Αναστροφή του Τορου του Κλάιν

Η Αναστροφή του Τορου

9 Δεκεμβρίου 2004

Σελίδα 6

Μη τετριμμένη αναστροφή του τορου
J.P. Petit:
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, tome 293, séance du 5 octobre 1981, série 1, pp. 269-272

Θα περιοριστώ στο να παρουσιάσω τη σειρά των σχεδίων, χωρίς να τα σχολιάσω.

Μη τετριμμένη αναστροφή του τορου. Πρώτο μέρος της μετασχηματισμού

Μη τετριμμένη αναστροφή του τορου. Δεύτερο μέρος της μετασχηματισμού

Όταν φτάνουμε στην εικόνα v, βλέπουμε ότι είναι τώρα εύκολο να συμπληρωθεί η γκρίζα δομή με τη ροζ δομή, ώστε να μετατραπεί αυτό το αντικείμενο σε διπλή επίκαλυψη της βιβλίου του Κλάιν.

Η αναστροφή γίνεται τότε με ανταλλαγή των φύλλων που βρίσκονται απέναντι. Παρακάτω, το ίδιο σχέδιο με χρωματική κωδικοποίηση.

Διπλή επίκαλυψη της βιβλίου του Κλάιν, με χρωματική κωδικοποίηση

(Αυτό το σχέδιο δεν περιλαμβάνεται στην ετήσια έκθεσή μου στο CNRS. Θα το βρείτε στο Topologicon)

Οι διάφορες οικογένειες των τόρων.

Αυτό που είχε αποδείξει ο Stephen Smale το 1957 ήταν ότι υπήρχε μόνο μία οικογένεια εμφυτεύσεων της σφαίρας, και ότι όλες αυτές μπορούσαν να συνδεθούν μεταξύ τους μέσω μίας ομοτοπίας. Αυτές αποτελούσαν μία ομάδα, όπου το ουδέτερο στοιχείο ήταν να αφήσει το αντικείμενο όπως ήταν. Ερωτήθηκε εάν θα μπορούσε να συμβεί το ίδιο και για τον τόρο. Οι μαθηματικοί Ioan James και Emery Thomas απέδειξαν ότι οι εμφυτεύσεις του τορου διαμορφώνονται σε τέσσερα ηπείρωνα, μεταξύ των οποίων δεν είναι δυνατό να διασχιστεί με μία κανονική ομοτοπία.

Οι τέσσερις οικογένειες των τόρων

Ο «κανονικός τόρος», που σχεδιάστηκε στο κέντρο της σελίδας, ανήκει στην ίδια οικογένεια με το αντικείμενο που φαίνεται στο b. Αυτό το είχα αποδείξει ενδιάμεσα στην έκδοση της αναστροφής του τορου που εφηύρα το 1980. Η οικογένεια που αναφέρεται στο a αντιπροσωπεύει έναν τόρο που έχει υποστεί μία στρέψη 360°. Μοιάζει με τον κανονικό τόρο, αλλά οι δύο ορίζονται από το σύστημα χαρτογράφησής τους, με τη βοήθεια δύο οικογενειών καμπύλων. Στον κανονικό τόρο χρησιμοποιούμε δύο σύνολα κύκλων, που αντιστοιχούν σε μεριδιανούς και παράλληλους. Στον τόρο a θα πρέπει να συμπληρώσουμε την οικογένεια των κύκλων που επικείμενονται με μία δεύτερη οικογένεια, που στρέφεται σε αντίθετη κατεύθυνση. Μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αδύνατο, με μία κανονική ομοτοπία, να φέρουμε το δίκτυο αυτού του τορου a σε συμφωνία με το δίκτυο του κανονικού τορου (μεριδιανοί κύκλοι συν παράλληλοι κύκλοι). Αυτός είναι ο λόγος που είναι διαφορετικά αντικείμενα. Όλα αυτά τα αντικείμενα μπορούν φυσικά να διαμορφωθούν ως διπλή επίκαλυψη της βιβλίου του Κλάιν.

Η δύναμη των εργαλείων του γεωμέτρη είναι να προβλέπει τι είναι δυνατό και τι δεν είναι δυνατό. Μετατροπή του κανονικού τορου σε τόρο της εικόνας b: ναι. Μετάβαση από c σε d: όχι.

Αυτό αποφεύγει την άσκοπη χρήση χρόνου και καθιστά επικρατέστερη την αναζήτηση πραγμάτων που δεν είναι καθόλου προφανή, όπως η αναστροφή μίας σφαίρας. Το ίδιο συμβαίνει σε όλες τις επιστήμες. Υπάρχουν περιπτώσεις που άνθρωποι περνούν από πλάι από εύκολες διαδικασίες για χρόνια ή ακόμα και αιώνες, απλώς επειδή τις θεωρούσαν αδύνατες. Αφιέρωσα μερικά χρόνια της ζωής μου στη δημιουργία μίας θεωρίας για την απομάκρυνση των σονικών κυμάτων γύρω από ένα αντικείμενο που κινείται με υπερηχητική ταχύτητα σε αέριο, με τη βοήθεια ενός πεδίου δυνάμεων του Laplace, της "ΜΗΔ". Ένας φοιτητής έκανε ακόμα διδακτορική διατριβή σε αυτό το θέμα υπό την καθοδήγησή μου, και δημοσιεύσαμε τα έργα μας σε διάφορες επιστημονικές επιθεωρήσεις και συνέδρια. Το θέμα αρχίζει μόνο τώρα να γίνεται αισθητό, τριάντα χρόνια μετά. Υποψιάζεται ότι οι Αμερικανοί διαθέτουν υπερηχητικά αεροπλάνα που μπορούν να κινηθούν σε Mach 10 χωρίς να δημιουργούν σονικά κύματα (και ειδικότερα χωρίς να υποστούν τις τεράστιες θερμικές τάσεις που σχετίζονται με την ανασύσταση του αέρα πίσω από αυτά τα "μπαμ"). Αυτός είναι ο φημισμένος μύθος του Aurora, το αεροπλάνο που διασχίζει την υψηλή ατμόσφαιρα, σε υψόμετρο όπου συμβαίνουν οι βόρειοι φωτισμοί, μεταξύ 80 και 150 χιλιομέτρων. Ο Aurora είναι επίσης η προφήτευση των μελλοντικών διαστημικών πυραύλων που, στηριζόμενοι στον αέρα, θα είναι πολύ πιο οικονομικοί από τους πυραύλους του CNES. Στη Γαλλία ήταν αδύνατο να ξεκινήσει κάτι τέτοιο (είχα αυτές τις ιδέες το 1975), επειδή άνθρωποι, ιδιαίτερα στο CNRS, τις θεωρούσαν εντελώς ανόητες. Το αποτέλεσμα είναι τριάντα χρόνια καθυστέρησης σε σχέση με τις ΗΠΑ, που κατά τη γνώμη μου είναι απολύτως αναπόφευκτα.


Η κούκλα με τσιγάρα

Για να είμαι πλήρης, πρέπει να αναφέρω τις εκδόσεις της αναστροφής της σφαίρας που έχουν ως κεντρικό αντικείμενο μία κούκλα με τσιγάρα. Ήταν ένα αντικείμενο που ήταν διαδεδομένο όταν ήμουν νέος, αλλά πιθανόν να μην συναντάται πλέον σήμερα. Ο πρώτος που σχεδίασε αυτές τις ακολουθίες ήταν ο Georges Francis. Τα τελευταία χρόνια δουλεύω σε μία πολυεδρική έκδοση αυτών των εκδόσεων, που έχει ήδη δώσει ένα αρκετά όμορφο κεντρικό μοντέλο. Αλλά, για να το δείξω σε εσάς, θα πρέπει να το βρω ξανά. Ελπίζω να το καταφέρω σύντομα, επειδή είναι ένα από τα πιο φανταστικά αντικείμενα που έχω δημιουργήσει ποτέ.

Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα

Επιστροφή στο Εγχειρίδιο Επιστροφή στην αρχική σελίδα

Αριθμός επισκέψεων αυτής της σελίδας από τις 8 Δεκεμβρίου 2004: