9
Σωματίδια με σπιν.
Ο ομάδας Poincaré περιγράφει τη σχετικιστική κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου. Ομοίως, η ομάδα Bargmann, η οποία θα δοθεί πιο κάτω, περιγράφει τη μη-σχετικιστική κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου, το οποίο τότε ονομάζεται "σημειακή μάζα".
Επομένως, αυτή η τεχνική, η υπολογισμός της συζυγούς δράσης της ομάδας στον χώρο των ορμών, επέτρεψε την εμφάνιση κρυμμένων στοιχείων, χαρακτηριστικών του αντικειμένου: τις συνιστώσες της ορμής.
Το ενδιαφέρον είναι ότι αυτή η προσέγγιση, που οφείλεται στον Souriau, καθιστά τα κύρια αντικείμενα της φυσικής να εμφανίζονται ως εντελώς γεωμετρικά αντικείμενα. Έτσι, επιτέλεσε ένα προηγούμενο έργο γεωμετρικοποίησης της φυσικής.
Πέρα από την ενέργεια και την ορμή, οι άλλες συνιστώσες, το "περιστροφικό" και το "περαστικό", αποτελούν αρκετά περίπλοκα για τον φυσικό. Τι ακριβώς σημαίνουν;
Η έκφραση των συνιστωσών της ορμής εξαρτάται φυσικά από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγουμε.
Ίσως το απλούστερο είναι να επιστρέψουμε για λίγο στη μη-σχετικιστική περίπτωση, δηλαδή στην έκφραση της συζυγούς δράσης, όπως θα είχε προκύψει από την ανάλυση της ομάδας Bargmann.
(111)
Μυστηριώδης τύπος. Τι χρησιμεύει; Πώς λειτουργεί;
Ο φυσικός στο παρακάτω πλαίσιο θα αναγνωρίσει κάποια γνωστά αντικείμενα:
(112)
είναι απλώς δύο εκφράσεις του διανύσματος ταχύτητας { vx , vy , vz }, η πρώτη ως στήλη μήτρας και η δεύτερη ως γραμμή μήτρας. Το γινόμενο των δύο μητρών είναι ένας βαθμωτός:
(113)
κάτι που ξεκινά να μοιάζει με κινητική ενέργεια.
m v είναι η ορμή.
Ο συμβατικός φυσικός, σε σχέση με τη δυναμική ενός σημειακού σώματος, γνωρίζει μόνο τρία πράγματα:
- Η μάζα m
- Η ορμή m v
- Η κινητική ενέργεια 1/2 mv²
Ναι, αλλά ταχύτητα ως προς τι;
Μία ομάδα είναι επίσης ένας τρόπος παρατήρησης των πραγμάτων. Μπορούμε είτε να θεωρήσουμε ότι μεταφέρουμε, με τη βοήθεια της ομάδας, αντικείμενα (όπως είδαμε με την ομάδα του Euclid), ως προς έναν παρατηρητή που θεωρείται σταθερός, είτε, το αντικείμενο είναι σταθερό, να το παρατηρούμε διαφορετικά.
Αν δεχθούμε αυτή τη μεταφορά, αυτή τη μετακίνηση των αντικειμένων, σε σχέση με τις δυναμικές ομάδες, δηλαδή τις ομάδες της φυσικής (σε αντίθεση με την ομάδα του Euclid, όπου το χρόνος δεν εμφανίζεται), θα πρέπει επίσης να πούμε ότι "ζωντανεύουμε" τα αντικείμενα, δίνοντάς τους ταχύτητα v και ενέργεια E.
Αν δεχθεί κανείς την αντίστροφη άποψη: να θεωρήσει ότι το αντικείμενο είναι σταθερό και να σκεφτεί ότι μετακινούμε τον εαυτό μας, ποιο νόημα έχουν οι ομάδες;
Η ομάδα του Euclid θα σήμαινε τότε: "Παρατηρούμενο από άλλο μέρος και από άλλη γωνία".
Το "άλλο μέρος" είναι το διάνυσμα μεταφοράς:
(114)
Το "από άλλη γωνία" είναι η μήτρα περιστροφής a, μια περιστροφή στο χώρο (που θα μπορούσε να εκφραστεί με τις γωνίες Euler, πράγμα που δεν θα κάνουμε).
Σε σχέση με τις δυναμικές ομάδες, αυτή η παρατήρηση, αυτή η άποψη για τα "πράγματα", πρέπει να εμπλουτιστεί. Παραμένοντας στο πλαίσιο της ομάδας Bargmann, η εισαγωγή αυτής της ταχύτητας v σημαίνει ότι, επιπλέον, ο παρατηρητής, ο οποίος παρατηρεί αυτή τη σημειακή μάζα από άλλο μέρος (διάνυσμα-μεταφορά c), από άλλη γωνία (μήτρα περιστροφής a), είναι επίσης κινούμενος, σε σχέση με αυτή τη σημειακή μάζα που θεωρείται ακίνητη, με ταχύτητα v.
Και, για να είμαστε πλήρεις, για να πολυπλοκοποιήσουμε την κατάσταση, δεν εξελίσσεται στο ίδιο χρόνο με το σωματίδιο, τη σημειακή μάζα που παρατηρείται. Είναι αποκλίνει από αυτή για ένα χρονικό διάστημα Δt. Με άλλα λόγια: την παρατηρεί από άλλο μέρος, αλλά είναι ένα άλλο μέρος σε χρόνο-χώρο, αντίστοιχο στο διάνυσμα μεταφοράς χρόνου-χώρου:
(115)
Αφού πήραμε αυτή την "απόσταση" από αυτή τη σημειακή μάζα, τι παρατηρώ; Πρώτον ότι: m' = m
Αυτό δεν επηρεάζει τη μάζα της.
Μπορώ να απλοποιήσω τη ζωή μου ακυρώνοντας την περιστροφή. Είναι ήδη αρκετά δύσκολο να παρατηρήσεις μια σημειακή μάζα από άλλο μέρος, από άλλο χρόνο, με απόκλιση, καθισμένος σε ένα ποδηλάτο που κινείται με ταχύτητα v. Είναι απαραίτητο να περιστρέψω και τον λαιμό μου;
Όχι. Ας πάρουμε a = 1.
Αλλά συνήθως αγνοείται αυτό το λεπτομέρεια στους υπολογισμούς. Η συζυγής δράση, έτσι ειδικευμένη, γίνεται:
(117)
Το "θεωρώ" πρέπει εδώ να πάρει την ετυμολογική του σημασία. Τι κάνω όταν θεωρώ μια κατάσταση, τον ουρανό, ένα πεδίο μάχης, το βίντεο που πήρε ένας αεροπορικός πλοίαρχος;
Ένας δικαστικός θα γράψει:
- Θεωρώντας την κατάσταση του τόπου...
Μια στατική παρατήρηση, αντίστοιχη με την ομάδα του Euclid. Ο δικαστικός παρατηρεί τα αντικείμενα σε απόσταση c, την ίδια στιγμή (Δt = 0), κατά κανόνα ακίνητα (v = 0). Σε περίπτωση που χρειαστεί, από μια συγκεκριμένη γωνία, "από μια συγκεκριμένη γωνία".
Ένας στρατηγός, που περιπατάει σε ένα αεροπλάνο ανακάλυψης, είναι ένα είδος δικαστικού που κινείται (v ≠ 0).
Αλλά ένας στρατηγός που παρακολουθεί το βίντεο που πήρε ένας αεροπορικός πλοίαρχος, ένας "δρόν", αντιμετωπίζει μια κατάσταση που έχει μετατοπιστεί στο χρόνο. Πρέπει να πει στον εαυτό του:
- Θεωρώ το στόχο, παρατηρούμενο από αυτό το σημείο, σε γωνία περιστροφής, με αυτή την ταχύτητα, και επιπλέον όπως εμφανιζόταν δύο ώρες νωρίτερα...
Ο στόχος δεν έχει κάποια ιδιαίτερη ταχύτητα. Δεν μπορεί να θεωρηθεί σταθερός, ακόμη κι αν είναι "μια σταθερή εγκατάσταση". Ακόμη και η Γη κινείται, όπως και ο Ήλιος, η γαλαξία, κ.λπ.
Επιστροφή στο υποενότητα "ομάδες και φυσική"