Γεωμετρικοποίηση της ύλης και της αντιύλης μέσω της συζυγούς δράσης μιας ομάδας στον χώρο των ροπών της. 4 :
Η ομάδα Δίδυμος. Γεωμετρική περιγραφή της αντιύλης του Dirac.
Γεωμετρικές ερμηνείες της αντιύλης κατά τον Feynman και το λεγόμενο θεώρημα CPT. (σ. 5)
Η εξίσωση (16) είναι η δράση στο στοιχείο της άλγεβρας Lie , που αντιστοιχεί στην ομάδα
. Η συζυγής δράση είναι το δυϊκό αυτής της δράσης και βασίζεται στην αναλλοιότητα ενός βαθμωτού μεγέθους. Ας ονομάσουμε S αυτό το βαθμωτό μέγεθος από το οποίο υπολογίζεται η συζυγής δράση της ομάδας
στη ροπή της. Υπολογίζουμε τη συζυγή δράση της ομάδας
g 3
από το βαθμωτό μέγεθος :
(17)
c dJ + S
Η συζυγής δράση της ομάδας
g 3
στη ροπή της είναι τότε :
(18)
(4529)
Η ροπή της ομάδας
g 3
είναι :
(19) J = {
c
, ροπή της ομάδας
G }
Η επέκταση της ομάδας προσθέτει μια συνιστώσα
c
στη ροπή, η οποία υπακούει στην (20). Ειδικότερα, αν
, δηλαδή :
(20)
(4531)
η συζυγής δράση της είναι :
(21)
c
'
= l m c
(22)
(4532)
(23)
(4533)
Οι εξισώσεις (22) + (23) συμπίπτουν με τη συζυγή δράση της ομάδας Poincaré όταν
το L είναι η ουδέτερη συνιστώσα της ομάδας Lorentz.
Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να θέσουμε τη ροπή
J p
της ομάδας Poincaré
g p
υπό μορφή αντισυμμετρικού πίνακα :
(24)
(4534)
Η δράση της σε αυτή τη ροπή είναι :
(25)
(4535)
Μπορούμε τότε να γράψουμε :
(26) J = {
c
,
J p }
και :
(27) (4536)
c
'
= l m c
Η διάσταση της ομάδας Poincaré είναι δέκα. Η διάσταση αυτής της εκτεταμένης ομάδας είναι έντεκα, λόγω της προσθήκης της νέας μεταβλητής
f
. (Το
l
= ± 1 ) και (το
m
= ± 1 ) δεν αντιπροσωπεύουν νέες διαστάσεις της ομάδας.
Αυτή η μέθοδος μπορεί να επεκταθεί όσες φορές επιθυμεί κανείς. Θεωρήστε τον ακόλουθο πίνακα :
(28)
(4537)
Η ομάδα Poincaré έχει δέκα διαστάσεις. Το σύνολο
( f 1
,
f 2
,
f 3
,
f 4
,
f 5
,
f 5 )
προσθέτει έξι επιπλέον διαστάσεις. Τα βαθμωτά μεγέθη (
l 1
,
l 2
,
l 3
,
l 4
,
l 5
,
l 5
) είναι σταθερά και δεν αντιστοιχούν σε νέες διαστάσεις.
Η συζυγής δράση της ομάδας στη ροπή της
(29) J = {
c 1
,
c 2
,
c 3
,
c 4
,
c 5
,
c 6
,
J p }
είναι :
(30)
(4538)
c
'
i = l i m c i
με
i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Αναφορές .
[1] J.P.Petit & P.Midy : Γεωμετρικοποίηση της ύλης και της αντιύλης μέσω της συζυγούς δράσης μιας ομάδας στον χώρο των ροπών της. 1 : Τα φορτία ως πρόσθετες βαθμωτές συνιστώσες της ροπής μιας ομάδας που δρα σε έναν 10-διάστατο χώρο. Γεωμετρικός ορισμός της αντιύλης. Γεωμετρική Φυσική B ,
1
, Μάρτιος 1998.
[2] J.P.Petit & P.Midy : Γεωμετρικοποίηση της ύλης και της αντιύλης μέσω της συζυγούς δράσης μιας ομάδας στον χώρο των ροπών της. 2 : Γεωμετρική περιγραφή της αντιύλης του Dirac. Γεωμετρική Φυσική B,
2
, Μάρτιος 1998.
[3] J.P.Petit και P.Midy : Γεωμετρικοποίηση της ύλης και της αντιύλης μέσω της συζυγούς δράσης μιας ομάδας στον χώρο των ροπών της. 3 : Γεωμετρική περιγραφή της αντιύλης του Dirac. Μια πρώτη γεωμετρική ερμηνεία της αντιύλης κατά τον Feynman και το λεγόμενο θεώρημα CPT. Γεωμετρική Φυσική B ,
3
, Μάρτιος 1998.
[4] J.M.Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 και Birkhauser Ed. 1997.
[5] J.M.Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[6] P.M.Dirac : "Μια θεωρία των πρωτονίων και των ηλεκτρονίων", 6 Δεκεμβρίου 1929, δημοσιευμένο στα πρακτικά της Royal Society (Λονδίνο), 1930 : A
126
, σσ. 360-365
[7] R.Feynman : "Ο λόγος ύπαρξης των αντισωματιδίων" στο "Στοιχειώδη σωματίδια και νόμοι της φυσικής". Presses de l'Université de Cambridge, 1987.
Ευχαριστίες .
Αυτή η εργασία υποστηρίχθηκε από το γαλλικό CNRS και από την εταιρεία Brevets et Développements Dreyer, Γαλλία.
Κατατέθηκε υπό σφραγισμένο φάκελο στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού, 1998.
Copyright Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, Παρίσι, 1998.
