Αναστροφή της σφαίρας και εμβύθιση της μπουκαλιάς του Klein
Η Αναστροφή της Σφαίρας
7 Δεκεμβρίου 2004
Σελίδα 1
Εισαγωγή.
Θα εξετάσουμε στο εξής κλειστές επιφάνειες, όπως η σφαίρα, ο τόρος και άλλες λίγες. Πρόκειται για επιφάνειες στο εννοιολογικό επίπεδο του συνηθισμένου ανθρώπου, δηλαδή αντικείμενα δύο διαστάσεων που αναπαρίστανται σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, R³, που είναι ο χώρος της εικονικής μας αναπαράστασης. Οι επιφάνειες αυτές μπορούν να αναπαρασταθούν με διάφορους τρόπους. Αν δεν τέμνονται μεταξύ τους, λέμε ότι είναι εμβυθισμένες (στο R³). Αν τέμνονται, τότε μιλάμε για εμβύθιση και αυτή η τομή εκφράζεται με την παρουσία ενός συνόλου αυτοτομής (self-intersection).
Στα εμβυθισμένα σχήματα, υποθέτουμε ότι το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς και ότι η επιφάνεια δεν περιέχει ιδιαίτερες ανωμαλίες, όπως ένα κορυφαίο σημείο ενός κώνου. Οι επιφάνειές μας θα είναι κανονικές.
Στην περίπτωση των εμβυθίσεων, ζητούμε ότι κατά μήκος των γραμμών αυτοτομής τα δύο εφαπτόμενα επίπεδα των φύλλων που τέμνονται να είναι διαφορετικά.
Ο κόσμος της γεωμετρίας, όπως τον εικάζει ο μαθηματικός, διαφέρει αρκετά από τον φυσικό κόσμο. Το γεγονός ότι οι επιφάνειες μπορούν να διαπερνούν τον εαυτό τους δεν τον ενοχλεί καθόλου. Ο φυσικός κόσμος δεν επιτρέπει τέτοια πράγματα. Αλλά αυτό γίνεται δυνατό στο μεταφυσικό κόσμο. Έτσι, στη Βίβλο διαβάζουμε ότι όταν οι νεκροί θα ξυπνήσουν, θα έχουν "σώματα δόξας". Μπορούν τότε να διαπερνούν οποιοδήποτε αντικείμενο και, θεωρητικά, να διαπερνούν ακόμη και τον εαυτό τους. Έτσι, όταν θα έρθει η ώρα της Τελευταίας Κρίσης, αν περπατάτε στη Ρώμη ως σώμα δόξας, αν είστε χαμένοι και αν αναζητάτε την πλατεία Navona, θα μπορούσατε να είστε καταμελημένοι να ρωτήσετε το δρόμο από έναν άλλο νεκρό που ξύπνησε, με την ίδια εμφάνιση με εσάς. Υποθέτουμε ότι η άτομος που ερωτάτε κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση από την πλατεία. Στον συνηθισμένο φυσικό χώρο, για να σας δείξει τη σωστή κατεύθυνση θα έπρεπε να γυρίσει γύρω από τον εαυτό του, ώστε να δείξει με το δάχτυλό του. Αλλά αν κινείται ως σώμα δόξας, αυτή η περιστροφή δεν είναι πλέον απαραίτητη. Μπορεί να δείξει με το δάχτυλό του στο γαστρικό του σημείο και να διαπεράσει τον εαυτό του. Όταν το χέρι του θα εμφανιστεί ξανά από την πλάτη του, θα του απομένει να σας πει "εκεί πέρα". Με την προσπάθεια να περάσει το χέρι του μέσα από το στομάχι του, θα δημιουργήσει στο σώμα του ένα σύνολο αυτοτομής που αποτελείται από δύο κύκλους, το οποίο θα εξαφανιστεί όταν επανέλθει στην κανονική του κατάσταση.
Αν ένας άνθρωπος κλείσει το στόμα του, βάλει μια σακούλα στη μύτη του για να την κλείσει και αγνοήσουμε τα άλλα φυσικά του ανοίγματα, το σώμα του αποκτά την τοπολογία της σφαίρας S². Φανταστείτε έναν ξαναζωντανεμένο που έχει τέτοια ανοίγματα κλεισμένα. Γνωρίζουμε ότι μπορεί να διαπεράσει τον εαυτό του, δηλαδή ότι το σώμα του μπορεί να περάσει από μια κατάσταση εμβύθισης σε μια κατάσταση εμβύθισης. Ένα από τα μεταφυσικά προβλήματα που προέκυψαν τότε ήταν εάν ένας ξαναζωντανεμένος άνθρωπος μπορούσε να αναστραφεί χωρίς πλεγματισμούς.
Μια μικρή παρατήρηση. Οι καλλιτέχνες για την τέχνη της φαντασίας γνωρίζουν πώς να χρησιμοποιούν "μαγικούς κύκλους" που μπορούν να διαπερνούν ο ένας τον άλλο "μαγικά". Μπορούμε να φανταστούμε την αναπαράσταση επιφανειών με ένα είδος "μαγικού δικτύου" όπου τα δύο φύλλα, αναπαριστώμενα εδώ με μαύρο και ροζ, μπορούν να διαπερνούν ο ένας τον άλλο χωρίς δυσκολία.
Το μαγικό δίκτυο
Είναι αλήθεια ότι συχνά δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ μαθηματικών και μαγείας. Πριν από είκοσι χρόνια είχα φτιάξει μια εφημερίδα: το Topologicon. Τώρα είναι εξαντλημένη και αδύνατον να βρεθεί, εκτός από ως αντικείμενο συλλογής. Σε μία από τις σελίδες μπορούσε να δει κανείς αυτό:
Είναι πολύ λυπηρό που οι εκδόσεις Belin α