7
Ένα στοιχείο
g
p της ομάδας Poincaré Gp ορίζεται από μια ακολουθία παραμέτρων {
p
i}, το πλήθος των οποίων, όπως ήδη αναφέραμε, αντιπροσωπεύει τη
διάσταση της ομάδας
. Η μήτρα
d g
(g = e)
αποτελείται από τις ποσότητες {
dp
i} . Άρα η παραπάνω εφαρμογή είναι της μορφής:
(81)
Δηλαδή, σε ένα σύνολο αριθμών
dp
i αντιστοιχεί ένα ίσο πλήθος αριθμών
dp
i
'. Η δυαδικότητα συνίσταται στην υπόθεση της αναλλαξίας ενός αριθμού, σύμφωνα με:
(82)
όπου n είναι η διάσταση της ομάδας (δέκα, για την ομάδα Poincaré). Οι αριθμοί Ji αντιπροσωπεύουν τις συνιστώσες του ροπής, με το ίδιο πλήθος.
Θα αποφασίσουμε να αναλύσουμε αυτόν τον ροπή
J σε δύο αντικείμενα. Το πρώτο θα είναι μια αντισυμμετρική μήτρα
M διαστάσεων (4,4), δηλαδή με έξι συνιστώσες, και το δεύτερο ένας "τετραδιάστατος διάνυσμα"
P, μήτρα διαστάσεων (4,1):
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Θα γράψουμε το εσωτερικό γινόμενο στη μορφή:
(85)
Tr σημαίνει "ίχνος της", και θα έχουμε ακόμη:
(86)
μια γραμμική μορφή της οποίας η αναλλαξία εξασφαλίζει τη δυαδικότητα.
με:
(87)
(87b)
(87c)
αλλά
GG
= 1
άρα αυτό ισούται με:
(88)
Αναγνωρίζουμε τους όρους σε
y (89)
Δηλαδή:
(90)
----> Εδώ ακολουθούν περισσότερες λεπτομέρειες υπολογισμού με μήτρες. Αν επιθυμείτε,
κάνοντας κλικ εδώ
μπορείτε να πάτε αμέσως στο αποτέλεσμα
Στο ίχνος μπορεί να εφαρμοστεί κυκλική μετάθεση των όρων.
(90a)
(90b)
(90c)
ο δεύτερος όρος του δεξιού μέλους είναι ίσος με το γινόμενο μιας γραμμής μήτρας με μια στήλη μήτρας.
Αυτό είναι ίσο με το ίχνος του αντίστροφου γινομένου (παρακάτω, σχηματικά, το γινόμενο μιας γραμμής μήτρας με μια στήλη μήτρας):
(90d)
Σε αυτό το ίχνος μπορώ να εφαρμόσω μια κυκλική μετάθεση:
(90e)
Άρα:
(90f)
(90g)
Εδώ θα εφαρμόσουμε ξανά το θεώρημα για τα ίχνη των μητρών που είναι γινόμενο μιας άλλης μήτρας με μια συμμετρική μήτρα.
Κάθε μήτρα μπορεί να γίνει συμμετρική ή αντισυμμετρική. Επιπλέον, το ίχνος του γινομένου μιας μήτρας με μια συμμετρική μήτρα είναι μηδέν.
(90h)
Μπορώ να εφαρμόσω αυτό στη μήτρα (90i)
εφόσον παίρνουμε το ίχνος
(90j)
(90k) = συμμ ( ) + αντισυμμ ( )
αλλά:
(90l)
άρα
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
και:
(90q)
τελικά:
(90r)
Συγκεντρώνοντας και ανταλλάσσοντας τις πρωτές πλευρές, παίρνω τη δράση της ομάδας:
Εικόνες
Επιστροφή στο υποσύνολο "ομάδες και φυσική"