5
Μια τετραγωνική πίνακας τάξης (n,n) ενεργεί σε ένα διάνυσμα στήλης (n,0). Είδαμε ότι το ομάδα του Ευκλείδη 2d, που αναφέρεται σε ένα χώρο (x,y), δεν εμπλέκει ενέργειες σε διανύσματα-στήλες:
(51)
αλλά σε διανύσματα-στήλες:
(52)
Αυτό αποτελεί ένα παράδειγμα
ενέργειας
της ομάδας σε ένα χώρο
X με
x ∈ X
. Υπάρχουν άπειρες δυνατές ενέργειες, ακόμα και της ίδιας της ομάδας. Οι ενέργειες ορίζονται από αξιώματα.
(53)
Εξετάζοντας το διάνυσμα-στήλη:
(54)
όπου
x
παριστάνει για παράδειγμα τα διανύσματα:
(55)
(56)
ικανοποιεί τα αξιώματα της ενέργειας της ομάδας. Μπορούμε τότε να κάνουμε πολλαπλασιασμό από αριστερά του τετραγωνικού πίνακα που παριστάνει το στοιχείο της ομάδας, με έναν πίνακα γραμμής
y
, ερωτώντας αν είναι επίσης μια ενέργεια.
(57)
A g
(y) = y x g
Η απάντηση είναι όχι. Δεν είναι μια ενέργεια ομάδας: δεν ικανοποιεί τα αξιώματα που δόθηκαν παραπάνω. Είναι τότε αυτό που θέλω να ονομάσω "αντι-ενέργεια", που υπακούει τότε στα "αντι-αξιώματα" παρακάτω:
(58)
Ο μαθηματικός θα πει ότι δεν υπάρχει ανάγκη να καλέσουμε αυτές τις "αντι-ενέργειες" και ότι υπάρχει μόνο ένα σύνολο αξιωμάτων. Βέβαια. Ομοίως αυτό που θεωρείται ως η "αντι-ενέργεια":
(59)
AA
g ( m
) =
g -1 x m x g m
ενός δοσμένου διανύσματος, μια "αντι-ενέργεια του στοιχείου
g
της ομάδας G στον πίνακα
m
",
g
-1 υποδηλώνει τον αντίστροφο πίνακα μπορεί να θεωρηθεί ως μια ενέργεια του στοιχείου
g
-1 .
Ομοίως μια "αντι-ενέργεια" είναι μόνο η δυϊκή μιας ενέργειας. Ας πούμε ότι μου φάνηκε χρήσιμο να εισάγω αυτό το έννοια, για διδακτικούς λόγους.
Από έναν ομάδα πινάκων τετραγωνικών, που εξαρτάται από n παραμέτρους
p i μπορούμε να φτιάξουμε πίνακες, διαφοριζόντας όλες αυτές τις παραμέτρους κατά:
dp
i. Οι πίνακες που έτσι προκύπτουν, πλημμυρισμένοι με στοιχεία
dp
i, δεν αποτελούν μια ομάδα, αλλά αυτό που ονομάζεται "διάνυσμα εφαπτομένης της ομάδας:
d g
(την "άλγεβρα Lie", η οποία δεν είναι πραγματικά μια άλγεβρα, αλλά παραλείπουμε..).
Η ομάδα μπορεί να ενεργεί στο "διάνυσμα εφαπτομένης"
d
g, στην περιοχή του ουδέτερου στοιχείου e της ομάδας, μέσω "της αντι-ενέργειας":
(60)
AAg(m) = g-1
x d g
(g=e)
x g
Έτσι παίρνουμε το σχήμα:
(61)
Αλλά μια αντι-ενέργεια είναι η δυϊκή μιας ενέργειας. Όταν υπάρχει δυϊκότητα, υπάρχει διατήρηση ενός βαθμωτού γινομένου S.
Ο Souriau έψαχνε λοιπόν να κατασκευάσει
μια δεύτερη ενέργεια της ομάδας
,
αυτή της ομάδας στο χώρο των ορμών της.
Αλλά αυτή η ενέργεια, που ονομάζεται
ενέργεια συζυγής
ή
βασική
, δεν μπορούσε να εμφανιστεί άμεσα. Προσπάθησε τότε να περάσει από αυτό το ενδιάμεσο που ονομάζω "αντι-ενέργεια της ομάδας στο διάνυσμα εφαπτομένης της".
Έτσι η ενέργεια που αναζητούσε εμφανίστηκε ως δυϊκή της αντι-ενέργειας της ομάδας στο διάνυσμα εφαπτομένης της. Και η δυϊκή μιας αντι-ενέργειας,
είναι
μια ενέργεια, η οποία θα γραφτεί:
(62)
A g ( J )
όπου
J θα είναι το "όρμη": μια συστοιχία ποσοτήτων που είναι χαρακτηριστικά ενός "υλικού σημείου", η ενέργεια αυτή, που ονομάζεται
συζυγής
, δείχνει πώς αυτά τα χαρακτηριστικά μεταβάλλονται κατά την κίνηση.
Υπάρχει μια ομάδα, η οποία θα δοθεί παρακάτω, η οποία είναι μια επέκταση της ομάδας του Galilée, η οποία θα δοθεί παρακάτω, και ονομάζεται ομάδα Bargmann (1960). Εφαρμόζοντας αυτή τη μέθοδο σε αυτή την ομάδα, μπορούμε να κατασκευάσουμε την ορμή της
J B και τον τρόπο με τον οποίο η ομάδα ενεργεί σε αυτήν.
Ο Souriau συνήθιζε να λέει:
Η ορμή ακολουθεί την κίνηση ως την ίδια της τη σκιά.
Ομορφική εικόνα, που προέρχεται από το έργο του "Γραμματική της Φύσης". Το υλικό σημείο κινείται πραγματικά στο χωροχρόνο (x,y,z,t). Κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης, τα χαρακτηριστικά του εξελίσσονται, κάτι που περιγράφεται από αυτή τη συζυγή ενέργεια της ομάδας στο χώρο των ορμών της.
Επιστροφή στο υποευρετήριο "ομάδες και φυσική"