- Ομάδες
ισομετρίας.
Έστω a ένας πίνακας στροφής 3D. Γράφουμε:
(78)
Το στοιχείο της ομάδας SO3
x R μπορεί να παρασταθεί από τον πίνακα:
(79)
ο οποίος είναι
το γινόμενο δύο πινάκων. Ο πρώτος:
(80)
ανήκει
στην SO3.
και ο
δεύτερος:
(81)
ανήκει
στην ομάδα χρονικής μετάθεσης R. Εισάγουμε
τις συμμετρίες P και T. Παίρνουμε μια ομάδα τεσσάρων συνιστωσών, της οποίας το στοιχείο είναι:
(82)
Είναι το
γινόμενο δύο πινάκων:
(83)
και:
(84)
Ας
ονομάσουμε αυτή τη δεύτερη υποομάδα E1 (μονοδιάστατη Ευκλείδεια ομάδα).
Στην αναπαράσταση [ t , r , q
, j ] η ομάδα ισομετρίας είναι O3 x
E1
Ας επιστρέψουμε στην έκφραση
του στοιχείου γραμμής στο σύστημα συντεταγμένων [t , r ,q, j]:
(85)
...Κλασικά,
θεωρείται ότι η σχετιζόμενη ομάδα ισομετρίας είναι SO3 x R , η οποία δεν είναι η
μεγαλύτερη. Είναι O3 x E1, διότι το στοιχείο γραμμής είναι επίσης αναλλοίωτο υπό χωρικές
και χρονικές αναστροφές.
Τώρα, θεωρούμε
το στοιχείο γραμμής εκφρασμένο στην "εκτεταμένη Eddington" μορφή
(86)
την οποία
γράφουμε:
(87)
Εισάγοντας
καρτεσιανές χωρικές συντεταγμένες [ x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
Τότε το
στοιχείο γραμμής μπορεί να εκφραστεί ως προς τις συντεταγμένες [x ,x1,x2,x3].
(91)
Τώρα αναζητούμε την ομάδα ισομετρίας της μετρικής, όπως εκφράζεται σε αυτό το ιδιόμορφο
σύστημα συντεταγμένων.
Έχουμε πρώτα τη συμμετρία P.
Το στοιχείο γραμμής είναι αναλλοίωτο υπό:
(92)
x1 �
- x1
x2 �
- x2
x3 �
- x3
Είναι επίσης
αναλλοίωτο υπό την αλλαγή:
(93)
x �
- x
d �
- d
Και υπό
χρονικές μεταθέσεις: x = x + e. Αντιστοιχεί στην ακόλουθη ομάδα τεσσάρων συνιστωσών:
Το στοιχείο της
είναι το γινόμενο δύο πινάκων. Το πρώτο σύνολο
(94)
αντιστοιχεί
στην O3 και το δεύτερο
σχηματίζει μια δεύτερη υποομάδα της οποίας το στοιχείο είναι:
(95)
Ας ονομάσουμε αυτή
τη δεύτερη υποομάδα " TF ".
Τότε η
ομάδα ισομετρίας της (86) είναι:
O3
x TF
Θεωρούμε
τώρα τη μετρική Schwarzschild εκφρασμένη στο σύστημα συντεταγμένων [t = x/c
, r , q , j ]. Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τις
δύο εκφράσεις (76) και (77) σε:
(96)
Θυμηθείτε
ότι το d = -1 αναλαμβάνει το μισό χωροχρόνου r
0 ενώ το d = +1 αναλαμβάνει το δεύτερο μισό
χωροχρόνου r < 0 , αν θεωρήσουμε ότι η "μαύρη
τρύπα" βρίσκεται στην πτυχή μας, και η "λευκή πηγή" στην
"δίδυμη πτυχή".
Αν η
κατάσταση αντιστραφεί, δηλ. αν η "μαύρη τρύπα" βρίσκεται στη
δίδυμη πτυχή, και η "λευκή πηγή" στη δική μας, παίρνουμε:
d
= +1 αναλαμβάνει το μισό χωροχρόνου r > 0
d
= -1 αναλαμβάνει το μισό χωροχρόνου r < 0
Θεωρούμε
την πρώτη περίπτωση (η "μαύρη τρύπα" είναι στο δικό μας σύμπαν και η "λευκή
πηγή" είναι στη δίδυμη πτυχή). Εκεί, η μετρική είναι:
(97)
Αλλάζοντας:
r �
-r
t �
-t
d
� -d
παίρνουμε
τη δεύτερη μετρική:
(98)
Παρατηρήστε ότι η μηδενικότητα της ορίζουσας όταν r =
0 θα αντιστοιχούσε στην τοπική αναστροφή του χώρου (εναντιομορφία) και της χρονικής συντεταγμένης
στο σημείο ( r = 0 ). Πράγματι χρειαζόμαστε μια μη μηδενική
ορίζουσα για να ορίσουμε γκαουσιανές συντεταγμένες. Βλέπε αναφορά [1] 2.4
Αν η ορίζουσα είναι μη μηδενική, καθίσταται δυνατό να ορίσουμε μια σειρά υπερεπιφανειών(
x� ή x, ή t = σταθερά) (που αντιστοιχούν σε μια σταθερή τιμή του επιλεγμένου χρονολογικού
δείκτη), ορθογώνιων στις γεωδαισιακές γραμμές συντεταγμένων x� ή x ή t ("γραμμές κόσμου"
για "σταθερά σημεία").
Εικ.15
: Μετά την εικ. 2.1 της αναφοράς
[1]
Θα μπορούσαμε
να εκφράσουμε τις (97) και (98) σε καρτεσιανές συντεταγμένες, όπως πριν, και να ξαναβρούμε τις (92) και
(93). Η ομάδα ισομετρίας της (96) γίνεται:
(99)
Οι δύο
πτυχές μισού χωροχρόνου είναι PT-συμμετρικές.
Θυμηθείτε ότι ο Andrei Sakharov ήταν ο πρώτος, το 1967 (αναφορές [26] έως [30]) που
πρότεινε ότι ένα Σύμπαν θα μπορούσε να αποτελείται από δύο δίδυμα Σύμπαντα, το δικό μας και
ένα δίδυμο, με "αντίθετους χρόνους". Αργότερα πρότεινε ότι η δίδυμη
πτυχή θα μπορούσε να είναι εναντιόμορφη.
- Η
φυσική σημασία της αναστροφής του κοσμικού χρόνου t.
Αυτή η χρονική αναστροφή είναι αινιγματική. Σημαίνει ότι ο χρονικός δείκτης t αντιστρέφεται
όταν ακολουθεί κανείς μια γεωδαισιακή, από τη δική μας πτυχή προς τη δίδυμη. Σημαίνει άραγε ότι
το ρολόι ενός "επιβάτη", που περνά μέσα από αυτή την υπερτορική γέφυρα
θα αντιστραφεί;
Παραπάνω,
είπαμε ότι ένα ζεύγος "μαύρη τρύπα - λευκή πηγή" θα μπορούσε να υπάρχει, όπου
η "μαύρη τρύπα" θα βρισκόταν στη δίδυμη πτυχή και η "λευκή
πηγή" στην άλλη. Θα σήμαινε ότι αυτός ο "δοκιμαστικός επιβάτης"
θα μπορούσε να βουτήξει στην πρώτη υπερτορική γέφυρα και να αναδυθεί από τη δεύτερη.
Θα μπορούσε να επιστρέψει στο χωρικό σημείο εκκίνησής του και να "σκοτώσει τον πατέρα του"
;
Εικ.16 :
Ένα (σχηματικό) παράδοξο ταξίδι.
Η
απάντηση είναι όχι, διότι το πρόσημο της στοιχειώδους αύξησης ds του ιδίου χρόνου του
δεν αλλάζει, κατά μήκος της γεωδαισιακής που ακολουθεί. Άρα, ποια είναι η φυσική σημασία
του t ; Καμία. Είναι απλώς μια συντεταγμένη.
Μόνο
ο ίδιος χρόνος έχει φυσική σημασία.
Άρα,
ποια είναι η συνέπεια της αναστροφής αυτής της χρονικής συντεταγμένης;
Πρέπει
να μελετήσουμε τη συμπροσαρτημένη δράση της ομάδας στον χώρο ορμής της (αναφορές
[11] και [12]). Το στοιχείο της ομάδας είναι
(100)
Αυτή είναι
μια ομάδα δύο συνιστωσών ( m = � 1 ), της οποίας η διάσταση
είναι 4.
Ο αντίστροφος
πίνακας είναι:
(101)
Υπολογίστε
το στοιχείο της άλγεβρας Lie. Γράφουμε:
(102)
da = w
d e = e
Ας
υπολογίσουμε: dg' = g-1 x
dg x
g
(103)
(104)
Για
να υπολογίσουμε τη συμπροσαρτημένη δράση (βλέπε αναφ. [11] ), εισάγουμε το βαθμωτό:
(105)
του οποίου η αναλλοιωτότητα
εξασφαλίζεται αν:
(106)
δηλ.:
(107)
Η ταύτιση
παρέχει τη συμπροσαρτημένη δράση της ομάδας στις τέσσερις συνιστώσες ορμής
της:
(108)
( l
, m )
Θυμηθείτε
ότι ο αριθμός των συνιστωσών της ορμής είναι ίσος με τη διάσταση της ομάδας.
(109)
(110)
m' = m
m
Μπορούμε να ταυτίσουμε το m με τη μάζα (ή με την ενέργεια E = mc2, αδιαφόρως). Η (110)
σημαίνει ότι όταν ένα σωματίδιο περνά μέσα από τη "σφαίρα λαιμό" η
μάζα του αντιστρέφεται (m' = -m). Αυτό δεν είναι εκπληκτικό και δίνει την ίδια τη φυσική
σημασία αυτής της "αναστροφής της χρονικής συντεταγμένης".
... Ακολουθώντας τον J.M.Souriau [12] μπορούμε να ονομάσουμε τη
(m = +1) συνιστώσα της ομάδας "ορθόχρονες", και την (m = -1) "αντίχρονη συνιστώσα".
Τα στοιχεία της αντίχρονης συνιστώσας αντιστρέφουν τη μάζα. Η χρονική συμμετρία είναι ισοδύναμη
με τη m-συμμετρία, όπως έδειξε ο J.M.Souriau ( [12] σ.197, κεφάλαιο χρονικές και χωρικές
αναστροφές).
- Επακόλουθες
συζευγμένες εξισώσεις πεδίου.
Ξεκινήσαμε
από μια μοναδική εξίσωση πεδίου με μηδενικό δεύτερο μέλος:
(111)
S
= 0
η οποία
υποτίθεται ότι προέρχεται από μια πλήρη (εξίσωση του Einstein):
(112)
S
= c T
που
εφαρμόζεται στο κενό (T=0). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πλήρης γεωμετρία μπορεί να περιγραφεί
από δύο "συζυγείς μετρικές" g και g*, από τις οποίες μπορούμε
να κατασκευάσουμε δύο γεωμετρικούς τανυστές του Einstein S και S*. Βλέπε αναφορές
[13] έως [15].
Αν οι
δύο μισοί χωρόχρονοι είναι κενοί, το σύνολο ( g , g*) είναι λύση
του συστήματος:
(113)
S
= 0
(114)
S*
= 0
(Μια σταθερή
ακριβής λύση του συστήματος (113) και (114) δίνεται στην αναφορά [16]). Τώρα
μπορούμε να γεμίσουμε την πρώτη πτυχή χωροχρόνου με θετική μάζα (θετική ενέργεια και
πίεση) που αντιστοιχεί σε ένα τανυστικό πεδίο T και τη δεύτερη με αρνητική
μάζα (αρνητική ενέργεια) και υποθέτουμε ότι το πεδίο εξαρτάται και από τα δύο τανυστικά
πεδία, μέσω του ακόλουθου φορμαλισμού:
(115)
S
= c ( T - T* )
(116)
S*
= c ( T*- T )
που αντιστοιχεί
σε συζυγείς γεωμετρίες:
(117)
S*
= - S
Παρατηρήστε
ότι οπωσδήποτε δεν σημαίνει ότι g* = - g !
Οι τανυστές
T και T* μπορούν να παρασταθούν με πυκνότητες μάζας r και r* και πιέσεις
p και p*.
Εδώ θεωρούμε ότι τα r, r*, p και p* είναι όλα θετικά,
για να δείξουμε ότι "αυτό είναι το ίδιο είδος ύλης". Το αρνητικό
πρόσημο δείχνει ότι η "δίδυμη ύλη" συμπεριφέρεται σαν ύλη αρνητικής μάζας
(και αρνητικής ενέργειας και πίεσης). Αυτό το σύστημα εξισώσεων πεδίου έχει
παρουσιαστεί και μελετηθεί σε προηγούμενες εργασίες (αναφορές [13] έως [15]).
- Ένα
σχέδιο: το μοντέλο μεταφοράς μέσω υπερχώρου.
Σε εργασίες με αναφορές, έχουν παρουσιαστεί σταθερές συζευγμένες λύσεις [16] και μη σταθερές ομοιόμορφες
λύσεις ([14], [15] και [17]). Σκοπεύουμε να κατασκευάσουμε μη σταθερές
και μη ομοιόμορφες λύσεις του συστήματος (115) συν (116). Για παράδειγμα, θεωρούμε
αρχικές συνθήκες όπου υπάρχει ύλη στην πτυχή χωροχρόνου μας F, η δεύτερη
F*, όντας κενή. Το αντίστοιχο σύστημα θα ήταν:
(118)
S
= c T
(119)
S*
= - c T
...Μια
λύση σταθερής κατάστασης ενός τέτοιου συστήματος παρουσιάστηκε σε προηγούμενη εργασία [16].
Σε τέτοιες συνθήκες η ύλη υπάρχει μόνο στην πτυχή F. Μπορεί να περιγράψει τις
συζυγείς γεωμετρίες που αντιστοιχούν στην παρουσία ενός αστέρα νετρονίων σε αυτή
την πτυχή, τη δική μας, το παρακείμενο τμήμα της δεύτερης (δίδυμης) F* όντας κενό. Αρχικά,
οι δύο πτυχές δεν είναι συνδεδεμένες. Η λύση, έξω από τον αστέρα νετρονίων υπακούει:
(120)
S
= 0
(121)
S*
= 0
...Έπειτα
χύνεται ύλη στον αστέρα νετρονίων, μέχρι την κρισιμότητα. Οι ειδικοί γνωρίζουν ότι
το πρώτο σύμπτωμα κρισιμότητας είναι η ξαφνική άνοδος της πίεσης μέχρι το άπειρο
στο κέντρο του (υποτιθέμενου σφαιρικά συμμετρικού) αστέρα νετρονίων, σύμφωνα
με το μοντέλο Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) (αναφ.[1], εξίσωση 144.22). Πιστεύουμε
ότι αυτή η άνοδος δρα στις τοπικές τιμές των σταθερών της φυσικής (ταχύτητα
φωτός, βαρυτική σταθερά, μάζα). Μοντέλα με "μεταβλητές σταθερές"
εισήχθησαν αρχικά από τους συγγραφείς ([18], [19], [20], και [14]). Αργότερα,
άλλοι συγγραφείς ανέπτυξαν αυτή τη νέα έννοια, με κάπως διαφορετικό τρόπο [17].
...Πιστεύουμε
ότι αυτό θα προκαλούσε τη γέννηση μιας υπερτοροειδούς γέφυρας, που συνδέει τις
δύο πτυχές. Τότε η ύλη θα (γρήγορα, με σχετικιστική ταχύτητα) ρέει από την πτυχή
F στην πτυχή F*, μέσω αυτού του περάσματος. Όπως φάνηκε παραπάνω, αυτό το φαινόμενο αντιστρέφει
τη μάζα, βλέπε ενότητα 14, εξίσωση (110), έτσι ώστε η μη σταθερή λύση να εξαρτάται
από το σύστημα:
(122)
S
= c ( T - T* )
(123)
S*
= c ( T*- T )
Στο "μέσο
της διαδικασίας" T = T* . Τότε η λύση υπακούει:
(124)
S
= 0
(125)
S*
= 0
...Πιστεύουμε
ότι είναι η πραγματική σημασία της γεωμετρίας Schwarzschild. Θα αντιστοιχούσε
σε ένα πλαίσιο που ανήκει σε μια μη σταθερή διαδικασία.
...Αυτή
η μη σταθερή λύση είναι μόνο ένα σχέδιο λύσης. Δεν έχει κατασκευαστεί ακόμη. Δεν
ξέρουμε τι θα προέκυπτε, πώς θα έμοιαζε η πλήρης διαδικασία.