Η Αναστροφή της Σφαίρας

Η Αναστροφή της Σφαίρας

7 Δεκεμβρίου 2004

σελίδα 3

Τα βασικά καταστροφικά φαινόμενα.

Έχουμε ήδη αναφέρει προηγουμένως ότι οι προβολές που εξετάζαμε ήταν τέτοιες που τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος των συνόλων τους αυτοτομής, όταν αυτά υπήρχαν, παρέμεναν διακριτά. Είναι τότε δυνατό να περάσουμε από μία προβολή σε μία άλλη με τη βοήθεια τεσσάρων βασικών καταστροφικών φαινομένων. Ο Morin τους έδωσε ονόματα, που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Η πρώτη οδηγεί στη δημιουργία μίας κλειστής καμπύλης (και στην καταστροφή της, η αντίστροφη ενέργεια). Αυτό συμβαίνει όταν βυθίζουμε τον αγκώνα μας στο νερό μίας βάσης για να εκτιμήσουμε τη θερμοκρασία του (στα αριστερά). Σχήμα a4: οι επιφάνειες είναι σε επαφή σε ένα σημείο. Στο a5 έχει δημιουργηθεί η καμπύλη αυτοτομής. Στη συνέχεια του κειμένου θα αποκαλούμε αυτή τη διαδικασία "την καταστροφή του αγκώνα".

Η "καταστροφή του αγκώνα": δημιουργία – καταστροφή μίας κλειστής καμπύλης

Η δεύτερη καταστροφή είναι η "κομμάτι μήλου":

Η καταστροφή που αφορά τη δημιουργία-καταστροφή ενός "κομματιού μήλου".

Αν κοιτάξετε προσεκτικά αυτές τις εικόνες, από τα αριστερά προς τα δεξιά θα δείτε ότι ένας παραβολικός κύλινδρος πλησιάζει ένα δίεδρο. Το σύνολο της αυτοτομής αποτελείται από δύο απομονωμένες παραβολικές καμπύλες, και φυσικά την ακμή του δίεδρου. Στη μεσαία εικόνα η ακμή του δίεδρου είναι σε επαφή με μία από τις γεννητρικές του κυλίνδρου. Η ακμή είναι εφαπτόμενη στον κύλινδρο σε αυτό το σημείο. Το σύνολο της αυτοτομής αποτελείται από δύο παραβολικές καμπύλες που εφάπτονται σε ένα σημείο, και την ακμή του δίεδρου. Δεξιά: ο παραβολικός κύλινδρος συνέχισε την κίνησή του. Η καμπύλη αυτοτομής έχει αλλάξει. Αποτελείται από την ακμή του δίεδρου, και τις παραβολικές καμπύλες που τέμνονται σε δύο σημεία, τα οποία βρίσκονται στην ακμή του δίεδρου. Μπορούμε να θεωρήσουμε αντίστροφα ότι ο παραβολικός κύλινδρος είναι ακίνητος και ότι είναι τα δύο "επίπεδα κοπής" που κινούνται. Η δεξιά εικόνα θυμίζει δύο χτυπήματα με το μαχαίρι, ή δύο κοπές με την αργάλεια. Το κομμάτι που αποκόπηκε φαίνεται επίσης. Ο Morin το συγκρούει με ένα "κομμάτι μήλου", μία εικόνα πολύ εκφραστική.

Η τρίτη καταστροφή είναι η "τσόχα".

Η καταστροφή "της τσόχας"

Τα σχήματα είναι αρκετά εκφραστικά. Κατεβαίνουμε από αριστερά προς δεξιά μία τσόχα στο νερό. Αριστερά το πουλί περνάει κάτω από την περιοχή των ποδιών, αλλά το ψάρι παραμένει περιορισμένο σε μία από τις πόδια. Δεξιά το ψάρι περνάει, αλλά η διέλευση που χρησίμευε στο πουλί έχει εξαφανιστεί. Στο κέντρο η ενδιάμεση κατάσταση. Το σημαντικό είναι η τοπική αλλαγή της καμπύλης τομής, που αντιστοιχεί σε αυτό που ονομάζεται "χειρουργική επέμβαση", μία αλλαγή σύνδεσης τόξων καμπύλης. Προσπαθήστε να κατανοήσετε καλά αυτή τη μετασχηματισμό, ο οποίος θα αποδειχθεί ο πιο δύσκολος να εφαρμοστεί και να δει κανείς στην ομοτοπία της αναστροφής της σφαίρας. Κρατήστε καλά ότι αυτή η καταστροφή κλείνει μία διέλευση ταυτόχρονα με την άνοιξη μίας άλλης στην κατεύθυνση κάθετη.

Η τέταρτη και τελευταία καταστροφή είναι η "αντιστροφή ενός τετράεδρου":

Η καταστροφή που αντιστρέφει ένα τετράεδρο

Η καμπύλη αυτοτομής αποτελείται από τέσσερις "ευθείες", που είναι οι επεκτάσεις των τεσσάρων πλευρών ενός τετράεδρου. Στην αριστερή εικόνα έχουμε απομονώσει αυτό το τετράεδρο που δείχνει τις γκρίζες του επιφάνειες προς τα έξω. Δεξιά, το αντίθετο: οι επιφάνειες είναι ροζ. Στο κέντρο, η ενδιάμεση κατάσταση: το τετράεδρο έχει μειωθεί σε ένα σημείο Q (διπλό, επειδή βρίσκεται στην τομή τεσσάρων φύλλων).

Με τη βοήθεια αυτών των τεσσάρων καταστροφών θα εξετάσουμε την αναστροφή μίας σφαίρας μέσω μίας συνεχούς ακολουθίας διαστημικών προβολών. Αυτή η εκδοχή οφείλεται στον μαθηματικό (τυφλό) Bernard Morin. Η συνάντησή μας αξίζει να αναφερθεί. Ένας μέρα ένας τεχνικός της Σχολής Ανθρωπιστικών Επιστημών με ζήτησε να φέρω τα ταλέντα μου ζωγράφου σε έναν ομιλητή που θα μιλούσε για γεωμετρία. Πήγα στη συνάντηση αυτή χωρίς καμία υποψία. Πάντα είχα είναι αρκετά ικανός να δω αντικείμενα στο χώρο, και όταν ο διδάσκοντας μας στα μαθηματικά υψηλού επιπέδου μας έδινε ένα πρόβλημα γεωμετρίας προβολής, ζωγραφίζαμε την τομή και παρείχαμε μία προοπτική προβολή ταυτόχρονα με τη διατύπωση του προβλήματος. Αλλά τώρα τα πράγματα θα πήγαιναν διαφορετικά.

Δεν είχα καμία δυσκολία να ζωγραφίσω τις παραπάνω εικόνες. Αλλά όταν έπρεπε να τις ενσωματώσω σε ένα σχήμα που περιελάμβανε την αναστροφή της σφαίρας, τελικά χάθηκα πλήρως, αντιμετωπίζοντας ένα σύνολο επιφανειών που βρίσκονταν η μία πίσω από την άλλη. Ενοχλημένος, επέστρεψα να δω αυτό το περίεργο πρόσωπο, που παρόλο που έλειπε η όραση, φαινόταν πιο άνετος από εμένα σε αυτή την εκτατική παρουσία σχημάτων. Τότε ακολούθησα τα μαθήματά του για πολλούς μήνες. Ο διάλογος ήταν αρκετά δύσκολος. Από τη μία πλευρά, είχε μόνο τη λέξη ως μέσο. Από τη δική μου πλευρά, μπορούσα είτε να του περιγράψω τα σχέδιά μου, είτε να του δώσω μοντέλα που είχα φτιάξει μόλις επέστρεψα στο σπίτι, ή αργότερα στον τόπο. Θα έπρεπε να καταγράψουμε αυτούς τους διαλόγους, που ήταν απόλυτα υπερβολικοί, όπως:

- Προσπάθησε να φανταστείς δύο καμπύλες που θα συναντιούνταν δημιουργώντας κάτι σαν έναν χοντρό μαστίγα για την ανάκατη των αυγών.

Παρά τη δύσκολη προσωπικότητα του προσώπου, αυτές οι συναντήσεις έμειναν ανεκτίμητες για μένα. Τελικά έγινα συνηθισμένος να παίρνω δύο ασπιρίνες πριν από τις συναντήσεις μας, ως προληπτική μέτρηση. Το χαρακτήρας του μπορεί να περιγραφεί με τον τίτλο που τον είχε δώσει η γυναίκα του: "Ευλογημένη Κεραυνός", ένας χαρακτήρας της διάσημης σειράς Hergé "Τίντιν στο Τιβέτ". Οι εχθρότητες του Morin είχαν τόσο θρυλικό χαρακτήρα όσο και ανεπανόρθωτες. Του έβγαινε να αναφέρει κάποιους από τους εχθρούς του, που είχαν πεθάνει, λέγοντας:

*- Μερικές φορές ρίχνω μία μικρή κατάρα στον άλλο κόσμο, λέγοντας στον εαυτό μου ότι αν δεν τους προκαλεί