Αυτός είναι ένας μονοέδρος που εφεύρα, έναν βροχερό ημέρα. Αν τον κοιτάξετε προσεκτικά, είναι ένα πολύεδρο που διαθέτει μόνο μία έδρα και μία μόνο πλευρά. Αν πάρετε ένα διάνυσμα κάθετο σε ένα σημείο της μοναδικής έδρας και το περιστρέψετε, εμφανίζεται ξανά μετά από περιστροφή 90°. Μόνο μετά την τέταρτη περιστροφή επανέρχεται στην αρχική θέση.
i
Έκανα το σχέδιο παραπάνω "με τραβήξιμο", το φαντασιούμενο στο μυαλό μου. Αλλά τώρα υπάρχουν προγράμματα που είναι σε θέση να διαχειριστούν αντικείμενα του είδους αυτού. Αυτοί που έχουν ήδη
κατεβάσει
(δωρεάν)
το Cosmo Player
ή είναι διατεθειμένοι να το κάνουν, θα μπορέσουν να απολαύσουν την
εργασία
του φίλου μου Χριστόφορ Ταρντί, σχετικά με αυτόν τον μονοέδρο. Εν τω μεταξύ, επανεργαστήκα με κωδικοποίηση σχεδιαστή τη μοναδική ακμή του αντικειμένου, όπως την εξέλαβε από μία από τις εικόνες του. Σύμφωνα με τις γνώσεις μου, δεν υπάρχει λογισμικό που να χρησιμοποιεί σημειώσεις για να δείχνει τα κρυμμένα μέρη και να διακόπτει τις γραμμές. Αλλά μπορούμε εύκολα να χρησιμοποιήσουμε ένα φωτεινότερο σύννεφο.
Είναι όμως σίγουρο ότι έχουμε εδώ αυτή τη μοναδική ακμή, χωρίς κανένα κορυφή.
Μαθηματική περιέργεια; Ίσως. Ίσως ξέρετε, αν έχετε δει τα επιστημονικά μου έργα ή την εισαγωγή τους για τον κοινό, ότι αναπτύσσω ένα κοσμολογικό μοντέλο "με δύο φύλλα", η αρχική ιδέα του οποίου ήταν ο Αντρέ Σαχάροφ (1967). Επιπλέον, αυτά τα δύο "πλευρά του κόσμου" έχουν αντίθετες χρονικές συντεταγμένες. Το θέμα του χρόνου ή "των" χρόνων παραμένει δύσκολο. Δεν υπάρχει τίποτα πιο εύκολο να πέσει από αυτό το λόγο. Τι είναι η "βέλος του χρόνου"; Μπορούμε να μιλήσουμε για "δύο αντιπαράλληλα βέλη του χρόνου"; (αυτή ήταν η αρχική ιδέα του Σαχάροφ).
Στην εργασία που δημοσίευσα στο περιοδικό
Nuovo Cimento
το 1994, είχα εξετάσει, ιδέα που είχε πρώτη φορά προταθεί το 1988 από τον Λίντε, ότι αυτές οι "δίδυμες περιοχές" θα μπορούσαν στην πραγματικότητα να είναι "αντιποδικές περιοχές". Έτσι, αυτοί οι δύο δίδυμοι κόσμοι (σε αντίθεση με τον Λίντε, οι δύο κόσμοι που εξετάζω αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, μέσω του βαρυτικού πεδίου, ενώ οι δικοί του είναι αμοιβαία ανεξάρτητοι). Είναι λοιπόν "ταυτόχρονα δύο και ένα". Ένας μαθηματικός θα έλεγε ότι αυτή η δομή είναι ένα διπλό επίκαλυμμα (η σφαίρα S2 είναι το διπλό επίκαλυμμα μιας επιφάνειας Μποϊ). Στο Nuovo Cimento εξετάζαμε το διπλό επίκαλυμμα ενός προβολικού P3 (ισοδύναμο με μία τρισδιάστατη επιφάνεια Μποϊ), που συμπίπτει με αντιποδικές περιοχές μίας υπερσφαίρας S3. Αλλά πάντα έχω νομίζει ότι θα μπορούσε να είναι το διπλό επίκαλυμμα ενός προβολικού P4, που συμπίπτει με αντιποδικές περιοχές μίας υπερσφαίρας S4. Σε αυτή την περίπτωση η αλληλεπίδραση δύο "γειτονικών" περιοχών αυτού του κόσμου, που είναι ταυτόχρονα μοναδικός και δίδυμος, θα "συμπίπτει" με αντιποδικές περιοχές (σε αυτή την υπερσφαίρα S4) που θα ήταν όχι μόνο εναντιομορφικές (καθρέφτης, P-συμμετρικές) αλλά επίσης T-συμμετρικές, δηλαδή "με αντίθετα βέλη του χρόνου". Επανερχόμαστε έτσι στην ιδέα του Αντρέι Σαχάροφ.
Ο μονοέδρος είναι μία εικόνα (διδακτική) ενός τετραφύλλου κόσμου, ενός "κοσμοέδρου". Ένας κόσμος που θα ήταν "ταυτόχρονα ένας σε τέσσερα". Τέσσερις τέτοιες "γειτονικές" περιοχές θα αλληλεπιδρούσαν. Αλλά ποιες θα ήταν αυτές οι περιοχές; Πού θα έπρεπε να τις "διαβάσουμε" σε τέτοια σχήματα; Η κάθετη τομή του μονοέδρου (απλή διδακτική εικόνα) είναι ένα απλό τετράγωνο (επειδή παράγεται από την περιστροφή αυτού του τετραγώνου, βλ. την εικόνα σε
εικονική πραγματικότητα
που δημιούργησε ο C. Tardy). Τα τέσσερα πλευρά του τετραγώνου-τομής αντιπροσωπεύουν τέσσερις περιοχές του κόσμου που θα ήταν σε συζευγμένη κατάσταση. Μπορούμε λοιπόν να μιλήσουμε, τουλάχιστον τοπικά, για "διπλό επίκαλυμμα με τέσσερα φύλλα". Αν αντιστοιχίσουμε την κάθετη στην επιφάνεια του μονοέδρου με το βέλος του χρόνου, αυτό στρέφεται ταυτόχρονα με το τετράγωνο-γεννήτρια. Έτσι οι τέσσερις τμήματα του κόσμου θα είχαν βέλη του χρόνου "σε σχήμα σταυρού", αντιπαράλληλα ανά δύο:
Μπορούμε επίσης να το περιγράψουμε λέγοντας ότι υπάρχουν δύο ζεύγη δίδυμων κόσμων, όπου τα βέλη του χρόνου είναι αντιπαράλληλα ανά δύο. Είναι σαν:
(Σαχάροφ)
2
Γιατί μία τέτοια πολυπλοκότητα; Είναι μία νέα γεωμετρική διασκέδαση; Μμμμ...
Θα σας πω τι έχω στο μυαλό μου. Όταν κατασκεύασα το μοντέλο με δύο δίδυμους κόσμους, απέδειξα ότι ο δεύτερος κόσμος μπορεί να φιλοξενήσει ύλη πολύ παρόμοια με τη δική μας, με τα δίδυμα πρωτόνια, τα δίδυμα ηλεκτρόνια, τα δίδυμα φωτόνια κ.λπ. (είτε χρησιμοποιήσουμε τον όρο "δίδυμο", που πρότεινε ο Σαχάροφ, είτε "φάντασμα", φαντασμαγορικό, πιο δημοφιλή στον κόσμο των υπερσυμμετριών). Απέδειξα επίσης ότι η αντιστροφή του χρόνου σημαίνει στην πραγματικότητα αντιστροφή της μάζας, άρα και της ενέργειας.
Ο Λίντε ήταν μαθητής του Σαχάροφ. Στην πραγματικότητα, είχα συζητήσει μακράν μαζί του το 1983 στη Μόσχα, σε ένα δωμάτιο του ξενοδοχείου National, όπου είχε έρθει να με συναντήσει. Το 1988 αναφέρθηκε σε ένα δίδυμο κόσμο όπου οι δύο ύλες θα ήταν με αντίθετη ενέργεια. Στη συνέχεια, συνειδητοποιώντας τα προβλήματα που θα μπορούσε να προκαλέσει η συγκατοίκηση αυτών των δύο υλών στην ίδια περιοχή χρόνου-χώρου, απέστειλε τη "δεύτερη ύλη", με αρνητική ενέργεια, στα αντιποδικά σημεία. Αλλά κάνοντας αυτό, δεν είδε ότι επέστρεφε στην ιδέα του δασκάλου του, του Σαχάροφ (που υποστήριζε αντίθετους χρόνους), επειδή (J.M. Souriau 1972) αντιστροφή του χρόνου ή αντιστροφή της μάζας και της ενέργειας είναι το ίδιο πράγμα.
Αν έχετε την αντοχή ή την εμπειρία να διαβάσετε τα άρθρα του
Geometrical Physics B
, θα δείτε ότι η δυαδικότητα της ύλης υπάρχει επίσης στο δίδυμο κόσμο. Όχι μόνο υπάρχει ύλη δίδυμη, αλλά υπάρχει επίσης, σε αυτό το δεύτερο πλευρό του κόσμου, μία δίδυμη αντί-ύλη.
Όλα αυτά μπορούν να επεκταθούν σε ένα πλαίσιο με τέσσερα φύλλα. Θα προκύπτει τότε μία
εικονική ύλη
και μία
εικονική δίδυμη ύλη
(με καθαρά εικονικά βέλη του χρόνου, σε