3
Ομάδα των μεταφορών:
...Ας θεωρήσουμε τον δισδιάστατο χώρο (x, y). Σ' αυτόν τον χώρο, μια μεταφορά αντιστοιχεί στο ζεύγος αριθμών (Δx, Δy) και συνηθίζουμε να γράφουμε:
x' = x + Δx
y' = y + Δy
Χρησιμοποιούμε τότε την πρόσθεση. Μπορούμε να επιχειρήσουμε να κωδικοποιήσουμε τη μεταφορά με μια ... πολλαπλασιασμό;
Ας θεωρήσουμε τις πίνακες:
και την ενέργεια της ομάδας:
Παρατηρούμε ότι δεν πρόκειται πλέον για απλή πολλαπλασιασμό πινάκων g × r, αλλά για την ενέργεια της ομάδας:
Μπορούμε επίσης να σκεφτούμε μεταφορές σε τρεις, τέσσερεις διαστάσεις και περισσότερες:
Η αντίστοιχη ενέργεια της ομάδας είναι τότε:
...Επιπλέον, η ομάδα των μεταφορών είναι αβελιανή και το ουδέτερο στοιχείο είναι "η μηδενική μεταφορά". Στις 3 διαστάσεις, η διάσταση της ομάδας είναι τρεις, στις 4 διαστάσεις είναι τέσσερις.
Το ενδιαφέρον των πινακο-ομάδων. Παράδειγμα: η ομάδα του Ευκλείδη.
...Το ενδιαφέρον μιας πινακο-ομάδας είναι ότι μπορούμε να διαχειριστούμε ταυτόχρονα πολλά πράγματα που μέχρι τώρα φαινόταν ότι είναι διαφορετικής φύσης, για παράδειγμα στροφή και μεταφορά. Αρκεί να θεωρήσουμε τους πίνακες:
και να εφαρμόσουμε τον πίνακα-στοιχείο της ομάδας στο διάνυσμα-στήλη για να δούμε ότι αυτό αντιστοιχεί στη συνδυασμένη ενέργεια μιας στροφής κατά γωνία α και μιας μεταφοράς κατά το διάνυσμα (Δx, Δy).
...Όπως βλέπουμε, ο πίνακας g δεν ενεργεί "άμεσα" στα σημεία (x, y) αυτού του δισδιάστατου χώρου, αλλά μέσω ενός που ονομάζεται "ενέργεια ομάδας", που ακολουθεί συγκεκριμένα αξιώματα.
...Έτσι, μια ομάδα "ενεργεί" και "μεταφέρει", στην περίπτωση αυτή σημεία. Πρόκειται για την ομάδα του Ευκλείδη. Δεδομένου ενός δισδιάστατου χώρου (x, y), αυτή η ομάδα ορίζεται από τρία παραμέτρους. Είναι g(α, Δx, Δy): η διάσταση αυτής της ομάδας είναι 3. Ειδικεύοντας:
g(0, Δx, Δy) αντιπροσωπεύει την υποομάδα των μεταφορών.
g(α, 0, 0) αντιπροσωπεύει την υποομάδα των στροφών γύρω από την αρχή.
g(0, Δx, 0) αντιπροσωπεύει την υποομάδα των μεταφορών παράλληλα σε μία ευθεία (τον άξονα OX).
...Η ομάδα του Ευκλείδη μεταφέρει σημεία που δεν διαθέτουν, από μόνα τους, κανένα χαρακτηριστικό (ενώ οι ομάδες της δυναμικής προσδίδουν σε ένα απλό "υλικό σημείο" χαρακτηριστικά που ονομάζονται μάζα, ενέργεια, ορμή, σπιν).
...Με την ομάδα του Ευκλείδη υποχρεωθήκαμε να θεωρήσουμε σύνολα σημείων. Σαν αν στη χημεία τα άτομα δεν ήταν διακρίσιμα μεταξύ τους και μόνο η γεωμετρία των μοριακών συνδυασμών φέρει πληροφορία.
...Μια γεωμετρική εικόνα, τρίγωνο (θεωρούμενο ως σύνολο τριών σημείων ή τριών τμημάτων), τετράγωνο (θεωρούμενο ως σύνολο τεσσάρων σημείων ή τεσσάρων τμημάτων) μπορεί να μεταφερθεί από την ομάδα. Εδώ εμφανίζεται η βασική έννοια της "είδους". Δύο "αντικείμενα" λέγονται του ίδιου είδους αν υπάρχει στοιχείο της ομάδας που να τα μεταφέρει το ένα πάνω στο άλλο.
Σε σχέση με την ομάδα του Ευκλείδη, τα τετράγωνα με ίδιο μήκος πλευράς a αποτελούν ένα είδος:
Τετράγωνα του ίδιου είδους.
...Αν τα μήκη πλευρών a και b είναι διαφορετικά, τα αντικείμενα δεν είναι του ίδιου είδους. Δεν υπάρχει στοιχείο της ομάδας που να μεταφέρει το ένα στο άλλο.
Σε σχέση με την ομάδα του Ευκλείδη, αυτά τα τετράγωνα δεν αποτελούν το ίδιο είδος.
Ο Ευκλείδης δεν επιτρέπει τις ομοιότητες. Για να τις χειριστούμε, θα πρέπει να περάσουμε σε μία άλλη ομάδα, την ομάδα του Δεκάρτη:
ομάδα με τέσσερα παραμέτρους g(λ, α, Δx, Δy), όπου λ είναι ένας συντελεστής ομοιότητας. Άρα η διάσταση αυτής της ομάδας είναι 4.
Από εδώ μπορούμε να φανταστούμε ότι υπάρχει μία ομάδα του Ευκλείδη που ενεργεί σε αντικείμενα σε τρεις διαστάσεις.
...Δεν πρόκειται για να μπούμε σε ένα πλήρες μάθημα για τις ομάδες, αλλά για να αισθανθούμε κάποιες ιδέες. Τι είναι η ζωολογία; Μια επιστήμη που μελετά τα ζώα και τα ταξινομεί. Αν περιοριστούμε στη μορφή, η ομάδα του Ευκλείδη επιτρέπει την ταξινόμηση των ενήλικων κουνελιών. Θα χρειαστούμε την ομάδα του Δεκάρτη για να ταξινομήσουμε στο ίδιο είδος κουνέλια διαφορετικών μεγεθών, επειδή δεν υπάρχει στοιχείο της ομάδας του Ευκλείδη (3δ) που να μεταφέρει ένα μικρό κουνέλι σε ένα μεγάλο.
...Χαμογελάτε; Έχετε λάθος. Ίσως στο σπίτι σας να έχετε κάποιο μικρό παιδί που μαθαίνει, που παίζει σε γωνιά. Του δώσατε ένα κλασικό παιχνίδι και προσπαθεί να βάλει μέσα σε μία είδους κουτί σχημάτων: κύλινδρους, κύβους ή πρίσματα με τριγωνική βάση.
...Τι κάνει αυτός; Εξοικειώνεται με την ομάδα του Ευκλείδη, σε 3 διαστάσεις. Ταξινομεί αντικείμενα κατά είδος, πράγμα που του επιτρέπει να τα αναγνωρίσει αργότερα, να κάνει "αναγνώριση μορφής".
...Παρόλο που είναι διαφορετικού χρώματος, το μωρό ελέγχει ότι υπάρχουν πράγματι ενέργειες ομάδας (μεταφορές αυτών των αντικειμένων στον 3δ χώρο) που να μπορούν να φέρουν τον κύλινδρο Α και τον κύλινδρο Β σε συμβατότητα, χρησιμοποιώντας το φίλτρο που είναι η "κοίτη" του κυλίνδρου ή του πρίσματος: η είσοδος προς το τμήμα του κουτιού ταξινόμησης. Έτσι θα μάθει ότι οι κύλινδροι Α και Β, σε σχέση με το κριτήριο μορφής (ομάδα του Ευκλείδη), ανήκουν στο ίδιο είδος.
Επιστροφή στο υποενότητα "ομάδες και φυσική"
