Αναστροφή της σφαίρας και εμφύτευση της μπουκαλιού του Klein
Η Αναστροφή της Σφαίρας
7 Δεκεμβρίου 2004
Σελίδα 1
Εισαγωγή
Θα εξετάσουμε σε αυτό που θα ακολουθήσει κλειστές επιφάνειες, όπως η σφαίρα, ο τόρος και άλλες. Είναι επιφάνειες στο νόημα που έχει για τον κοινό άνθρωπο, δηλαδή αντικείμενα δύο διαστάσεων που αναπαρίστανται σε έναν ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων, R³, ο οποίος είναι ο χώρος μας για την αναπαράσταση. Αυτές οι επιφάνειες μπορούν να αναπαρασταθούν με διάφορους τρόπους. Αν δεν τέμνονται μεταξύ τους, θα τις ονομάσουμε εμφυτεύσεις (στο R³). Αν τέμνονται, θα μιλήσουμε για εμφυτεύσεις και αυτή η τομή θα εκφραστεί με την παρουσία ενός συνόλου αυτοτομής (self-intersection).
Στις εμφυτεύσεις μας θα υποθέσουμε ότι το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς και ότι η επιφάνεια δεν έχει ιδιαίτερες αστάθειες, όπως ο κορυφαίος ενός κώνου. Οι επιφάνειές μας θα είναι κανονικές.
Στην περίπτωση των εμφυτεύσεων θα ζητήσουμε ότι κατά μήκος των γραμμών αυτοτομής τα δύο εφαπτόμενα επίπεδα των φύλλων που τέμνονται να είναι διαφορετικά.
Ο κόσμος της γεωμετρίας, όπως τον φαντάζεται ο μαθηματικός, είναι αρκετά διαφορετικός από το φυσικό κόσμο. Το γεγονός ότι οι επιφάνειες μπορούν να διαπερνούν τον εαυτό τους δεν τον ενοχλεί καθόλου. Ο φυσικός κόσμος δεν επιτρέπει τέτοια πράγματα. Αλλά γίνεται δυνατό στο μεταφυσικό κόσμο. Έτσι, στη Βίβλο διαβάζουμε ότι όταν οι νεκροί θα ξαναζήσουν, θα το κάνουν με "σώματα δόξας". Μπορούν τότε να διαπερνούν οποιοδήποτε αντικείμενο και, εν γένει, να διαπερνούν τον εαυτό τους. Έτσι, όταν θα έρθει η ώρα της Τελευταίας Κρίσης, αν περπατάτε στη Ρώμη με σώμα δόξας, αν είστε χαμένοι και αν αναζητάτε την πλατεία Navona, θα μπορούσατε να είστε καταμεσής να ρωτήσετε τον δρόμο από έναν άλλο νεκρό που ξαναζήσατε, με την ίδια εμφάνιση με εσάς. Υποθέστε ότι η άτομο που ερωτάτε προχωρά σε αντίθετη κατεύθυνση από την πλατεία. Στον συνηθισμένο φυσικό χώρο, για να σας δείξει τη σωστή κατεύθυνση θα έπρεπε να στραφεί γύρω από τον εαυτό του για να δείξει με το δάχτυλο του. Αλλά αν περπατά με σώμα δόξας, αυτή η στροφή δεν θα είναι πια απαραίτητη. Μπορεί να δείξει με το δάχτυλο του στο γαστρικό του σημείο και να διαπεράσει τον εαυτό του. Όταν το χέρι του επιστρέψει από την πλευρά του, θα του απομένει μόνο να σας πει "εκεί". Με το χέρι του να εισχωρήσει μέσα στο σώμα του, έχει δημιουργήσει στο σώμα του ένα σύνολο αυτοτομής αποτελούμενο από δύο κύκλους, το οποίο θα εξαφανιστεί όταν επανέλθει στην κανονική του μορφή.
Αν ένας άνθρωπος κλείσει το στόμα του, βάλει ένα στερέωμα στις νύχτες του για να τις κλείσει και αγνοήσουμε τα άλλα φυσικά του ορφανά, τότε το σώμα του αποκτά την τοπολογία της σφαίρας S². Φανταστείτε έναν ξαναζωντανισμένο υπό μορφή σώματος δόξας του οποίου τα φυσικά ορφανά έχουν κλειστεί. Ξέρουμε ότι μπορεί να διαπεράσει τον εαυτό του, δηλαδή ότι το σώμα του μπορεί να περάσει από μια κατάσταση εμφύτευσης σε μια κατάσταση εμφύτευσης. Ένα από τα μεταφυσικά προβλήματα που τέθηκαν τότε ήταν αν ένας ξαναζωντανισμένος άνθρωπος με σώμα δόξας μπορούσε να αναστραφεί χωρίς να δημιουργήσει πτυχές.
Μια μικρή παρατήρηση προς την πλευρά. Οι παραξενευτές γνωρίζουν να χρησιμοποιούν "μαγικούς κύκλους" που μπορούν να διαπερνούν "μαγικά". Θα μπορούσαμε να φανταστούμε την αναπαράσταση επιφανειών με ένα είδος "μαγικού δικτύου" ώστε τα δύο φύλλα, που εδώ αναπαρίστανται με μαύρο και ροζ, να μπορούν να διαπερνούν χωρίς δυσκολία.
Το μαγικό δίκτυο
Είναι αλήθεια ότι συχνά δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ μαθηματικών και μαγείας. Πριν από είκοσι χρόνια σχεδίασα μια κόμικ: το Topologicon. Είναι τώρα εξαντλημένο και αδύνατο να βρεθεί, εκτός από ως αντικείμενο συλλογής. Σε μία από τις σελίδες μπορεί να δει κανείς το εξής:
Είναι πολύ λυπηρό που οι εκδόσεις Belin αποφάσισαν να αποσύρουν αυτή τη σ