Αναστροφή της σφαίρας και αντιμετάθεση των κορυφαίων σημείων

Η Αναστροφή της Σφαίρας

8 Δεκεμβρίου 2004

Σελίδα 2

Αντιμετάθεση των κορυφαίων σημείων μιας crosscap

Αυτό θα αποτελέσει ένα μικρό ενδιάμεσο, σε ρυθμό "σε τι μπορεί να χρησιμεύσει η αναστροφή της σφαίρας;". Εδώ: για να αντιμεταθέσουμε τα δύο κορυφαία σημεία μιας crosscap, κάτι που μπορεί να φαίνεται αρχικά αδύνατο. Εφεύρα αυτό το μικρό κόλπο πριν από μία δεκαετία. Δεν έχει ποτέ δημοσιευτεί. Αλλά πού θα το δημοσιεύαμε; Δεν το ξέρουμε πολύ. Δεν πρόκειται για "ένα σημαντικό αποτέλεσμα στα μαθηματικά", αλλά είναι ένα άσκηση που είναι αρκετά ελκυστική. Στο εξής θα χρησιμοποιήσουμε πολυεδρικές αναπαραστάσεις. Στα δεξιά η "κυκλική" crosscap και στα αριστερά μία από τις πολλές δυνατές πολυεδρικές αναπαραστάσεις της.

Η crosscap με μία από τις πολλές πολυεδρικές της αναπαραστάσεις.

Στην εικόνα κάτω δεξιά, έχουμε τοποθετήσει τα δύο κορυφαία σημεία C1 και C2, που βρίσκονται στο τέλος της γραμμής αυτοτομής, μέσα σε μία περιοχή που μπορεί να θεωρηθεί σαν μέρος μιας σφαίρας. Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να αναστρέψουμε μία σφαίρα. Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια διαδικασία σ' αυτό το αντικείμενο, χωρίς να μας ενδιαφέρει η διαδοχή των ενδιάμεσων σταδίων. Σε πολυεδρική μορφή αυτό θα σημαίνει να αναστρέψουμε τον κύβο.

Το μόνο που ξέρουμε είναι ότι στο τέλος της διαδικασίας θα έχουμε δύο είδη εσωτερικών συστολών, που θα φαίνονται όπως θα τις έβλεπε ένας παρατηρητής που θα βρισκόταν "μέσα" στην αρχική crosscap (πράγμα που είναι λανθασμένη έκφραση, επειδή αυτή η επιφάνεια είναι μονόπλευρη).

Μετά την αναστροφή, από τον κύβο αριστερά, από τη σφαίρα δεξιά

Η πολυεδρική αναπαράσταση είναι αρκετά εύχρηστη για να μην χάσουμε την πορεία αυτών των ενεργειών. Τώρα απομένει να βάλουμε δύο δάχτυλα σε αυτές τις συστολές και να τραβήξουμε το σύνολο προς τα έξω:

Να τραβήξουμε το κορυφαίο σημείο C2 "προς τα έξω"

Αν σας αρέσει, μπορείτε να κατασκευάσετε τα πολυεδρικά μοντέλα με χαρτί. Ή ίσως κάποιος θαρραλέος να τα κατασκευάσει σε VRML για να μπορούμε να τα επεξεργαστούμε.

Τώρα απομένει να ολοκληρώσουμε τη διαδικασία.

Μετάβαση σε μία εικόνα ίδια με αυτή της αρχής, με τα κορυφαία σημεία ανταλλαγμένα.

Μία φορά είχα υποσχεθεί να δημοσιεύσω ένα αρχείο που θα περιέγραφε τις συναντήσεις μου με τον ψυχαναλυτή Jacques Lacan. Η crosscap του είχε χρησιμεύσει για να μοντελοποιήσει το "βασικό φανταστικό". Είχε εστιάσει στο "κεντρικό κορυφαίο σημείο" και είχε αγνοήσει απλώς το δεύτερο. Σε αυτή την κεντρική περιοχή, ο Lacan είχε τοποθετήσει το "γλωσσικό φαλλό" ή το "αντικείμενο μικρό a". Σας θα το πω το υπόλοιπο άλλη φορά. Αλλά ο Lacan δεν είχε προβλέψει ότι αυτά τα σημεία θα μπορούσαν να "ανταλλαγούν". Στην πραγματικότητα, όταν μου μίλησε για αυτή τη γλωσσο-γεωμετρική ψυχαναλυτική μοντελοποίηση, σηκώθηκαν τα φρύδια μου, εικάζοντας ότι σε αυτή τη crosscap τα δύο κορυφαία σημεία θα μπορούσαν να παίξουν διαφορετικό ρόλο, και μία δευτερόλεπτο αργότερα, απλώς θέτοντας το ερώτημα, βρήκα τον τρόπο να τα ανταλλάξω. Ο Lacan ήταν αρκετά σοκαρισμένος, το θυμάμαι. Το βασικό του φανταστικό είχε δύο γλωσσικούς φαλλούς αντί για έναν. Όλη η δουλειά του είχε βασιστεί σε αυτό το αντικείμενο. Αλλά αμέσως του πρότεινα μία εναλλακτική λύση, τοποθετώντας το γλωσσικό φαλλό στον πόλο (μοναδικό) μίας επιφάνειας Boy. Έτσι, όλα επέστρεψαν στην τάξη, με μεγάλη του ικανοποίηση.

Αυτό το γεγονός συνέβη πολύ λίγο πριν το θάνατό του. Όπως μπόρεσα να διαπιστώσω, αυτή η αναδιάταξη ψυχαναλυτική-γεωμετρική δεν έχει φανεί ακόμη στην κοινότητα των λακανικών ψυχαναλυτών.

Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα

Επιστροφή στον Οδηγό Επιστροφή στην αρχική σελίδα

Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από τις 7 Δεκεμβρίου 2004: