- Γεωδαισιακές
σε αναπαράσταση [r,j].
Εισάγοντας
την (6) στην (14), με dr = thr dr
παίρνουμε:
(17)
που δίνει
την αναπαράσταση [r, j]
των γεωδαισιακών. Όταν το r τείνει στο μηδέν, το dj/dr
τείνει σε μια πεπερασμένη τιμή, έτσι ώστε η εφαπτομένη της γωνίας βήματος:
(18)
τείνει στο
μηδέν στην αρχή. Η εικόνα του κύκλου του λαιμού Schwarzschild, σε μια τέτοια αναπαράσταση,
είναι ένα κωνικό σημείο.
Εικ.4
: Η γεωδαισιακή που φαίνεται στο σχήμα 3, σε σύστημα συντεταγμένων ( r , j
) .
Η διέλευση του κύκλου του λαιμού αντιστοιχεί στο σημείο O
Αυτή είναι μια
ισομετρική αναπαράσταση των γεωδαισιακών.
Σημειώνουμε ότι μπορούμε επίσης να παραστήσουμε την επιφάνεια σε αναπαράσταση [z, r ,j],
αλλά αυτή δεν είναι πλέον ισομετρική. Παίρνουμε τον σχετικό
μεσημβρινό:
(19)
Όταν το r
τείνει στο μηδέν, το z(r) είναι γραμμικό. Όταν τείνει στο άπειρο,
η συνάρτηση τείνει σε παραβολή.
Εικ.
5 : Μεσημβρινός της επιφάνειας, σε μη ισομετρική αναπαράσταση [ r, j ]
της επιφάνειας.
Η εικόνα
του κύκλου του λαιμού Schwarzschild, σε μια τέτοια αναπαράσταση, είναι ένα κωνικό σημείο.
- Επέκταση
σε μια σφαιρικά συμμετρική τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια.
Αυτό μπορεί
να επεκταθεί σε μια τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια, όπως περιγράφεται από το στοιχείο γραμμής:
(20)
Αυτή η μετρική
αναφέρεται σε μια τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια, εδώ εκφρασμένη σε σύστημα συντεταγμένων [ r , q
, j ]. Η μεταβλητή r δεν είναι μια "ακτινική απόσταση",
που αντιστοιχεί σε "σφαιρικές συντεταγμένες". Βρίσκουμε παρόμοιες παθολογίες
σε αυτό το νέο στοιχείο γραμμής, οι οποίες μπορούν να εξαλειφθούν, εισάγοντας την ίδια αλλαγή συντεταγμένων
(6).
[ r , q
, j ] � [ r , q , j ]
Τότε αυτό
το στοιχείο γραμμής γίνεται:
(21)
Η υπογραφή του
γίνεται ( + , + , + ) και η ορίζουσά του:
(22)
δεν μηδενίζεται
πλέον.
Οι γεωδαισιακές
αυτής της υπερεπιφάνειας βρίσκονται σε επίπεδα. Το q = p/2
είναι ένα από αυτά. Στην αναπαράστασή τους [ r , j ]
ταυτίζονται με εκείνες του σχήματος 2. Η ομάδα ισομετρίας είναι O3 και οι αντίστοιχες
τροχιές είναι σφαίρες. Μεταξύ αυτών, μία κατέχει ελάχιστο εμβαδόν (η σφαίρα λαιμού
αυτής της τρισδιάστατης τοροειδούς γέφυρας ). Οι μέγιστοι κύκλοι των σφαιρών-τροχιών
δεν είναι γεωδαισιακές καμπύλες, εκτός από τις ιδιαίτερες που βρίσκονται στη σφαίρα λαιμού
της οποίας η περίμετρος είναι 2 p Rs. Οι γεωδαισιακές αυτής της
ιδιαίτερης σφαίρας είναι οι μόνες κλειστές. Μπορούμε να ονομάσουμε αυτό το ιδιαίτερο γεωμετρικό
αντικείμενο υπερτοροειδή γεωμετρία . Αυτή η τρισδιάστατη επιφάνεια δεν είναι απλά συνεκτική.
Κατέχει μια μοναδική τρισδιάστατη πτυχή, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο δύο φραγμένων μισών
τρισδιάστατων πτυχών, κολλημένων μεταξύ τους κατά μήκος του σφαιρικού τους συνόρου (η σφαίρα λαιμού). Σε
μεγάλη απόσταση από αυτή την "υπερτοροειδή γέφυρα" η μετρική τείνει
στην ευκλείδεια, εφεξής γραμμένη σε σφαιρικές συντεταγμένες:
(23)
ds2
= dr2 + r2 ( dq2
- sin2q dj2
)
- Γεωμετρία
Schwarzschild.
Κλασικά θεωρείται ότι η ομάδα ισομετρίας της είναι SO3 X
R όπου το R αναφέρεται σε μονοδιάστατες μεταθέσεις. Τότε συνηθίζεται να λέγεται ότι
αυτή η μετρική είναι χρονοανεξάρτητη και σφαιρικά συμμετρική, θεωρώντας ότι
το R αντιστοιχεί σε χρονικές μεταθέσεις.
Εκφρασμένο σε σύστημα συντεταγμένων [ x� ,
r , q , j ], όπου το x� είναι ο δείκτης χρόνου,
το στοιχείο γραμμής είναι
(24)
Κλασικά, γράφεται x� = ct , το οποίο υποτίθεται ότι ορίζει τον κοσμικό χρόνο
t του "εξωτερικού παρατηρητή". Όταν r >> Rs η (21) τείνει στη
μετρική Minkowski. Κλασικά το r αφομοιώνεται με μια ακτινική συντεταγμένη. Η (21)
δείχνει μια ανωμαλία του όρου grr και μια αλλαγή της υπογραφής όταν r =
Rs .
Για άλλη μια φορά μπορούμε να κανονικοποιήσουμε αυτή τη μετρική, χρησιμοποιώντας την αλλαγή συντεταγμένων (6), μεταβαίνοντας
σε σύστημα [t, r , q , j ].
Τότε το στοιχείο γραμμής γίνεται:
(25)
Οι τροχιές
της ομάδας ισομετρίας O3 είναι σφαίρες. Μεταξύ αυτού του συνόλου, μία, η σφαίρα λαιμού
(σφαίρα Schwarzschild) κατέχει ελάχιστο εμβαδόν. Η υπερεπιφάνεια δεν είναι απλά συνεκτική.
Σχηματίζει μια μοναδική πτυχή χωροχρόνου, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο δύο μισών
τετραδιάστατων πτυχών χωροχρόνου (δίδυμες πτυχές), η πρώτη αντιστοιχεί σε
r > 0 και η δεύτερη σε r < 0 , οπότε
η σφαίρα λαιμού αντιστοιχεί σε r = 0. Μπορούμε να υπολογίσουμε
τις γεωδαισιακές, που βρίσκονται στο επίπεδο q = p/2
. Ακολουθώντας: "σφαιρικές συντεταγμένες":
Εικ.6 :
Σφαιρικές συντεταγμένες.
το στοιχείο
είναι dr2 = r2 ( dq2
- sin2q dj2
)
Οι κύκλοι j = σταθερά είναι γεωδαισιακές της σφαίρας
αλλά, προφανώς, δεν αντιπροσωπεύουν όλες τις γεωδαισιακές της επιφάνειας. Μόνο
εκείνες που διέρχονται από δύο αντιποδικά σημεία (πόλους).
Οι κύκλοι
q = σταθερά δεν είναι γεωδαισιακές, εκτός από εκείνη που
αντιστοιχεί σε q = p/2 (ισημερινός).
Σε σύστημα συντεταγμένων [
r � Rs , j ] αυτές οι (μη μηδενικού μήκους) γεωδαισιακές αντιστοιχούν σε:
(26)
Η επιλογή
του συνόλου των σταθερών [ l , h ] καθορίζει τη γεωδαισιακή. Μεταξύ αυτών βρίσκουμε
γεωδαισιακές που μοιάζουν με υπερβολές, οι οποίες δεν τέμνουν τη σφαίρα λαιμού r = Rs. Βλέπε
σχήμα 7.
Σχήμα
7 : Γεωμετρία Schwarzschild. Αναπαράσταση [ r ,
j ] επίπεδης γεωδαισιακής που μοιάζει με υπερβολή
η οποία δεν τέμνει τη σφαίρα
λαιμού r = Rs
Βρίσκουμε επίσης σχεδόν ελλειπτικές
γεωδαισιακές. Βλέπε σχήμα 8
Εικ.
8 : Γεωμετρία Schwarzschild. Αναπαράσταση [
r , j ]
σχεδόν ελλειπτικών γεωδαισιακών.
Τώρα ας
εστιάσουμε στις γεωδαισιακές που τέμνουν τη σφαίρα λαιμού r = Rs. Σε αναπαράσταση [ r ,
j ], ας ονομάσουμε a τη γωνία μεταξύ
της εφαπτομένης στη γεωδαισιακή και του ακτινικού διανύσματος.
(27)
Η πρώτη
εξίσωση Lagrange δίνει:
(28)
Για τιμές r
� Rs η παράμετρος l είναι αυστηρά θετική.
Μια άλλη εξίσωση Lagrange είναι:
(29)
και δίνει μια μονότονη
εξέλιξη της γωνίας j ως προς τον ιδιόχρονο
s. Σε αυτό το επίπεδο (q = p/2 ) η περιδίνηση εξαρτάται
από το πρόσημο του h .
Σύμφωνα με αυτή τη νέα
ερμηνεία της γεωμετρίας Schwarzschild (θεωρούμενης ως μη απλά συνεκτικής
υπερεπιφάνειας) μπορούμε να παραστήσουμε τη γεωδαισιακή σε αναπαράσταση [ r , j ]
όπως φαίνεται στο σχήμα 9.
Σχήμα
9a : Αναπαράσταση [ r , j ] γεωδαισιακής
που τέμνει τη σφαίρα λαιμού**(σφαίρα Schwarzschild) που αντιστοιχεί σε h � Rs**
Ένα τμήμα της γεωδαισιακής έχει σχεδιαστεί ως διακεκομμένη γραμμή, γιατί υποτίθεται
ότι ανήκει στη δεύτερη μισή τρισδιάστατη πτυχή, συνδεδεμένη με την πρώτη κατά μήκος της σφαίρας λαιμού,
της σφαίρας Schwarzschild. Υποδηλώνει ένα σπάσιμο. Αλλά αυτό οφείλεται σε αυτό το ιδιαίτερο
σύστημα αναπαράστασης [ r , j ], το οποίο είναι πιο
οικείο στη (φτωχή) ανθρώπινη γεωμετρική μας διαίσθηση. Σε τρισδιάστατο χώρο αναπαράστασης
παίρνουμε το σχήμα 9b. Τα σωματίδια μοιάζουν να "αναπηδούν" στη σφαίρα
Schwarzschild.
Εικ.9b :
Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο αναπαράστασης τα σωματίδια
μοιάζουν να αναπηδούν
στη σφαίρα Schwarzschild.
Από αυτή την
άποψη, "δεν υπάρχει τίποτα μέσα στη σφαίρα Schwarzschild",
γιατί, σε αυτό το "εσωτερικό" είμαστε απλώς "έξω από την υπερεπιφάνεια".
Υπενθυμίζουμε ότι η σφαίρα λαιμού, η σφαίρα Schwarzschild αντιστοιχεί στην
τιμή r = 0. Η πρώτη μισή πτυχή αντιστοιχεί σε (
r > 0 ) και η δεύτερη σε ( r <
0 ) .
Σε αναπαράσταση [ r , j ], η όψη της
γεωδαισιακής γίνεται αρκετά διαφορετική. Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη της γωνίας b
, μεταξύ της γεωδαισιακής και του διανύσματος ακτίνας (βλέπε σχήμα 6).
(30)
Όταν το r
τείνει στο � 0 thr � r ,
οπότε:
(31)
Στην αναπαράσταση [ r , j ] οι γεωδαισιακές που
πηγαίνουν από τη μια μισή πτυχή στην άλλη είναι εφαπτόμενες στο ακτινικό διάνυσμα. Δεν
υπάρχει πλέον γωνιακή ασυνέχεια στην αρχή, καθώς αυτή είναι η
εικόνα του κύκλου λαιμού ( r = 0 ). Για να πάρουμε μια πλήρη
περιγραφή αυτών των γεωδαισιακών πρέπει να επιστρέψουμε στο στοιχείο γραμμής, όπως εκφράζεται
στο σύστημα συντεταγμένων [ t = x�/c, r , q , j ]
(24), χρησιμοποιώντας το σύστημα εξισώσεων Lagrange, με:
(32)
Μεταξύ αυτών των
εξισώσεων, βρίσκουμε:
(33)
Για μια
δεδομένη τιμή h η εξέλιξη του j είναι μονότονη, ως προς τον ιδιόχρονο
s.
Εικ.
10 : Αναπαράσταση [ r , j ] γεωδαισιακής
που περνά
από μια μισή πτυχή
( r > 0 ) στην άλλη (
r < 0 ).
Όπως και πριν,
το τμήμα της γεωδαισιακής που ανήκει στη δεύτερη μισή τρισδιάστατη πτυχή έχει
σχεδιαστεί ως διακεκομμένη γραμμή.
Δεν μπορούμε να δώσουμε μια ενσωμάτωση της τετραδιάστατης υπερεπιφάνειας, όπως κάναμε στην αρχή
της εργασίας για μια δισδιάστατη επιφάνεια. Παρεμπιπτόντως, ασχολούμαστε με τετραδιάστατες γεωδαισιακές, όχι τρισδιάστατες.
Οι χώροι [ r , q , j ] και [ r ,
q , j ] δεν είναι παρά χώροι αναπαράστασης, οι οποίοι υποτίθεται
ότι κάνουν τα πράγματα λίγο πιο ξεκάθαρα. Οι πραγματικές γεωδαισιακές είναι εγγεγραμμένες σε
έναν τετραδιάστατο χώρο. Εν πάση περιπτώσει, η αναπαράσταση [ r , q , j ]
υποδηλώνει κάποια τρισδιάστατη "υπερτοροειδή γέφυρα", οπότε η αναπαράσταση [
r , q , j ] υποδηλώνει κάποιον τρισδιάστατο "υπερκώνο". Σε
αυτή τη δεύτερη (τρισδιάστατη) αναπαράσταση μιας τέτοιας δισδιάστατης επιφάνειας υπάρχουν γεωδαισιακές που
πηγαίνουν από τη μια μισή πτυχή στην άλλη, περνώντας από το σημείο (
r = 0 ). Αυτό είναι παρόμοιο με έναν δισδιάστατο κώνο. Βλέπε σχήμα 11
Εικ. 11
: Γεωδαισιακή ενός κώνου. Δεξιά:
μια
επιφάνεια που κατέχει κωνικό σημείο.