- Η επιλογή ενός χρονικού δείκτη.
Στις συντεταγμένες [ t , r , q , j ], που αντιστοιχούν στο στοιχείο γραμμής (25), η ορίζουσα της μετρικής είναι:
(34)
η οποία μηδενίζεται όταν το r γίνεται μηδέν. Πάντως, το 1924, ο Eddington [10] έδειξε ότι η μηδενική τιμή της μετρικής εξαρτάται από τις συντεταγμένες. Ας επιστρέψουμε πρώτα στην αρχική μορφή
(35)
Επιμείνετε στο γεγονός ότι η επιλογή του συστήματος συντεταγμένων είναι καθαρά αυθαίρετη, καθώς η μετρική, ως λύση της εξίσωσης σε τανυστική μορφή
(36)
S
= 0
είναι βασικά αναλλοίωτη ως προς τις συντεταγμένες. Αποφασίζουμε ότι τα σωματίδια ακολουθούν γεωδαισιακές. Οι αυθαίρετα επιλεγμένες συντεταγμένες προσδίδουν τη φυσική σημασία σε αυτή τη γεωμετρική λύση. Μπορούμε να επιλέξουμε x⁰ = ct, όπου το c είναι μια σταθερά. Αλλά μπορούμε να επιλέξουμε ένα άλλο σύστημα αναφοράς. Εναπόκειται σε εμάς. Η μόνη απαίτηση, για έναν επιλεγμένο χρονικό δείκτη x⁰, ή t , x , είναι η μετρική να είναι ασυμπτωτικά ευκλείδεια:
(37)
ή:
(38)
όπως εκφράζεται σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Θυμηθείτε ότι μια ριμανική μετρική είναι ευκλείδεια αν μπορεί να βρεθεί ένα σύστημα συντεταγμένων όπου η τετραγωνική μορφή του στοιχείου γραμμής έχει σταθερούς συντελεστές. Το σύνολο των προσήμων είναι η υπογραφή.
Αν αυτή είναι ( + - - - ), τότε πρόκειται για μετρική Minkowski.
(39)
ταυτιζόμενη με ένα στοιχειώδες διάστημα, φαίνεται εύλογη απαίτηση να επιβληθεί στη μετρική να είναι ασυμπτωτικά ευκλείδεια «σε μεγάλη απόσταση», ανεξάρτητα από τον ορισμό που θα επιλεγεί για μια τέτοια απόσταση ( r ή r , όπως παραπάνω).
Ο ορισμός του «κοσμικού χρόνου» ή του «χωρικού δείκτη» παραμένει μια εντελώς ελεύθερη επιλογή. Αντιστρόφως, δεν μπορούμε να τροποποιήσουμε τον ιδιοχρόνο s, ή, πιο ακριβώς, το χρονικό διάστημα Ds μεταξύ δύο δεδομένων σημείων της πολλαπλότητας, καθώς είναι βασικά ανεξάρτητο από τις συντεταγμένες. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι τα σωματίδια μπορούν να ταξιδέψουν και προς τις δύο κατευθύνσεις, κατά μήκος μιας δεδομένης γεωδαισιακής.
Σχ. 12 : Η κίνηση ενός σωματιδίου σε μια δεδομένη γεωδαισιακή.
Η κίνηση ενός δοκιμαστικού σωματιδίου κατά μήκος μιας γεωδαισιακής είναι ένα φαινόμενο. Μια άλλη γεωδαισιακή της πολλαπλότητας υποτίθεται ότι αναφέρεται σε κάποιον «εξωτερικό παρατηρητή, σε ηρεμία». Αλλά η κατάσταση ηρεμίας εξαρτάται από την επιλογή των συντεταγμένων (x⁰, x1 , x2 , x3) , η οποία είναι εντελώς αυθαίρετη.
Αυτός ο «εξωτερικός παρατηρητής» υποτίθεται ότι βρίσκεται σε μια περιοχή της πολλαπλότητας όπου η μετρική είναι ευκλείδεια, ή σχεδόν ευκλείδεια, δηλαδή έχει τη μορφή (37). Τότε, οι συνθήκες ηρεμίας σημαίνουν ότι
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Για έναν τέτοιο παρατηρητή σε ηρεμία, οποιοδήποτε ιδιοχρονικό διάστημα ταυτίζεται με το αντίστοιχο αυθαίρετα επιλεγμένο «κοσμικό χρονικό διάστημα»:
(41)
Ds
= Dx⁰
...Η επιλογή του κοσμικού χρόνου being being being purely arbitrarly, η εξέλιξη του δοκιμαστικού σωματιδίου στον χρόνο εξαρτάται από αυτή την επιλογή. Θεωρήστε δύο σημεία Α και Β, σε μια δεδομένη γεωδαισιακή, η οποία υποτίθεται ότι αναφέρεται σε έναν εξωτερικό παρατηρητή. Αυτά τα σημεία είναι χωροχρονικά γεγονότα. Στο σχήμα 13, οι διακεκομμένες γραμμές υποτίθεται ότι αναφέρονται σε σταθερό κοσμικό χρόνο x⁰.
Σχ. 13 : Ένας «εξωτερικός παρατηρητής σε ηρεμία», «θεωρώντας» την εξέλιξη
ενός δοκιμαστικού σωματιδίου σε μια γεωδαισιακή. Κοσμικός χρόνος x⁰
Θεωρήστε τώρα μια άλλη επιλογή x για τον κοσμικό χρόνο. Δείτε το σχήμα 14.
Σχ. 14 : Ένας «εξωτερικός παρατηρητής σε ηρεμία», «θεωρώντας» την εξέλιξη
ενός δοκιμαστικού σωματιδίου σε μια γεωδαισιακή. Κοσμικός χρόνος x
Ας διευκρινίσουμε ότι οι διακεκομμένες γραμμές δεν είναι τροχιές φωτονίων. Τα φωτόνια ταξιδεύουν σε ιδιόμορφες, μηδενικές γεωδαισιακές, οι οποίες είναι αναλλοίωτες ως προς τις συντεταγμένες.
Έχουμε ακόμα Ds(O) = Dx⁰ = Dx αλλά τα διαστήματα Ds'(TP) και Ds"(TP) μπορεί να διαφέρουν αρκετά, αν και αναφέρονται στην ίδια γεωδαισιακή, καθώς τα ζεύγη (A',B') και (A",B") μπορεί να διαφέρουν. Βασικά, εξαρτώνται από την επιλεγμένη χρονική συντεταγμένη, ή «χρονικό δείκτη».
- Ο μετασχηματισμός χρονικής συντεταγμένης του Eddington και η εκτεταμένη του μορφή.
Ο ακόλουθος μετασχηματισμός συντεταγμένων, που εισήχθη από τον Eddington το 1924, ως παράδειγμα αυτού του σημείου, είναι:
(42)
Τότε το στοιχείο γραμμής γίνεται
(43)
Καθώς ο όρος gxx μηδενίζεται στη σφαίρα r = Rs , αυτή τελευταία είναι μια επιφάνεια άπειρης ερυθρομετάθεσης (όπως στο κλασικό στοιχείο γραμμής της μετρικής Schwarzschild). Ο πίνακας γίνεται:
(44)
η ορίζουσα του οποίου είναι:
(45)
- r 4
sin2 q
και δεν μηδενίζεται πλέον, ανεξάρτητα από την τιμή του r. Για λόγους που θα εξηγηθούν αργότερα, ας επεκτείνουμε αυτόν τον μετασχηματισμό συντεταγμένων σε:
(46)
Εκφρασμένο με το σύστημα συντεταγμένων ( x , r , q , j ), το στοιχείο γραμμής γίνεται:
(47)
η ορίζουσα του οποίου έχει την ίδια μορφή (44). Σημειώστε ότι ο μετασχηματισμός συντεταγμένων του Eddington αντιστοιχεί στην τιμή d = - 1.
Μελετούμε τις γεωδαισιακές, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Lagrange, βασισμένες στη συνάρτηση:
(48)
με:
Επιπλέον, από την έκφραση του στοιχείου γραμμής, έχουμε, κλασικά, για υλικά σωματίδια (ds ² 0) :
(49)
Μια εξίσωση Lagrange δίνει:
(50)
Θεωρήστε την επίπεδη γεωδαισιακή q = p/2 , η οποία δίνει:
(51)
Κατά μήκος μιας γεωδαισιακής, ως προς τον ιδιοχρόνο s, η εξέλιξη του j είναι μονότονη. Μια άλλη εξίσωση Lagrange δίνει:
(52)
δηλαδή:
(53)
Συνδυάζοντας με την (49), εκπληκτικά, το d εξαφανίζεται:
(54)
Σημειώστε ότι αν dr = 0 (μηδενική ταχύτητα) όταν το r τείνει στο άπειρο, αυτό αντιστοιχεί σε l = 1. Όταν το r τείνει στο άπειρο, μετά την (53):
(55)
Αν l ¹ 1 , όταν το r τείνει στο άπειρο, παίρνουμε:
(56)
με
παίρνουμε
(57)
Στο [ r , j ] βρίσκουμε ξανά, για μη μηδενικές γεωδαισιακές (ds ² 0), τη διαφορική έκφραση της κλασικής μορφής:
(58)
η οποία παρέχει τα σχήματα των εικόνων 7, 8 και 9. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε έναν νέο κοσμικό χρόνο, μέσω:
(59)
x = ct
...Το στοιχείο γραμμής (43) παραμένει ασυμπτωτικά ευκλείδειο. Σε «μεγάλη απόσταση», ο ιδιοχρόνος Ds ενός παρατηρητή σε ηρεμία ταυτίζεται με το διάστημα Dt.
- Χρονικά διαστήματα για ακτινικές τροχιές.
Μπορούμε να υπολογίσουμε το χρονικό διάστημα Dt = Dx/c ενός σωματιδίου μη μηδενικής μάζας, ακολουθώντας μια γεωδαισιακή, μέσω της διαφορικής εξίσωσης:
(60)
Για «ακτινικές γεωδαισιακές» ( h = 0 ) :
(61)
Κοντά στη σφαίρα Schwarzschild, παίρνουμε:
(62)
l =
1 αντιστοιχεί σε ένα δοκιμαστικό σωματίδιο του οποίου η ταχύτητα τείνει στο μηδέν στο άπειρο.
Θεωρήστε αυτή την ιδιόμορφη περίπτωση:
(63)
Από την (54)
n
= - 1 αντιστοιχεί σε τροχιές (dr < 0).
n
= +1 αντιστοιχεί σε τροχιές (dr > 0).
...Σημειώστε ότι ο ιδιόμορφος μετασχηματισμός συντεταγμένων του Eddington αντιστοιχεί (για
r ³ Rs) σε d = + 1 . Όταν υπολογίζουμε τον ακτινικό χρόνο ταξιδιού Dt ενός δοκιμαστικού σωματιδίου, ως προς αυτόν τον νέο κοσμικό χρόνο, βρίσκουμε ότι αυτός εξαρτάται από την κατεύθυνση αυτής της κίνησης και από το πρόσημο του d, δηλαδή από το γινόμενο dn. Όταν είναι θετικό, ο χρόνος ταξιδιού ενός δοκιμαστικού σωματιδίου, κατά μήκος μιας ακτινικής γεωδαισιακής (r ³
Rs) είναι πεπερασμένος. Όταν είναι αρνητικό, αυτός ο χρόνος ταξιδιού γίνεται άπειρος.
...Ως πρώτη συνέπεια, αν εφαρμοστεί στο μοντέλο σφαιρικά συμμετρικής μαύρης τρύπας, ο μετασχηματισμός συντεταγμένων του Eddington δίνει έναν πεπερασμένο χρόνο ελεύθερης πτώσης Dt.
Όταν r = Rs η ταχύτητα του σωματιδίου γίνεται:
(64)
Ένα δοκιμαστικό σωματίδιο, πέφτοντας προς τη σφαίρα Schwarzschild, την φτάνει με ταχύτητα c.
- Ταχύτητα του φωτός.
Τα φωτόνια ταξιδεύουν σε μηδενικές γεωδαισιακές, που αντιστοιχούν σε:
(65)
Θεωρήστε την ταχύτητα:
(66)
Από την (65) παίρνουμε:
(67)
Όταν το r τείνει στο άπειρο, το vj τείνει σε ± c .
Όταν dr
< 0 έχουμε n < 1 . Τότε, όταν r = Rs για τροχιές (d
r< 0) :
(68)
Όταν ένα δοκιμαστικό σωματίδιο πέφτει προς τη σφαίρα Schwarzschild, κατά μήκος ακτινικών τροχιών, την φτάνει με την ταχύτητα του φωτός.
Για σύνοψη:
(69)
(70)
Η ταχύτητα του φωτός είναι διαφορετική, λαμβάνοντας υπόψη τροχιές (dr > 0) ή (d r< 0).
- Το φαινόμενο παρασύρσης συστήματος αναφοράς (frame-dragging).
Θεωρήστε τη μετρική Kerr:
(71)
όπου r είναι μια χωρική συντεταγμένη διαφορετική από αυτήν που ορίστηκε παραπάνω. Αναπαράγουμε απλώς την εξίσωση 7.110 της αναφοράς [1].
Υπολογίστε την ταχύτητα του φωτονίου (ds = 0) για κινήσεις που είναι εφαπτόμενες σε κύκλους (q = p/2, r =
σταθερό). Βρίσκουμε:
(72)
δηλαδή δύο διακριτές τιμές. Αυτό αντιστοιχεί σε αζιμουθιακή παρασύρση συστήματος αναφοράς και είναι ιδιότητα της μετρικής Kerr. Από την αναφορά [1], 7.7, «Η λύση Kerr και η περιστροφή» διαβάζουμε:
Ένα πολύ ενδιαφέρον φυσικό φαινόμενο προκύπτει από τον περιστροφικό χαρακτήρα της λύσης Kerr. Ένα σώμα σε γεωδαισιακή κίνηση υφίσταται μια δύναμη ανάλογη με την παράμετροa που θυμίζει δύναμη Coriolis. Χαλαρά μιλώντας, μπορούμε να σκεφτούμε την περιστρεφόμενη πηγή ως «παρασύροντας» τον χώρο μαζί της. Με μαχική έννοια, οι πηγές «ανταγωνίζονται» με τις οριακές συνθήκες Lorentz στο άπειρο στην εγκαθίδρυση ενός τοπικού αδρανειακού συστήματος.
Επαναδιατυπωμένο με όρους των συντεταγμένων του Eddington, η μαύρη τρύπα, θεωρούμενη ως η πηγή του πεδίου, επάγει μια ακτινική παρασύρση συστήματος αναφοράς.
- Μαύρη τρύπα και λευκή πηγή.
Στην ενότητα 4 προτείναμε μια νέα ερμηνεία της γεωμετρίας Schwarzschild όπου η σφαίρα Schwarzschild, δείτε το σχήμα 9, συμπεριφέρεται σαν σφαίρα λαιμού, συνδέοντας δύο «μισές πτυχές του χωροχρόνου». Μπορούμε να φανταστούμε μια παρόμοια δομή, συνδυάζοντας τις δύο ακόλουθες γεωμετρίες Schwarzschild:
(73)
(74)
Αυτές οι δύο προέρχονται από την (43), το πρώτο στοιχείο γραμμής (73) αντιστοιχεί σε d = -1 και το δεύτερο (74) σε d
= +1 . Η σύνδεση δεν δημιουργεί δυσκολία καθώς το d δεν εμφανίζεται στον υπολογισμό της αναπαράστασης [ r, j ] των γεωδαισιακών. Δείτε την εξίσωση (58). Παίρνουμε ένα ζεύγος «μαύρη τρύπα-λευκή πηγή», χωρίς «κεντρική ανωμαλία». Η ύλη μπορεί να εισέλθει στη μαύρη τρύπα, αλλά όχι να βγει. Από την άλλη πλευρά, η ύλη μπορεί να εκρέει από τη λευκή πηγή, αλλά να μην εισέλθει. Ο χρόνος διέλευσης είναι πεπερασμένος στη μία κατεύθυνση και άπειρος κατά μήκος της άλλης. Υπολογισμένος με τον νέο κοσμικό χρόνο x, ο πεπερασμένος χρόνος διέλευσης είναι παρόμοιος με αυτόν που υπολογίζεται με τον ιδιοχρόνο s. Για ακτινικές τροχιές:
(75)
Αυτός ο χρόνος είναι πολύ σύντομος. Όπως δείχτηκε σε αυτή την εργασία, το μοντέλο της μαύρης τρύπας βασίζεται σε μια ιδιόμορφη επιλογή των συντεταγμένων, και ιδιαίτερα του κοσμικού χρόνου. Όπως επισημάνθηκε στην ενότητα 6, η επιλογή του χρονικού δείκτη είναι καθαρά αυθαίρετη. Η κλασική δίνει ένα σχεδόν σταθερό σύστημα, όπου η πτώση της ύλης, που χύνεται στη μαύρη τρύπα, είναι «παγωμένη στον χρόνο», ως προς έναν εξωτερικό παρατηρητή. Αλλά η παρούσα εργασία δείχνει ότι μια άλλη επιλογή του χρονικού δείκτη, προερχόμενη από την ιδέα του Eddington, «ξεπαγώνει» τη διαδικασία. Από αυτή την οπτική γωνία, οι μαύρες τρύπες, ή τα ζεύγη μαύρης τρύπας-λευκής πηγής, δεν μπορούν να υπάρξουν ως μόνιμα αντικείμενα, καθώς μπορούν να καταπιούν δεκάδες ηλιακές μάζες ανά χιλιοστό του δευτερολέπτου. Έτσι, υπάρχει ακόμα ένα ανοιχτό ερώτημα:
- Τι συμβαίνει όταν ένα αστέρι νετρονίων ξεπερνά το όριο σταθερότητάς του;
- Χώρος αναπαράστασης.
Πριν προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε ένα εναλλακτικό σχέδιο μοντέλου, λίγα λόγια για αυτό που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «χώρους αναπαράστασης». Στην αρχή της εργασίας, μελετήσαμε μια 2d επιφάνεια, όπως ορίζεται από το στοιχείο γραμμής της. Φάνηκε δυνατή η ενσωμάτωση αυτής της επιφάνειας στο R3, που έδωσε ως ισομετρική αναπαράσταση αυτού του γεωμετρικού αντικειμένου. Παρεμπιπτόντως, αναφέραμε μια αναπαράσταση [r,j].
Δεν είναι δυνατή η παροχή μιας προφανούς αναπαράστασης μιας τετραδιάστατης υπερεπιφάνειας καθώς δεν μπορούμε να τη σχεδιάσουμε και να δείξουμε σχήματα. Αλλά η υπερεπιφάνεια μπορεί να απεικονιστεί σε πολλούς χώρους αναπαράστασης, που αντιστοιχούν σε διάφορες επιλογές συντεταγμένων, καθώς το αντικείμενο είναι βασικά αναλλοίωτο ως προς τις συντεταγμένες. Μπορούμε, για παράδειγμα, να εισάγουμε τον μετασχηματισμό (6). Τότε το στοιχείο γραμμής γίνεται:
(76)
για r
0
και:
(77)
για r
< 0.
Οι «ακτινικές» γεωδαισιακές (Για παράδειγμα q = p/2 , dj
= 0 ) εστιάζουν στο γεωμετρικό κέντρο O του συστήματος (σε αυτή την ιδιόμορφη αναπαράσταση). Αυτό το σημείο είναι συγκρίσιμο με ένα «υπερκωνικό σημείο».
Μια συμμετρία ως προς ένα σημείο, σε έναν 3d χώρο, είναι μια συμμετρία P.
Σε αυτό το [ t , r , q , j ] το στοιχείο γραμμής του Schwarzschild είναι συμμετρικό ως προς P. Είναι επίσης ανεξάρτητο του χρόνου (αναλλοίωτο μέσω χρονικής μετάθεσης, δηλαδή αντιστοιχεί σε σταθερή κατάσταση) και συμμετρικό ως προς T, αναλλοίωτο μέσω:
t →
- t