- Περισσότερα για την ενσωμάτωση και τις γεωδαισιακές.
Όλες οι επιφάνειες δεν μπορούν να ενσωματωθούν στον R3. Για παράδειγμα, θεωρήστε τη μετρική
(134)
όπου Rs > 0 και r > 0
ορίζεται στο R modulo 2 
Εκφρασμένο με αυτές τις [ r , ] ιδιόμορφες συντεταγμένες, αυτό το στοιχείο γραμμής είναι κανονικό σχεδόν παντού (εκτός από το σημείο r = 0). Αλλού δεν προκύπτει πρόβλημα. Η ισομετρική του ομάδα είναι η O2. Οι τροχιές της ομάδας είναι κύκλοι r = σταθερό. Θα μπορούσαμε να φανταστούμε ότι αυτή η επιφάνεια θα μπορούσε να ενσωματωθεί στον R3, όπου θα εμφανιζόταν αξονοσυμμετρική, γύρω από κάποιον άξονα z.
( = σταθερό ) γεωδαισιακές υπάρχουν. Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι είναι «γραμμές μεσημβρινού» της επιφάνειας και ότι η εξίσωση z ( ) ενός τέτοιου μεσημβρινού μπορεί να κατασκευαστεί όπως κάναμε στην αρχή της εργασίας. Κατά μήκος των ( = σταθερό ) γεωδαισιακών :
(135)
Αν αυτή η επιφάνεια μπορεί να ενσωματωθεί στον R3, κατά μήκος αυτών των γεωδαισιακών :
(136)
που δίνει :
(137)
Συμπέρασμα : αυτή η επιφάνεια δεν μπορεί να ενσωματωθεί στον R3.
Αυτή η μετρική (135) υποδηλώνει κάποια απωστική δράση.
Όλες οι επιφάνειες, όπως ορίζονται από τη μετρική τους, δεν μπορούν να ενσωματωθούν. Εν πάση περιπτώσει, αυτές οι επιφάνειες «υπάρχουν», ακόμη και αν δεν μπορούμε να τις πιάσουμε στα χέρια μας.
Θεωρήστε την ακόλουθη τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια, όπως ορίζεται από :
(138)
με Rs > 0 και r > 0
ορίζεται στο R modulo 2
Δεν μπορούμε να ενσωματώσουμε μια τέτοια υπερεπιφάνεια. Αλλά υπάρχει και κατέχει «επίπεδες γεωδαισιακές» ( 
= /2).
Μπορούμε να υπολογίσουμε το γεωδαισιακό σύστημα αυτών των δισδιάστατων και τρισδιάστατων υπερεπιφανειών. Μπορούμε να τις παραστήσουμε σε ένα επίπεδο (r,). Είναι πραγματικές.
(139)
Το σχέδιό τους είναι πανομοιότυπο με εκείνο της προηγούμενης επιφάνειας 2, όπως ορίζεται από το στοιχείο γραμμής της (134). Αυτά τα δύο γεωμετρικά αντικείμενα είναι απλά συνεκτικά.
Εικ.25 : Γεωδαισιακές που αντιστοιχούν
στα στοιχεία γραμμής (134) και (138)
(Παρατηρήστε ότι είναι παρόμοιο με απωστική δράση).
Υπάρχει κάτι που προβληματίζει. Δεδομένου ενός στοιχείου γραμμής, μπορούμε να υπολογίσουμε το γεωδαισιακό σύστημα. Για παράδειγμα εκείνο της κλασικής αναπαράστασης της γεωμετρίας Schwarzschild αντιστοιχεί σε :
(140)
Μπορούμε να υπολογίσουμε τις καμπύλες r () που αντιστοιχούν σε αυτή τη διαφορική εξίσωση.
Είναι πραγματικές, ακόμη και για τιμές r < Rs !
Εικ.26 : Πλήρης γεωδαισιακή γραμμή, που αντιστοιχεί
στο στοιχείο γραμμής Schwarzschild.
Μπορούμε να καταλάβουμε γιατί οι φυσικοί προβληματίστηκαν, αφού είδαν αυτό το παράξενο αποτέλεσμα. Αλλά υπάρχει ένα μαθηματικό γεγονός : ένα στοιχείο γραμμής μπορεί να παράγει ένα πραγματικό γεωδαισιακό σύστημα, με ορισμένα τμήματα να αντιστοιχούν σε φανταστικό στοιχείο μήκους ds.
Τι γίνεται με τη φυσική ; Ταυτίζουμε το ds με μια αύξηση ιδίου χρόνου. Παραπάνω αποφασίσαμε να θεωρήσουμε ότι το φανταστικό ds δεν αντιστοιχεί σε φυσική διαδρομή, γεγονός που μας υποχρέωσε να αναθεωρήσουμε την «τοπική τοπολογία» της υπερεπιφάνειας, αλλάζοντας την «τοπική σφαιροειδή τοπολογία» σε «τοπική υπερτοροειδή τοπολογία».
Σε προηγούμενες εργασίες οι άνθρωποι διατήρησαν αυτή την υπόθεση «τοπικής σφαιροειδούς τοπολογίας», έτσι ώστε η φυσική ερμηνεία του «εσωτερικού» της σφαίρας Schwarzschild να γίνει προβληματική. Στην αναφορά [1], στην ενότητα 6.8 διαβάζουμε :
(Εντός της σφαίρας Schwarzschild) θα φαινόταν επομένως φυσικό να επανερμηνεύσουμε το r ως δείκτη χρόνου και το t ως ακτινικό δείκτη (...)
... αυτό θα συνεπαγόταν ότι ds2 < 0 κατά μήκος αυτής της κοσμικής γραμμής.
- Η αναλυτική επέκταση Kruskal.
Στο κλασικό σύστημα συντεταγμένων [x� , r , , ] η ακτινική ταχύτητα του φωτός είναι :
(141)
έτσι ώστε να τείνει στο μηδέν όταν το r τείνει στο Rs. Το επιχείρημα του Kruskal είναι το ακόλουθο ( αναφορά [1], ενότητα 6.8 ).
Αυτό είναι ένα ανεπιθύμητο χαρακτηριστικό των συντεταγμένων Schwarzchild που μπορούμε να εξαλείψουμε ως εξής· αναζητούμε έναν μετασχηματισμό για το r και το t σε νέες μεταβλητές u και v στις οποίες το στοιχείο γραμμής έχει τη μορφή :
(6.187)
... φτάνουμε σε έναν μετασχηματισμό κατάλληλο για το εσωτερικό της ακτίνας Schwarzschild :
(6.204)
Ενώ, εκτός αυτής της σφαίρας :
(6.201)
*
*
Η βασική απαίτηση είναι το f να είναι κανονικό στη σφαίρα Schwarzschild r = Rs. Ακόμη από το [1] :
Έτσι τοu χρησιμεύει ως καθολικός ακτινικός δείκτης, και το v χρησιμεύει ως καθολικός δείκτης χρόνου.
Παρεμπιπτόντως, από το (6.187) , οι μηδενικές γεωδαισιακές (ds = 0) δίνουν μια «σταθερή ταχύτητα φωτός» :
(142)
Από το (6.201) βλέπουμε ότι όταν το r τείνει στο άπειρο το f τείνει στο μηδέν, έτσι ώστε ο Adler, ο Schiffer και ο Bazin να λένε [1] :
Αυτές όμως δεν αντιστοιχούν σε σφαιρικές συντεταγμένες για επίπεδο χώρο σε ασυμπτωτική απόσταση, όπως κάνουν οι συντεταγμένες Schwarzschild.
Η μετρική Kruskal είναι επίσης μια μη ιδιάζουσα λύση της εξίσωσης Einstein σε αυτές τις περιοχές και είναι ισοδύναμη με τη λύση Schwarzschild, αλλά δεν έχει ιδιομορφία στο σύνορο (τη σφαίρα Schwarzschild). Αυτή είναι μια αναλυτική επέκταση της πολλαπλότητας.
Ο Kruskal συγκεντρώνεται στο πρόβλημα σε αυτό το σύνορο, το οποίο γίνεται μη ιδιάζον, με την ιδιομορφία να συγκεντρώνεται στο «γεωμετρικό κέντρο» όπου το f τείνει στο άπειρο. Χρησιμοποιώντας ακόμη την αναφορά [1] αναπαράγουμε το απόσπασμα που είναι αφιερωμένο στις προς τα μέσα ακτινικές διαδρομές του φωτονίου :
Με όρους u , v η τροχιά είναι απλή· με όρους r και t , ωστόσο, βλέπουμε ότι αρχίζει σε κάποιο πεπερασμένο r > Rs και πεπερασμένο x� , ταξιδεύει προς τα μέσα προς r = Rs καθώς το x� τείνει στο άπειρο, και διασχίζει τη γραμμή x� = άπειρο προς το εσωτερικό της σφαίρας Schwarzschild. Μετά από αυτό το r συνεχίζει να μειώνεται κατά μήκος της τροχιάς, αλλά τοx� μειώνεται. ... Η παρούσα πραγμάτευση επίσης διευκρινίζει ότι το x� δεν είναι ένας λογικός δείκτης χρόνου εντός της σφαίρας Schwarzschild.
Βλέπουμε ότι «τίποτα δεν είναι τέλειο». Με την ιδιόμορφη επιλογή συντεταγμένων του, ο Kruskal διαχειρίζεται τη διάσχιση της σφαίρας Schwarschild, περιορίζοντας το ιδιάζον χαρακτηριστικό της γεωμετρικής λύσης σε μια «κεντρική ιδιομορφία». Αλλά η μετρική δεν είναι πλέον Λορεντζιανή στο άπειρο.
Αυτό δείχνει πώς η επιλογή συντεταγμένων τροποποιεί την ερμηνεία της λύσης. Η δική μας εισάγει μια αλλαγή στην «τοπική τοπολογία» (υπερτοροειδής γέφυρα ), αλλά κάθε ιδιομορφία εξαλείφεται.
22)Επιστροφή στην ενσωμάτωση.
Το θεώρημα Wiener-Graustein λέει ότι οποιαδήποτε n-διάστατη επιφάνεια, με n > 2, μπορεί να ενσωματωθεί σε ένα χώρο του οποίου η ελάχιστη διάσταση είναι
(143)
Για 4δ υπερεπιφάνειες αντιστοιχεί σε ένα χώρο 10 διαστάσεων. Γνωρίζουμε ότι οι γεωδαισιακές της γεωμετρίας Schwarzschild κείνται σε επίπεδα. Το = p/2 αντιστοιχεί σε ένα από αυτά. Τότε μπορούμε να συγκεντρωθούμε σε ένα υποσύνολο γεωδαισιακών ( = p/2). Αυτές οι γεωδαισιακές εξαρτώνται από δύο παραμέτρους l και h . Γνωρίζουμε ότι οι γεωδαισιακές ( l =1 ) αντιστοιχούν σε σωματίδια των οποίων η ταχύτητα είναι μηδέν στο άπειρο.. Επιπλέον, επιλέξτε το υποσύνολο των γεωδαισιακών ( = σταθερό ). Τότε :
(144)
Εισάγετε μια πρόσθετη συντεταγμένη z και γράψτε :
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
Μια διαφορική εξίσωση της οποίας η λύση είναι :
(147)
Μπορούμε να παραστήσουμε αυτές τις γεωδαισιακές σε έναν τρισδιάστατο χώρο [ z , r ,]. Είναι γραμμές μεσημβρινού μιας αξονοσυμμετρικής επιφάνειας.
Εικ. 27 : Ο μεσημβρινός της επιφάνειας στην οποία πραγματοποιείται μια ισομετρική ενσωμάτωση****των ( = σταθερό) γεωδαισιακών Schwarzschild.
Στον τρισδιάστατο χώρο, αυτή η επιφάνεια μοιάζει με την εικόνα 28 (μισή τομή).
Εικ.28 : Η επιφάνεια ενσωμάτωσης.
Αν σχεδιάσουμε τις «ακτινικές» γεωδαισιακές πάνω της, παίρνουμε την εικόνα 29.
Εικ.29 : Αναπαράσταση «ακτινικών» γεωδαισιακών. Κάτω : η προβολή τους σε ένα [ r ,] επίπεδο.
Είναι μια πολύ μερική ενσωμάτωση, γιατί περιορίζεται στο σύνολο των «ακτινικών» γεωδαισιακών. Η εικόνα 29 υποδηλώνει μια πτυχή και υποδηλώνει εναντιομορφία. Πράγματι, θεωρήστε ένα σύνολο τριών σημείων που ακολουθούν ακτινικές γεωδαισιακές. Παίρνουμε
Εικ.30-a : Τρία σημειακά σωματίδια, που πέφτουν προς το λαιμό κατά μήκος «ακτινικών» διαδρομών.
και :
**Εικ.30-b : Τα ίδια, αφού διασχίσουν το λαιμό.
Το τρίγωνο έχει αντιστραφεί.**
Στην επίπεδη προβολή [ r ,] ο προσανατολισμός του τριγώνου αντιστρέφεται.
Φανταστείτε τώρα τέσσερα δοκιμαστικά σωματίδια που ακολουθούν ακτινικές τροχιές, πέφτοντας προς τη σφαίρα Schwarzschild, σχηματίζοντας ένα τετράεδρο. Βλέπε εικόνα 31.
Εικ.31 : Τέσσερα σωματίδια που πέφτουν πάνω στη σφαίρα Schwarzshild κατά μήκος «ακτινικών»
γεωδαισιακών σε έναν ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο αναπαράστασης.
Εικ.32 : Αφού «αναπηδήσουν» στη σφαίρα Schwarzschild τα σωματίδια ταξιδεύουν
στον δίδυμο χώρο. Το τετράεδρο έχει αντιστραφεί (εναντιομορφία)
Ας επιστρέψουμε στην προηγούμενη αναπαράσταση. Το κάθετο διάνυσμα αντιστρέφεται επίσης :
Εικ.33 : Μια ιδιόμορφη = σταθερό γεωδαισιακή στην αναπαράστασή της
Στο σύνολο των (l = 1) γεωδαισιακών, σε έναν
( r ,, z ) χώρο.