Αναστροφή του τόρου στην τοπολογία

Η Αναστροφή του Τόρου

9 Δεκεμβρίου 2004

Σελίδα 5

Μια εφαρμογή αυτών των εργασιών: η τριβή του τόρου

Αν και η αναστροφή μιας σφαίρας αποδείχθηκε τόσο δύσκολη, αντίθετα, ξεκινώντας από αυτήν, είναι εξαιρετικά εύκολο να αναστραφεί ένας τόρος. Μπορούμε ακόμα να πούμε ότι είναι εφικτή για ένα παιδί δέκα ετών. Ο τόρος δεν είναι τελικά τίποτα άλλο παρά μια σφαίρα με μια χερσαία σύνδεση. Εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία που χρησιμοποιήθηκε για την ανταλλαγή των δύο κορυφών μιας Crosscap, δηλαδή αναστρέφουμε τη σφαίρα χωρίς να μας ενδιαφέρει. Η χερσαία σύνδεση τότε βρίσκεται στο εσωτερικό. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτός ο «γέφυρα» μετατρέπεται σε «υπόγειο δρόμο». Όμως, όλοι οι μηχανικοί δρόμων γνωρίζουν ότι κάθε υπόγειος δρόμος σε ένα δίκτυο οδών μπορεί να μετατραπεί σε σημείο μέσω μιας κανονικής ομοτοπίας.

Όταν η σφαίρα έχει αναστραφεί, αρκεί να περάσουμε το δάχτυλο μας από αυτόν τον δρόμο και να τραβήξουμε με μια απότομη κίνηση. Δείτε τα σχέδια παρακάτω.

Η τριβή του τόρου

Αν και δεν φαίνεται πολύ καθαρά σε αυτό το σχέδιο, στο α έχει σχεδιαστεί ένας από τους γεννήτορες του τόρου, οι οποίοι αποτελούν μία από τις δύο οικογένειες κύκλων που επιτρέπουν την απεικόνιση του χωρίς να δημιουργηθούν σημεία αστάθειας στο δίκτυο (βλ. το Topologicon). Όταν η χερσαία σύνδεση συγκεντρώθηκε σε μία περιοχή μιας σφαίρας με χερσαία σύνδεση b, η καμπύλη παραμένει ορατή. Όταν η σφαίρα με χερσαία σύνδεση αναστραφεί, στο c, και ο χειριστής περάσει το δάχτυλό του από τον δρόμο, αυτή η καμπύλη περικλείει το δάχτυλό του. Όταν «εξάγει» τη χερσαία σύνδεση, στο d, βλέπουμε (τελική εικόνα e, η αναστροφή του τόρου) ότι αυτός ο κύκλος έχει γίνει ο κύκλος της θώρακας της επιφάνειας. Έτσι, όταν ξεκινήσουμε από έναν τόρο που απεικονίζεται με διπλό δίκτυο από μεσημβρινούς κύκλους και παράλληλους κύκλους (ο κύκλος της θώρακας ανήκει στη δεύτερη οικογένεια), βλέπουμε ότι η διαδικασία της αναστροφής ανταλλάσσει αυτές τις δύο οικογένειες. Αυτό έχει κάτι μαγικό και ομολογώ ότι υπερβαίνει την κατανόησή μου. Κάθε άτομο θα πρέπει να μάθει να γνωρίζει τα όριά του. Προσωπικά, νομίζω ότι υπάρχουν ορισμένες μαθηματικές διαδικασίες στις οποίες το εγκέφαλο θα έπρεπε να είχε ένα ασφάλεια.

Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα

Επιστροφή στον Οδηγό Επιστροφή στην Αρχική Σελίδα

Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από τις 9 Δεκεμβρίου 2004: