14
Κεντρική επέκταση της ομάδας Poincaré.
Θα βρείτε αναφορά σε τέτοια επέκταση στο βιβλίο του J.M. Souriau, "Structure des Systèmes Dynamiques". Η μέθοδός του για την γεωμετρική κβαντοποίηση του του περιτριγύρισμα του ομάδας του, για να επανακτήσει τις εξισώσεις της Κβαντικής Μηχανικής. Για παράδειγμα, η ομάδα Bargmann, που περιγράφει το μη σχετικιστικό υλικό σημείο, οδηγεί στην εξίσωση του Schrödinger, επίσης μη σχετικιστική.
Η αρχή είναι η ομάδα Galileo. Πρόκειται για μια μήτρα διαστάσεων (5,5), κατασκευασμένη με τον ακόλουθο τρόπο:
(152)
Η μήτρα περιστροφής εξαρτάται από τρία παραμέτρους, τα γωνιακά μεγέθη Euler. Έτσι, η διάσταση της ομάδας είναι δέκα.
Χρησιμοποιώντας τις συμβολικές σημειώσεις:
(153)
(154)
συνδεδεμένο με το χωροχρόνο:
(155)
Παρά το γεγονός ότι φαίνεται παράξενο, η κατασκευή της δράσης συζυγούς της ομάδας στο χώρο των ορμών δεν εμφανίζει τη μάζα m ως γεωμετρικό αντικείμενο. Αυτό μπορεί να γίνει μόνο μέσω μιας μη-τετριμμένης επέκτασης αυτής της ομάδας, της ομάδας Bargmann (1960).
(156)
Η παρουσία του αριθμού
f
δίνει σε αυτή την ομάδα μια περισσότερη διάσταση: έντεκα.
Αυτή η ομάδα δρα σε ένα χώρο πέντε διαστάσεων, το χωροχρόνο, προσθέτοντας μια πρόσθετη διάσταση
z
, μέσω της δράσης:
(157)
Η συζυγής δράση της ομάδας Bargmann στην ορμή της έχει δοθεί παραπάνω. Παρατηρούμε ότι η προσθήκη του αριθμού
f
, προσθέτοντας μια διάσταση στην ομάδα, προσθέτει μια συνιστώσα στην ορμή, η οποία θα ταυτιστεί τότε με τη μάζα m (η οποία είναι διατηρούμενη: m' = m).
Από την ομάδα Bargmann, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της γεωμετρικής κβαντοποίησης του, ο Souriau μπορεί τώρα να κατασκευάσει τις εξισώσεις του Schrödinger, μη σχετικιστικές.
Η σχετικιστική κβαντική εξίσωση είναι η εξίσωση Klein-Gordon. Ήταν λογικό να αναζητήσουμε ποια ομάδα μπορεί να την παράγει. Αυτή είναι η κεντρική επέκταση:
(158)
"pe" για "Poincaré επεκτεταμένο". Εδώ κατασκευάσαμε την ομάδα Poincaré από το υποσύνολο ορθοχρόνο της ομάδας Lorentz Lo.
Ο χώρος που συνδέεται με αυτή την ομάδα είναι επίσης ένας χώρος πέντε διαστάσεων:
(159)
( t , x , y , z ,
z )
.
Αυτή η επέκταση είναι απλούστερη από αυτή του Bargmann, αλλά στην πραγματικότητα τα πράγματα είναι πάντα ευκολότερα στη σχετικιστική. Αποδεικνύεται, ως παρενθετικό, ότι μεταξύ του 1 και του
f
της πρώτης γραμμής μπορεί να υπάρχει μόνο η γραμμική μήτρα
0
= ( 0 0 0): μόνο μηδενικά.
Η μέθοδος της γεωμετρικής κβαντοποίησης οδηγεί τότε στην εξίσωση Klein-Gordon. Σχετικά με τη δράση της ομάδας στο χώρο των ορμών της, παίρνουμε το εξής:
(160)
Jpe = {
c
,
M,
P
} = {
c
,
Jp }
Ο υπολογισμός δεν είναι δύσκολος. Πράγματι, αντιγράφει πλήρως τον υπολογισμό της συζυγούς δράσης της ομάδας Poincaré στην ορμή της.
Υπολογίζουμε την αντίδραση:
(160 b )
και έπειτα εκφράζουμε την αναλλοίωτη τιμή του γινομένου του δυικού:
(160 c)
Αν βγείτε από αυτόν τον υπολογισμό, θα είναι ένα πολύ καλό σημάδι. Αυτό θα σημαίνει ότι αρχίζετε να μπαίνετε σε αυτό το σύγχυση.
Παρουσιάζεται έτσι ένας αριθμός
c
, ο οποίος έχει μόνο την λειτουργία να διατηρείται. Τι σημαίνει αυτό; Καμία εξήγηση. Απλά "κάτι που διατηρείται". Μπορεί να του αποδοθεί, για παράδειγμα, η κατάσταση της ηλεκτρικής φορτίου.
Η πρώτη ιδέα που έρχεται είναι να υλοποιήσετε αυτό το είδος επέκτασης πολλές φορές:
(161)
Θα δείξουμε παρακάτω ότι μπορεί να γίνει αυτή η ενέργεια απεριόριστα και ότι αυτό προσθέτει έναν πρόσθετο αριθμό σε κάθε φορά:
(162)
Jpe = {
c 1
,
c 2
,
c 3
.....,
M,
P } J
pe = {
c 1
,
c 2
,
c 3
.....,
Jp }
με τη συζυγή δράση:
(163)
Θα θεωρήσουμε τότε ότι ορισμένες διακριτικές τιμές των συνιστωσών της ορμής αντιπροσωπεύουν τα φορτία του σωματιδίου.
Ωραία, θα πει ο αναγνώστης, πράγματι, μπορούμε να προσθέσουμε για παράδειγμα έξι πρόσθετες γραμμές. Θα πάρουμε τότε τη διατήρηση των αριθμών που μπορούν να ταυτιστούν με:
(164)
c
1 = e (ηλεκτρικό φορτίο)
c
2 = cB (φορτίο βαρυονίου)
c
3 = cL (φορτίο λεπτονίου)
c 4 = c m
(φορτίο μιονίου)
c 5 = c t
(φορτίο ταυονίου)
c 6 = v
(συντελεστής γυρομαγνητικός)
Αρκεί να θεωρήσουμε την ομάδα, με την αντίστοιχη δράση, συνδεδεμένη με έναν χώρο δέκα διαστάσεων:
(165)
( x , y , z , t ,
z 1 ,
z
2 ,
z
3 ,
z 4 ,
z
5 ,
z 6 )
(166)
Πάλι, κατασκευάζουμε την ομάδα γύρω από το υποσύνολο ορθοχρόνο Lo της ομάδας Lorentz:
Lo = Ln (ουδέτερη συνιστώσα)
»
Ln (αντιστροφή του χώρου).
Αυτή η ομάδα, με δύο συνιστώσες, παρουσιάζει τότε έξι αριθμούς που συνοδεύουν το σωματίδιο χωρίς να αλληλεπιδρούν με τίποτα. Η ορμή γίνεται:
(167)
Jpe = { q , cB , cL , c
m
, c
t
,
v
,
Jp }
Jp είναι η "μέρος Poincaré". Αυτό παραμένει όμως με περιορισμένο ενδιαφέρον.
Επιστροφή στο υποεπικεφάλαιο "ομάδες και φυσική"
