Η Αναστροφή της Σφαίρας

Η Αναστροφή της Σφαίρας

7 Δεκεμβρίου 2004

σελίδα 3

Τα βασικά καταστροφικά γεγονότα.

Έχουμε ήδη αναφέρει πιο πάνω ότι οι εμβυθίσεις που εξετάζαμε ήταν τέτοιες ώστε τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος των συνόλων αυτοτομής τους, όταν αυτά υπήρχαν, να παραμένουν διακριτά. Είναι τότε δυνατό να περάσουμε από μία εμβύθιση σε μία άλλη μέσω τεσσάρων βασικών καταστροφών. Ο Morin τους έδωσε ονόματα, τα οποία φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Η πρώτη οδηγεί στη δημιουργία μίας κλειστής καμπύλης (και στην καταστροφή της, την αντίστροφη ενέργεια). Αυτό συμβαίνει όταν βυθίζουμε τον αγκώνα μας στο νερό μίας βάσης για να εκτιμήσουμε τη θερμοκρασία του (στα αριστερά). Σχήμα a4: οι επιφάνειες είναι σε επαφή σε ένα σημείο. Στο a5 έχει δημιουργηθεί η καμπύλη αυτοτομής. Στη συνέχεια του κειμένου θα αποκαλέσουμε αυτή τη διαδικασία «η καταστροφή του αγκώνα».

Η «καταστροφή του αγκώνα»: δημιουργία – καταστροφή μίας κλειστής καμπύλης

Η δεύτερη καταστροφή είναι αυτή της «κομμένης μανταρίνας»:

Η καταστροφή που αποτελείται από τη δημιουργία-καταστροφή μίας «κομμένης μανταρίνας».

Αν κοιτάξετε προσεκτικά αυτές τις εικόνες, από τα αριστερά προς τα δεξιά θα δείτε ότι ένας παραβολικός κύλινδρος πλησιάζει ένα δίεδρο. Το σύνολο της αυτοτομής αποτελείται από δύο απομονωμένες καμπύλες παραβολικού σχήματος, καθώς και φυσικά την ακμή του δίεδρου. Στη μεσαία εικόνα η ακμή του δίεδρου είναι σε επαφή με μία από τις γεννήτριες του κυλίνδρου. Αυτή η ακμή είναι εφαπτόμενη στον κύλινδρο σε αυτό το σημείο. Το σύνολο της αυτοτομής αποτελείται από δύο παραβολικές καμπύλες που είναι εφαπτόμενες σε ένα σημείο και στην ακμή του δίεδρου. Δεξιά: ο παραβολικός κύλινδρος συνέχισε την κίνησή του. Η καμπύλη αυτοτομής άλλαξε. Αποτελείται από την ακμή του δίεδρου, καθώς και από τις παραβολικές καμπύλες που τέμνονται σε δύο σημεία, που βρίσκονται στην ακμή του δίεδρου. Μπορούμε να θεωρήσουμε αντίστροφα ότι ο παραβολικός κύλινδρος είναι ακίνητος και ότι είναι τα δύο «επίπεδα κοπής» που κινούνται. Η δεξιά εικόνα θυμίζει δύο χτυπήματα με το ξυράφι, ή δύο κοπές με το λεπίδι. Το κομμάτι που ξεκολλάει επίσης φαίνεται. Ο Morin το σύγκρινε με μία «κομμένη μανταρίνα», μία εικόνα πολύ εκφραστική.

Η τρίτη καταστροφή είναι αυτή «του παντελονιού».

Η καταστροφή «του παντελονιού»

Οι εικόνες είναι αρκετά εκφραστικές. Κατεβαίνουμε από αριστερά προς δεξιά ένα παντελόνι στο νερό. Αριστερά το πουλί περνάει κάτω από τον άνω χώρο, αλλά το ψάρι παραμένει περιορισμένο σε μία από τις πόδια. Δεξιά το ψάρι περνάει, αλλά η διέλευση που χρησιμοποιούσε το πουλί έχει εξαφανιστεί. Στο μέσο, η ενδιάμεση κατάσταση. Το σημαντικό είναι η τοπική μεταβολή της καμπύλης τομής, που αντιστοιχεί σε αυτό που ονομάζεται «χειρουργική επέμβαση», μία αλλαγή σύνδεσης τόξων καμπύλης. Προσπαθήστε να κατανοήσετε καλά αυτή τη μετασχηματισμό, ο οποίος θα αποδειχθεί ο πιο δύσκολος να εφαρμοστεί και να δει κανείς στην ομοτοπία της αναστροφής της σφαίρας. Κρατήστε καλά ότι αυτή η καταστροφή κλείνει μία διέλευση ταυτόχρονα με την άνοιξη μίας άλλης στην κάθετη κατεύθυνση.

Η τέταρτη και τελευταία καταστροφή είναι αυτή της «αντιστροφής ενός τετράεδρου»:

Η καταστροφή που αντιστρέφει ένα τετράεδρο

Η καμπύλη αυτοτομής αποτελείται από τέσσερις «ευθείες», οι οποίες είναι οι επεκτάσεις των τεσσάρων πλευρών ενός τετράεδρου. Στην αριστερή εικόνα έχουμε απομονώσει αυτό το τετράεδρο που δείχνει τις γκρίζες του επιφάνειες προς τα έξω. Δεξιά, το αντίθετο: οι επιφάνειες είναι ροζ. Στο μέσο, η ενδιάμεση κατάσταση: το τετράεδρο έχει μειωθεί σε ένα σημείο Q (διπλό, επειδή βρίσκεται στην τομή τεσσάρων επιφανειών).

Με τη βοήθεια αυτών των τεσσάρων καταστροφών θα εξετάσουμε τον τρόπο αναστροφής μίας σφαίρας μέσω μίας συνεχούς ακολουθίας διαστροφικών εμβυθίσεων. Αυτή η εκδοχή οφείλεται στον μαθηματικό (τυφλό) Bernard Morin. Η συνάντησή μας αξίζει να περιγραφεί. Ένας μέρα ένας τεχνικός της Σχολής Γλωσσών μου ζήτησε να φέρω τα ταλέντα μου ζωγράφου σε έναν ομιλητή που θα μίλησε για γεωμετρία. Πήγα στη συνάντηση αυτή χωρίς καμία υποψία. Πάντα είχα είναι αρκετά ικανός να δω αντικείμενα στο χώρο, και όταν ο καθηγητής μας των προχωρημένων μαθηματικών μας έδινε προβλήματα γεωμετρίας προβολής, ζωγραφίζαμε την τομή και παρείχαμε μία προοπτική εικόνα ταυτόχρονα με τη διατύπωση του προβλήματος. Αλλά εκείνη τη φορά τα πράγματα θα έπαιρναν διαφορετική κατεύθυνση.

Δεν είχα καμία δυσκολία να ζωγραφίσω τις παραπάνω εικόνες. Αλλά όταν έπρεπε να τις ενσωματώσω σε ένα σχήμα που περιελάμβανε την αναστροφή της σφαίρας, τελικά χάθηκα εντελώς, αντιμετωπίζοντας ένα σύνολο επιφανειών που βρίσκονταν η μία πίσω από την άλλη. Ενοχλημένος, επέστρεψα να δω αυτό το περίεργο πρόσωπο, το οποίο, παρά την έλλειψη όρασης, φαινόταν πιο άνετο από εμένα σε αυτή τη διαδικασία σχημάτων. Επομένως ακολούθησα τα μαθήματά του για πολλούς μήνες. Ο διάλογος ήταν αρκετά δύσκολος. Από τη μία πλευρά, είχε μόνο τη λέξη ως μέσο. Από την άλλη, μπορούσα είτε να του περιγράψω τα σχέδιά μου, είτε να του δώσω μοντέλα που είχα φτιάξει στο σπίτι ή αργότερα στο μέρος. Θα έπρεπε να έχουμε καταγράψει αυτούς τους διαλόγους, που ήταν απολύτως υπερβολικοί, όπως:

- Προσπάθησε να φανταστείς δύο καμπύλες που θα συναντιούνταν σχηματίζοντας κάτι σαν μία μπαστούνα για την ανακάτεψη αυγών.

Παρά τη δύσκολη προσωπικότητα του ατόμου, αυτές οι συναντήσεις παρέμειναν ανεκτίμητες για μένα. Τελικά έγινα συνηθισμένος να παίρνω δύο ασπιρίνες πριν από τις συναντήσεις μας, ως προφυλακτικό μέτρο. Το χαρακτήρας του μπορεί να περιγραφεί με τον τίτλο με τον οποίο η γυναίκα του τον χαρακτήρισε: «Ευλογημένη Κεραυνός», ένα πρόσωπο της διήγησης «Τίντιν στο Τιβέτ» του Hergé. Οι εχθρότητες του Morin είχαν τόσο μεγάλη φήμη όσο και ανεπανόρθωτες. Συχνά αναφερόταν σε κάποιους από τους εχθρούς του, οι οποίοι είχαν πεθάνει, λέγοντας:

*- Μερικές φορές ρίχνω μί