6
Δεν θα γράψουμε τις συνιστώσες του ορμής της ομάδας Bargmann. Σχηματικά, γράφουμε τον ορμό της ομάδας Bargmann ως εξής:
J B = { ένας βαθμωτός m, πλέον οι άλλες συνιστώσες του ορμού }
Η συζυγής ενέργεια
δείχνει πώς μετασχηματίζονται οι διάφορες συνιστώσες του ορμού. Αλλά αυτή η συζυγής ενέργεια ξεκινά με την απλή σχέση:
(63)
m' = m
Η συζυγής ενέργεια της ομάδας Bargmann στον ορμό της ξεκινά με τη διατήρηση της μάζας, η οποία έτσι εμφανίζεται με
καθαρά γεωμετρικό χαρακτήρα.
Κατασκευή της συζυγούς ενέργειας της ομάδας Poincaré στον χώρο των ορμών της J p.
Αν έχετε ήδη χαθεί πλήρως, αφήστε το. Είναι φυσικό και θα γίνει όλο και δυσκολότερο με την πρόοδο των σελίδων. Δεν ξέρω πια, σε αυτό το σημείο, σε ποιον απευθύνεται αυτό που ακολουθεί. Πιθανόν σε θεωρητικούς φυσικούς ή μαθηματικούς, αλλά πιθανόν όχι σε σιδηροτεχνίτες. Αλλά ένας φοιτητής μεγάλης σχολής ή πτυχιούχος φυσικής, που θα αντέξει, μπορεί να ακολουθήσει. Δεν είναι παρά μόνο πίνακες.
Τα πάντα ξεκινούν από μία ομάδα πινάκων διαστάσεων (4,4) που αποτελούν την ομάδα Lorentz, με στοιχείο το L.
Αυτοί ορίζονται αξιωματικά μέσω μίας μήτρας G:
(64)
σύμφωνα με:
(65)
t L G L = G
όπου πρόκειται για τον ανάστροφο του πίνακα L.
Οι πίνακες L αποτελούν μία ομάδα.
Απόδειξη.
Το ουδέτερο στοιχείο είναι L = 1:
Έστω L₁ και L₂ δύο στοιχεία του συνόλου. Ελέγχουμε αν το γινόμενο L₁L₂ ανήκει στην ομάδα. Αν είναι έτσι:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = G
Αλλά:
t (AB) = tB tA
Άρα:
t (L₁L₂) G L₁L₂ = tL₂ tL₁ G L₁L₂ = tL₂ (tL₁ G L₁) L₂ = tL₂ G L₂
Υπολογίζουμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα L. Ξεκινάμε από το αξιωματικό ορισμό των στοιχείων L:
tL G L = G
Πολλαπλασιάζουμε δεξιά με L⁻¹:
tL G L L⁻¹ = G L⁻¹ → tL G = G L⁻¹
Πολλαπλασιάζουμε αριστερά με G:
G tL G = G G L⁻¹ → G tL G = L⁻¹
Άρα ο αντίστροφος πίνακας του L είναι:
L⁻¹ = G tL G
Άρα:
(66)
ο διάνυσμα χωροχρόνου. Ο πίνακας G προέρχεται από τη μετρική του Minkowski, η οποία μπορεί τότε να γραφεί (με c = 1):
(67)
Άσκηση: να δειχθεί ότι ο αντίστροφος πίνακας ικανοποιεί:
(68)
Εισαγάγουμε τώρα ένα διάνυσμα μετατόπισης χωροχρόνου:
(69)
Από το οποίο δημιουργούμε το στοιχείο gₚ της ομάδας Poincaré:
(70)
Άσκηση: να δειχθεί ότι αυτό αποτελεί ομάδα και να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας:
(71)
Παρακάτω: το «εφαπτόμενο διάνυσμα στην ομάδα», στοιχείο της «άλγεβρας Lie» της:
(72)
Από αυτό θα υπολογίσουμε την αντίδραση:
(73)
d gₚ' = gₚ⁻¹ x d gₚ x gₚ
Για λόγους ευκολίας υπολογισμού, παρατηρούμε ότι:
(74)
G dL είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Τον ονομάζουμε:
(75)
Άρα:
(76)
Θέτουμε:
(77)
Με αυτό το υλικό θα κατασκευάσουμε την αντίδραση:
(78)
d gₚ' = gₚ⁻¹ x d gₚ x gₚ
Μετά τους υπολογισμούς, θα προκύψει η απεικόνιση:
(79)
Αν θέλετε να παραλείψετε αυτό το τμήμα απλών πινακικών υπολογισμών, πηγαίνετε στην εξίσωση (80), στο τέλος της σελίδας.
(79α)
(79β)
από όπου προκύπτουν τα στοιχεία της αντίδρασης:
(79γ)
αλλά:
(79δ)
άρα:
(79ε)
αλλά GG = 1, άρα:
(79ζ)
από όπου προκύπτει η απεικόνιση:
(79η)
Που αποτελεί τη ζητούμενη αντίδραση, την απεικόνιση:
(80)
Επιστροφή στο υποενότητα «ομάδες και φυσική»