12
Σωματίδια με μη μηδενική μάζα και σπιν.
Δεν υπάρχει πια άμεση σχέση μεταξύ ενέργειας και ορμής, όπως για τα φωτόνια και τα νετρίνα, τα οποία είναι σωματίδια μηδενικής μάζας.
(131)
Όπου m είναι η μάζα στην ηρεμία, που ταυτίζεται τότε με τη μάζα που προκύπτει από την ομάδα Bargmann, έχουμε:
(132a)
(132b)
Περιορισθήκαμε στα:
Πρωτόνιο
Ηλεκτρόνιο
Νετρόνιο
και τα αντισωματίδιά τους.
Τα σωματίδια διαθέτουν διαφορετικά φορτία, χαρακτηριστικά, τα οποία δεν προκύπτουν επίσης από την ομάδα Poincaré:
-
Το ηλεκτρικό φορτίο e = ± 1
-
Το βαρυονικό φορτίο cB = ± 1
-
Το λεπτονικό φορτίο cL = ± 1
-
Το μουονικό φορτίο cm = ± 1
-
Το ταυονικό φορτίο ct = ± 1
-
Ο γυρομαγνητικός συντελεστής v
Η αντιστροφή όλων αυτών των ποσοτήτων αντιστοιχεί στη συμμετρία C. Μπορούμε λοιπόν να ομαδοποιήσουμε όλα αυτά σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:
(133)
που μπορεί να έχει οποιαδήποτε κατεύθυνση, όπως και το σπιν.
Το μαγνητικό μέτρο είναι ίσο με το γυρομαγνητικό συντελεστή v πολλαπλασιασμένο με το σπιν s.
(134)
Εδώ χρησιμοποιήσαμε μια παχιά γράμμα s για το σπιν. Αυτό σημαίνει ότι η κατεύθυνση του σπιν των σωματιδίων μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Ωστόσο, το μέτρο του είναι ένα από τα χαρακτηριστικά τους και είναι βασικά αμετάβλητο (γεωμετρική ποσοστικοποίηση της στροφής των σωματιδίων).
Η συμμετρία C, η συζυγία των φορτίων, που αντιστρέφει το γυρομαγνητικό συντελεστή v, αντιστρέφει επίσης και το μαγνητικό μέτρο. Το σπιν παραμένει αμετάβλητο.
Σταθεροί μαγνήτες.
Αν τοποθετήσουμε ένα κομμάτι μαλακού σιδήρου σε ισχυρό μαγνητικό πεδίο, και στη συνέχεια μειώσουμε το πεδίο, το μέταλλο θα διατηρήσει μόνιμη μαγνήτιση. Τι συνέβη;
Το μαγνητικό πεδίο ευθυγραμμίζει τα σπιν των ηλεκτρονίων, τα οποία συμπεριφέρονται ως μικροί μαγνήτες, ως μικρά μαγνητικά δίπολα.
Αλλά γιατί διατηρούν την κατεύθυνση που τους επιβλήθηκε; Λόγω μιμήσεως. Κάθε ηλεκτρόνιο ευθυγραμμίζεται σύμφωνα με το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από τους γείτονές του. Και, εφόσον και άλλα ηλεκτρόνια κάνουν το ίδιο, όλα αυτά τα μαγνητικά μέτρα διατηρούν την παραλληλία τους. Αυτό είναι "Πανούργος του χώρου". Εκτός αν θερμάνουμε το κομμάτι του μετάλλου ή το χτυπήσουμε, στην περίπτωση που τελικά θα διαταραχθεί αυτή η όμορφη ηλεκτρονική διάταξη.
Μαγνητικό μέτρο της αντιύλης.
Η συζυγία φορτίου, που σχετίζεται με τη μετατροπή ύλης-αντιύλης στην έννοια του Dirac (θα δούμε αργότερα τι σημαίνει αυτό), προκαλεί την αντιστροφή του μαγνητικού μέτρου, λόγω της αντιστροφής του γυρομαγνητικού συντελεστή, ενώ το σπιν παραμένει αμετάβλητο.
Φυσικά, αυτή η συμμετρία C δεν επηρεάζει ούτε την ενέργεια ούτε την ορμή του σωματιδίου.
Οι τέσσερις συνιστώσες της ομάδας Lorentz.
Όπως είδαμε, το στοιχείο L της ομάδας Lorentz L ορίζεται αξιωματικά. Πρέπει να ικανοποιεί:
(135)
(136)
Κάθε μήτρα L που ικανοποιεί αυτόν τον ορισμό ανήκει στην ομάδα L. Είναι μια μήτρα διαστάσεων (4,4), που μπορεί να εφαρμοστεί, για παράδειγμα, σε:
(137)
δηλαδή στον χωρόχρονο. Μπορούμε λοιπόν να ρωτήσουμε αν αυτές οι μήτρες δεν είναι δυνατόν να πραγματοποιήσουν συμμετρίες σε αυτόν τον χώρο. Μπορούμε, για παράδειγμα, να αλλάξουμε το x σε -x; Μπορεί να κατηγοριοποιηθούν οι μήτρες σε διαφορετικά υποσύνολα, εκείνες που πραγματοποιούν αυτή την ενέργεια και εκείνες που δεν την πραγματοποιούν;
Πριν από πολλά χρόνια (στα αγγλικά: many beautiful candles ago), εξερευνήσαμε όλα αυτά και αποδείξαμε ότι η ομάδα Lorentz αποτελείται στην πραγματικότητα από τέσσερα είδη μητρών.
Ln – Εκείνες που δεν αντιστρέφουν ούτε το χώρο ούτε το χρόνο.
Ls – Εκείνες που αντιστρέφουν το χώρο.
Lt – Εκείνες που αντιστρέφουν το χρόνο.
Lst – Εκείνες που αντιστρέφουν και τα δύο.
Αυτά τα σύνολα ονομάζονται συστατικά ενός ομάδας. Έτσι, η ομάδα Lorentz είναι μια ομάδα με τέσσερα συστατικά.
Μπορούμε αμέσως να παράγουμε τέσσερις μήτρες, καθεμία από τις οποίες ανήκει στο αντίστοιχο υποσύνολο:
(138)
A n = 1 (ουδέτερο στοιχείο) ανήκει στο Ln: δεν αντιστρέφει ούτε το χώρο ούτε το χρόνο.
A s ανήκει στο Ls: αντιστρέφει το χώρο.
A t ανήκει στο Lt: αντιστρέφει το χρόνο.
A st ανήκει στο Lst: αντιστρέφει ταυτόχρονα και το χώρο και το χρόνο.
Για να αποτελέσει ένα σύνολο μητρών μια ομάδα (συγκεκριμένα, υποομάδα της ομάδας Lorentz), πρέπει να περιέχει το ουδέτερο στοιχείο 1 στη διάσταση (n,n) που εξετάζεται, εδώ: (4,4). Μόνο οι μήτρες του συνόλου Ln ικανοποιούν αυτό το κριτήριο. Δημιουργούν μια υποομάδα της ομάδας Lorentz. Εφόσον αυτό το σύνολο περιέχει το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας, το ονομάζουμε επίσης το ουδέτερο συστατικό της ομάδας. Τα υπόλοιπα σύνολα μητρών δεν αποτελούν υποομάδες (αδύνατο: δεν περιέχουν το ουδέτερο στοιχείο).
Παρατήρηση:
(139)
At = -A s, Ast = -A n
Μπορούμε τότε να θεωρήσουμε το σύνολο Lo = Ln ∪ Ls, που είναι μια υποομάδα της ομάδας Lorentz και την ονομάζουμε ορθόχρονη [1]. Οι μήτρες Lac = Lt ∪ Lst δεν αποτελούν ομάδα, αλλά το σύνολο των συστατικών που σχετίζονται με την αντιστροφή του χρόνου, το οποίο ονομάζουμε αντιχρονικό [12]. Η πλήρης ομάδα Lorentz είναι:
(140)
L = Lo ∪ Lac
Αλλά μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι το στοιχείο:
(141)
m L o, με m = ± 1
καλύπτει την πλήρη ομάδα.
Επιστροφή στο υποσύνολο "ομάδες και φυσική"