8
(91)
Αυτή η συνεργαζόμενη ενέργεια μπορεί να γραφεί σε μορφή πίνακα.
Ο πίνακας της ομάδας Poincaré είναι:
(92)
Η αντίστροφή του είναι:
(93)
Θεωρήστε τον πίνακα:
(94)
Δηλαδή, θα τοποθετήσουμε την ορμή
(95)
Jp = {
M,
P }
σε μορφή πίνακα και θα δημιουργήσουμε το γινόμενο:
(96)
(97)
(98)
το οποίο μπορώ να ταυτίσω με τον πίνακα:
(99)
Έτσι, η Jp είναι η ορμή της ομάδας Poincaré, γραμμένη σε μορφή πίνακα. Και η συνεργαζόμενη ενέργεια γράφεται ως:
(100)
Ως άσκηση, ο αναγνώστης μπορεί, βασιζόμενος στα αξιώματα, να επαληθεύσει ότι πράγματι πρόκειται για μία
ενέργεια
.
Η ορμή της ομάδας Poincaré μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
(101)
Αυτός ο πίνακας είναι αντισυμμετρικός (κάτι που σημαίνει ότι η κύρια διαγώνιος αποτελείται από μηδενικά).
Ο πίνακας M είναι:
(102)
Τον εκφράζουμε:
(103)
Πράγματι είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας, υπόθεση που έχει θεσπιστεί από την αρχή, και εξαρτάται από έξι παραμέτρους:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Οι τρεις τελευταίες (fx, fy, fz) είναι οι συνιστώσες ενός διανύσματος, το διάνυσμα-μεταφοράς f:
(105)
Οι τρεις πρώτες (lx, ly, lz) είναι οι ανεξάρτητες συνιστώσες ενός αντισυμμετρικού πίνακα (3,3), ο στροφέας l:
(106)
Έτσι:
(107)
Το διάνυσμα P είναι το διάνυσμα ορμής-ενέργειας:
(108)
Μπορούμε τώρα να εκφράσουμε την ορμή της ομάδας Poincaré, σε όλη τη γενικότητά της:
(109)
Επαληθεύουμε ότι πράγματι πρόκειται για ένα αντικείμενο με δέκα συνιστώσες (αριθμός ίσος με τις διαστάσεις της ομάδας).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l
}
Επιστροφή στο υποσύνολο "ομάδες και φυσική"