Αναστροφή της σφαίρας Μαθηματικές καταστροφές
Η Αναστροφή της Σφαίρας
8 Δεκεμβρίου 2004
Σελίδα 4
Η έκδοση του Bernard Morin
Για να κατεβάσετε την έκδοση pdf του άρθρου του B. Morin και J.P. Petit, που δημοσιεύτηκε στο Pour la Science
Η αναστροφή της σφαίρας (2,8 MB)
Ξεκινάμε από μία σφαίρα που παρουσιάζει τη γκρίζα της επιφάνεια προς τα έξω και τη ροζ προς τα μέσα. Στα b και c φέρνουμε τους πόλους της σε επαφή. Στη συνέχεια, οι επιφάνειες διαπερνούν η μία την άλλη με μία "καταστροφή του γόνατου". Δημιουργείται μία κλειστή καμπύλη αυτοτομής. Στην κάτω δεξιά γωνία, τρεις ημικοπές βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση της προκύπτουσας διάταξης. Σε αυτό το σημείο, η σφαίρα μοιάζει με έναν κυκλικό "πλωτό κανό", με ένα "σωλήνα" και ένα "δάπεδο" διπλής επιφάνειας.
Πρώτη φάση: μία "καταστροφή του γόνατου". Δημιουργία μίας κλειστής καμπύλης αυτοτομής
Δεύτερη ενέργεια: νέα καταστροφή του γόνατου, δημιουργία μίας δεύτερης κλειστής καμπύλης αυτοτομής.
Δεύτερη δημιουργία μίας κλειστής καμπύλης αυτοτομής.
Για να γίνει αυτό, το "πλωτό κανό" έχει περιπλακεί με ένα στροφικό κίνημα, προκειμένου να φέρει δύο τμήματα του "σωλήνα", αντίθετα μεταξύ τους, σε επαφή. Η επόμενη εικόνα είναι το αποτέλεσμα δύο καταστροφών που οδήγησαν στη δημιουργία "τμημάτων πορτοκαλιού".
Μετά τη δημιουργία δύο "τμημάτων πορτοκαλιού"
Στα αριστερά, έχουμε κάνει τομές στο μοντέλο. Στο κέντρο, βλέπουμε πώς τα δύο κύλινδροι, των οποίων η τομή τοπικά μοιάζει με το ελληνικό γράμμα "γάμα", διαπερνούν ο ένας τον άλλο. Θυμηθείτε ότι η καταστροφή που δημιουργεί τα "τμήματα πορτοκαλιού" επιτελείται κόβοντας μία "ξύλινη ράβδο" με δύο επίπεδα που σχηματίζουν δίεδρο. Κάθε μία από τις κυλινδρικές δομές, των οποίων η τομή είναι σε "γάμα", περιλαμβάνει τόσο την καμπύλη τομή, όσο και το δίεδρο. Παρατηρήστε προσεκτικά την εικόνα i. Στο j έχουμε σχεδιάσει το σύνολο της αυτοτομής. Το μεγαλύτερο τμήμα της κλειστής καμπύλης προέρχεται από την πρώτη "καταστροφή του γόνατου", που μετέτρεψε τη σφαίρα σε "πλωτό κανό". Μετά τη δημιουργία των δύο τμημάτων πορτοκαλιού, προκύπτει ένα πιο περίπλοκο σύνολο, του οποίου το j είναι υποσύνολο. Στο j" βλέπουμε ότι αυτή η δομή μπορεί να συγκριθεί με τη συναρμολόγηση δύο "τμημάτων πορτοκαλιού" σε δύο μη γειτονικές ακμές ενός τετραέδρου.
Όλα αυτά θα γίνουν μία μέρα πολύ πιο εύκολα κατανοητά όταν θα μπορέσω να δημιουργήσω αναμιμημένες εικόνες. Από την άποψη της τεχνολογίας, δεν έχω κανένα πρόβλημα. Είναι απλώς ένα θέμα χρόνου. Σπάνιοι είναι οι άνθρωποι που μπορούν να "δουν" στο χώρο, δηλαδή να διαβάσουν αυτό τον κώδικα που χρησιμοποιεί γραμμές, κουκκίδες, χρώματα, σκιές και αντανακλάσεις, και επίσης να συνδέσουν στο μυαλό τους μετασχηματισμούς, φαντάζοντας την κίνηση που υποδηλώνεται. Ελπίζω να έχω μία μέρα τον χρόνο να κάνω όλα αυτά. Παρατηρήστε ενδεχομένως ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολυεδρικά μοντέλα, όπως έκανα για να δείξω πώς μπορούμε να μετατρέψουμε μία Crosscap σε επιφάνεια του Boy. Αυτός είναι ο μέλλοντας. Αλλά αυτά τα μοντέλα πρέπει να εφευρεθούν. Πιο κάτω θα βρείτε την βελτιστοποιημένη πολυεδρική έκδοση του κεντρικού μοντέλου αυτής της μετατροπής που εφεύρε ο Bernard Morin (θυμηθείτε ότι είναι τυφλός!), μαζί με τον τρόπο κατασκευής του από ένα κόψιμο.
Γιατί δεν πήγα πιο μακριά με αυτά; Θα έλεγα: λόγω έλλειψης "δυνατοτήτων". Δεν υπάρχουν επιστημονικές επιθεωρήσεις μαθηματικών που δέχονται να δημοσιεύσουν τέτοια έργα. Τα είχαμε κάνει το 1975-78 μέσω μερικών σημειώσεων στα Comptes Rendus της Ακαδημίας Επιστημών της Παρισιού, οι οποίες πιθανόν να μην έχουν διαβαστεί από πολλούς. Αλλά το έκαναμε επειδή ο ακαδημαϊκός André Lichnérowicz ενδιαφερόταν προσωπικά για αυτά τα έργα. Πλέον έχει πεθάνει. Επειδή τα έργα είχαν ολοκληρωθεί εντελώς από το 1975, θα ήταν επιθυμητό να δημιουργήσουμε ένα αναμιμημένο βίντεο από τα σχέδιά μου. Επειδή εργαζόμουν στο αναμιμημένο σχέδιο, ήμουν πλήρως σε θέση να συντονίσω μία τέτοια επιχείρηση. Αλλά ήταν αδύνατο να βρεθεί χρηματοδότηση από το CNRS και τελικά ο αμερικανός μαθηματικός Nelson Max, επικαλούμενος μοντέλα που είχε κατασκευάσει ο συνάδελφός του Charles Pugh (από αυτή την έκδοση της αναστροφής της σφαίρας), και χρησιμοποιώντας ένα ισχυρό υπολογιστή, κατάφερε να δημιουργήσει το πρώτο βίντεο. Αλλά αυτό δεν είναι wether το πρώτο, wether το τελευταίο φορά που Γάλλοι, που δεν λαμβάνουν κανένα αντίκρισμα για τις προσπάθειές τους, έχουν προλάβει από συναδέλφους ξένους που είναι καλύτερα δομημένοι και καλύτερα υποστηριζόμενοι.
Προχωράμε στην τρίτη φάση, η πιο δύσκολη να κατανοηθεί.
Προετοιμασία δύο "καταστροφών του παντελονιού"
Στην εικόνα k διακρίνονται καθαρά τα δύο άκρα των "ποδιών του παντελονιού", τα οποία φαίνονται σε ενδεχόμενη προβολή στο k'. Η λευκή βέλος δείχνει την περάσιμο "μέσα από τα πόδια". Αυτή η μετασχηματισμός είναι πραγματικά δύσκολη να κατανοηθεί. Πρόσθεσα το σχέδιο m για να προσπαθήσω να κατανοηθώ καλύτερα. Στο l έχω απεικονίσει με διακεκομμένες γραμμές την καμπύλη αυτοτομής, η οποία φαίνεται στο σύνολό της στο l'. Ένα περάσιμο (αυτό που ακολουθεί το λευκό βέλος) θα κλείσει. Αυτή η κίνηση του κλεισίματος συνοδεύεται από την ανύψωση μέρους της καμπύλης τομής σε δύο σημεία. Αυτά τα τμήματα της καμπύλης θα έρθουν σε επαφή, καθένα σε μία από τις γραμμές που ανήκουν σε "τμήματα πορτοκαλιού". Όταν η επαφή θα γίνει, η χειρουργική επέμβαση θα πραγματοποιηθεί. Η δυσκολία προκύπτει από το γεγονός ότι όταν έχετε δει τις τέσσερις βασικές καταστροφές, στην προηγούμενη σελίδα, πρέπει να είστε σε θέση να τις μεταφέρετε από όλες τις γωνίες, ακόμα και αν χρειαστεί να στρίψετε το λαιμό σας. Στο n έχει απεικονιστεί το κρίσιμο στιγμιότυπο όπου η χειρουργική επέμβαση πραγματοποιείται (η "μεσαία κατάσταση" της μετατροπής) και όπου η μέθοδος σύνδεσης των τμημάτων της καμπύλης θα αλλάξει. Ξέρουμε ότι αυτή η καταστροφή "του παντελονιού" κλείνει ένα περάσιμο και ανοίγει ένα άλλο. Το