείκτης χρόνου στο εσωτερικό της σφαίρας Schwarzschild.
Βλέπουμε ότι «τίποτα δεν είναι τέλειο». Με την ιδιαίτερη επιλογή συντεταγμένων, ο Kruskal καταφέρνει να διαχειριστεί τη διέλευση από τη σφαίρα Schwarzschild, περιορίζοντας το ιδιομορφικό χαρακτηριστικό της γεωμετρικής λύσης σε μια «κεντρική ιδιομορφία». Αλλά η μετρική δεν είναι πλέον Lorentzian στο άπειρο.
Αυτό δείχνει πώς η επιλογή των συντεταγμένων μεταβάλλει την ερμηνεία της λύσης. Η δική μας εισαγάγει μια αλλαγή στη «τοπολογία τοπικά» (υπερτοροειδής γέφυρα), αλλά απαλείφει κάθε ιδιομορφία.
- Επιστροφή στην εμβύθιση.
Το θεώρημα του Wiener-Graustein λέει ότι κάθε n-διάστατη επιφάνεια, με n > 2, μπορεί να εμβυθιστεί σε ένα χώρο του οποίου η ελάχιστη διάσταση είναι (143)
Για 4δ υπερεπιφάνειες, αυτό αντιστοιχεί σε έναν χώρο 10 διαστάσεων. Γνωρίζουμε ότι οι γεωδαισίες της γεωμετρίας Schwarzschild βρίσκονται σε επίπεδα. = p/2 αντιστοιχεί σε ένα από αυτά. Μπορούμε λοιπόν να εστιάσουμε σε ένα υποσύνολο των γεωδαισιών ( = p/2). Αυτές οι γεωδαισίες εξαρτώνται από δύο παραμέτρους l και h. Γνωρίζουμε ότι οι γεωδαισίες (l = 1) αντιστοιχούν σε σωματίδια των οποίων η ταχύτητα είναι μηδέν στο άπειρο. Επιπλέον, επιλέξτε το υποσύνολο των γεωδαισιών ( = σταθερό). Τότε: (144)
Εισαγάγετε μία επιπλέον συντεταγμένη z και γράψτε: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Μία διαφορική εξίσωση της οποίας η λύση είναι: (147)
Μπορούμε να απεικονίσουμε αυτές τις γεωδαισίες σε έναν 3δ χώρο [z, r, ]. Είναι μεριδιανές γραμμές μιας αξονικά συμμετρικής επιφάνειας.
Σχ. 27: Η μεριδιανή της επιφάνειας στην οποία γίνεται η ισομετρική εμβύθιση των γεωδαισιών Schwarzschild ( = σταθερό).
Σε 3δ χώρο, αυτή η επιφάνεια μοιάζει με το σχήμα 28 (μισή διατομή).
Σχ. 28: Η επιφάνεια εμβύθισης.
Αν σχεδιάσουμε τις «ακτινικές» γεωδαισίες πάνω της, παίρνουμε το σχήμα 29.
Σχ. 29: Απεικόνιση των «ακτινικών» γεωδαισιών. Κάτω: η προβολή τους σε ένα επίπεδο [r, ].
Είναι μια πολύ μερική εμβύθιση, γιατί περιορίζεται στο σύνολο των «ακτινικών» γεωδαισιών. Το σχήμα 29 υποδηλώνει μια πτυχή και υποδηλώνει εναντιομορφία. Πράγματι, θεωρήστε ένα σύνολο τριών σημείων που ακολουθούν ακτινικές γεωδαισίες. Παίρνουμε
Σχ. 30-α: Τρία σημειακά μάζες που πέφτουν προς το λαιμό κατά μήκος «ακτινικών» διαδρομών.
και:
Σχ. 30-β: Το ίδιο, μετά τη διέλευση του λαιμού.
Το τρίγωνο αντιστράφηκε.
Στην προβολή σε επίπεδο [r, ] η κατεύθυνση του τριγώνου αντιστράφηκε. Φανταστείτε τώρα τέσσερα δοκιμαστικά σωματίδια που ακολουθούν ακτινικές τροχιές, πέφτοντας προς τη σφαίρα Schwarzschild, δημιουργώντας ένα τετράεδρο. Δείτε το σχήμα 31.
Σχ. 31: Τέσσερα σωματίδια που πέφτουν στη σφαίρα Schwarzschild κατά μήκος «ακτινικών» γεωδαισιών σε έναν ευκλείδειο 3δ χώρο.
Σχ. 32: Μετά τη «αναπήδηση» στη σφαίρα Schwarzschild, τα σωματίδια κινούνται στον αντίστοιχο χώρο. Το τετράεδρο αντιστράφηκε (εναντιομορφία).
Επιστρέψτε στην προηγούμενη απεικόνιση. Ο διάνυσμα κάθετο είναι επίσης αντιστραμμένο:
Σχ. 33: Μια ιδιαίτερη γεωδαισία = σταθερό στην απεικόνισή της στο σύνολο των γεωδαισιών (l = 1), σε έναν χώρο (r, , z).