Η αναστροφή του τορού του Κλάιν

Η αναστροφή του τορού

5 Δεκεμβρίου 2004

σελίδα 6

Η μη τετριμμένη αναστροφή του τορού
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences, τόμος 293, συνεδρίαση της 5ης Οκτωβρίου 1981, σειρά 1, σελίδες 269-272

Θα περιοριστώ στο να παρουσιάσω τη σειρά των σχεδίων, χωρίς να τα σχολιάσω.

Μη τετριμμένη αναστροφή του τορού. Πρώτο μέρος της μετασχηματισμού

Μη τετριμμένη αναστροφή του τορού. Δεύτερο μέρος της μετασχηματισμού

Όταν φτάνουμε στο σχήμα v, βλέπουμε ότι είναι τώρα εύκολο να συμπληρώσουμε τη γκρίζα και τη ροζ δομή, ώστε να μετατρέψουμε αυτό το αντικείμενο σε διπλό επίκαλυμμα της φιάλης του Κλάιν.

Η αναστροφή γίνεται τότε με ανταλλαγή των φύλλων που βρίσκονται απέναντι. Παρακάτω, το ίδιο σχήμα με χρωματική κωδικοποίηση.

Διπλό επίκαλυμμα της φιάλης του Κλάιν, με χρωματική κωδικοποίηση

(αυτό το σχέδιο δεν περιλαμβάνεται στην ετήσια έκθεσή μου στο CNRS. θα το βρείτε στο Topologicon)

Οι διάφορες οικογένειες των τορών.

Αυτό που είχε αποδείξει ο Stephen Smale το 1957 ήταν ότι υπάρχει μόνο μία οικογένεια εμφυτεύσεων της σφαίρας, και ότι όλες μπορούν να συνδεθούν μεταξύ τους μέσω μίας ομοτοπίας. Αυτές σχημάτιζαν μία ομάδα, όπου το ουδέτερο στοιχείο ήταν να αφήσουμε το αντικείμενο όπως είναι. Ερωτήθηκε αν θα ίσχυε το ίδιο και για τον τόρο. Οι μαθηματικοί Ioan James και Emery Thomas απέδειξαν ότι οι εμφυτεύσεις του τορού διαμορφώνονται σε τέσσερα ηπείρους, μεταξύ των οποίων δεν είναι δυνατό να διασχίσει κανείς μέσω μίας κανονικής ομοτοπίας.

Οι τέσσερις οικογένειες των τορών

Ο «κανονικός τόρος», που σχεδιάστηκε στο κέντρο της σελίδας, ανήκει στην ίδια οικογένεια με το αντικείμενο που φαίνεται στο b. Αυτό το είχα δείξει κατά τη διάρκεια της εκδοχής της αναστροφής του τορού που εφηύρα το 1980. Η οικογένεια που αναφέρεται στο a αντιπροσωπεύει έναν τόρο που έχει υποστεί μία στρέψη 360°. Μοιάζει με τον κανονικό τόρο, αλλά οι δύο ορίζονται από το σύστημα χαρτογράφησής τους, με τη βοήθεια δύο οικογενειών καμπύλων. Στον κανονικό τόρο χρησιμοποιούμε δύο σύνολα κύκλων, που αντιστοιχούν σε μεριδιανούς και παράλληλους. Στον τόρο a θα πρέπει να συμπληρώσουμε την οικογένεια των κύκλων που είναι προσκολλημένα με μία δεύτερη οικογένεια, που στρέφεται με αντίθετη κατεύθυνση. Μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αδύνατο, με τη βοήθεια μίας κανονικής ομοτοπίας, να φέρουμε το δίκτυο αυτού του τορού a σε συμφωνία με το δίκτυο του κανονικού τορού (μεριδιανοί κύκλοι πλέον παράλληλοι κύκλοι). Είναι γι’ αυτό το λόγο που αποτελούν διαφορετικά αντικείμενα. Όλα αυτά τα αντικείμενα μπορούν φυσικά να διαμορφωθούν ως διπλό επίκαλυμμα της φιάλης του Κλάιν.

Η δύναμη των εργαλείων του γεωμέτρη είναι να προβλέπει τι είναι δυνατό και τι δεν είναι. Μετατροπή του κανονικού τορού σε αυτόν του σχήματος b: ναι. Μετάβαση από c σε d: όχι.

Αυτό αποφεύγει την άσκοπη χρήση χρόνου και καθιστά ενδιαφέρον την αναζήτηση πραγμάτων που δεν είναι καθόλου προφανή, όπως η αναστροφή μίας σφαίρας. Το ίδιο συμβαίνει σε όλες τις επιστήμες. Αποδεικνύεται ότι άνθρωποι περνούν δεκαετίες ή ακόμη και αιώνες παρακάμπτοντας εποικοδομητικές διαδικασίες, απλά επειδή τις θεωρούσαν αδύνατες. Αφιέρωσα μερικά χρόνια της ζωής μου στη δημιουργία μίας θεωρίας για την απομάκρυνση των σονικών κυμάτων γύρω από ένα αντικείμενο που κινείται με υπερηχητική ταχύτητα σε αέριο, με τη βοήθεια ενός πεδίου δυνάμεων του Laplace, της «MHD». Ένας φοιτητής έκανε ακόμη και διδακτορικό σε αυτό το θέμα υπό την καθοδήγησή μου, και δημοσιεύσαμε τα έργα μας σε διάφορες επιστημονικές επιθεωρήσεις και συνέδρια. Το θέμα αυτό αρχίζει μόνο τώρα να εμφανίζεται, τριάντα χρόνια μετά. Υποψιάζονται ότι οι Αμερικανοί διαθέτουν υπερηχητικά αεροπλάνα που μπορούν να κινηθούν σε Mach 10 χωρίς να δημιουργούν σονικά κύματα (και ειδικότερα χωρίς να υποφέρουν από τις τεράστιες θερμικές τάσεις που συνδέονται με την ανασύσταση του αέρα πίσω από αυτά τα «bangs»). Αυτός είναι ο φημισμένος μύθος του Aurora, το αεροπλάνο που διασχίζει την υψηλότερη ατμόσφαιρα, όπου συμβαίνουν οι βόρειοι φωτισμοί, σε υψόμετρο 80 έως 150 χιλιόμετρα. Το Aurora είναι επίσης η προφήτευση των μελλοντικών διαστημικών πυραύλων που, στηριζόμενα στον αέρα, θα είναι πολύ πιο οικονομικά από τους πυραύλους του CNES. Στη Γαλλία ήταν αδύνατο να ξεκινήσει κάτι τέτοιο (είχα αυτές τις ιδέες το 1975), επειδή άνθρωποι, ιδίως στο CNRS, τις θεωρούσαν εντελώς ανόητες. Το αποτέλεσμα είναι τριάντα χρόνια καθυστέρησης σε σχέση με τις ΗΠΑ, που σύμφωνα με τη γνώμη μου είναι απολύτως αναπόφευκτη.


Η μπαλάκα του καπνού

Για να είμαι πλήρης, πρέπει να αναφέρω τις εκδόσεις της αναστροφής της σφαίρας που έχουν ως κεντρικό αντικείμενο μία μπαλάκα καπνού. Ήταν ένα αντικείμενο που ήταν δημοφιλές όταν ήμουν νέος, αλλά πιθανόν να μην συναντάται πλέον σήμερα. Ο πρώτος που σχεδίασε αυτές τις σειρές ήταν ο Georges Francis. Τα τελευταία χρόνια εργάζομαι σε μία πολυεδρική έκδοση αυτών των εκδόσεων, που έχει ήδη δώσει ένα αρκετά όμορφο κεντρικό μοντέλο. Αλλά για να το δείξω σε εσάς, θα πρέπει να το βρω ξανά. Ελπίζω να το καταφέρω σύντομα, επειδή είναι ένα από τα πιο φανταστικά αντικείμενα που έχω φτιάξει ποτέ.

Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα

Επιστροφή στον οδηγό Επιστροφή στην αρχική σελίδα

Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από τις 8 Δεκεμβρίου 2004: