Εκκίνηση
της εργασίας του Ζαν-Μαρί Σουριό
σχετικά με τη δυναμική του ηλιακού συστήματος.
Αυτή η εργασία παρουσιάστηκε από τον συγγραφέα κατά τη διάρκεια συνεδρίου που διεξήχθη στο Παρατηρητήριο της Ζυρίχης, το 1989, με θέμα:
"Έλξεις και μη έλξεις στο ηλιακό σύστημα"
Η αφετηρία του Σουριό είναι η ανάλυση των περιόδων των τροχιών των διαφόρων πλανητών. Παρατηρεί την περίοδο της Γης: 365 ημέρες και την περίοδο της Αφροδίτης: 225 ημέρες, και υπολογίζει, τόσο προς τα εμπρός όσο και προς τα πίσω, τη σχετική ακολουθία Fibonacci (ή τύπου Fibonacci, όπου κάθε όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων). Γνωρίζουμε ότι σε αυτές τις συνθήκες, το πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς τον χρυσό λόγο.
Έτσι, ο Σουριό παίρνει τα εξής:
30
Ήλιος
(29 ημέρες)
55 Τίποτα
85
Ερμής
(88 ημέρες)
140 Τίποτα
225 Αφροδίτη 365 Γη
590 (1 χρόνος και 7 μήνες)
Άρης
(1 χρόνος και 10 μήνες)
955 Τίποτα
1545 (4 χρόνια και 3 μήνες)
Κέρης-Παλλάς
(ζώνη αστεροειδών)
2500 Τίποτα
4045 (11 χρόνια)
Δίας
(11 χρόνια και 10 μήνες)
6545 Τίποτα
10590 (29 χρόνια)
Κρόνος
(29 χρόνια και 5 μήνες)
17135 Τίποτα
27725 (76 χρόνια)
Ουρανός
(84 χρόνια)
44860 Τίποτα
72585 (199 χρόνια)
Νερός
(165 χρόνια), Πλούτων (248 χρόνια)
Αρκετά εκπληκτική συμπτώση, ας το αναγνωρίσουμε. Στη συνέχεια, ο Σουριό μελετά τις έλξεις μεταξύ των πλανητών. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε ένα κριτήριο που μετράει εάν το πηλίκο x δύο περιόδων, μεταξύ 0 και 1, είναι "κοντά" σε ένα απλό κλάσμα:
Πολύ καιρό πριν, μαθηματικοί (Liouville, Hurwitz, Borel κ.λπ.) είχαν αναπτύξει ένα τέτοιο κριτήριο. Πρόκειται για τον αριθμό:
q
(x, q) = (παρονομαστής)
2 x I
x - q
IΌπου με
q
(x) συμβολίζουμε το κάτω φράγμα όταν
q
διατρέχει το σύνολο των ρητών αριθμών. Το q είναι μηδέν αν το x είναι ρητός, μικρό αν το x είναι κοντά σε ρητό· έτσι μετράει την άρρητη φύση του x. Οι "πιο άρρητοι" αριθμοί είναι ο χρυσός λόγος:
και το τετράγωνό του:
w² = 1 - w = 0,3820...
Μπορούμε να δούμε αυτό στο διάγραμμα που δίνει τη συνάρτηση
q
Σχήμα 1: Διάγραμμα της συνάρτησης
q
με τα δύο κορυφαία σημεία, που αντιστοιχούν στους "λιγότερο έλξεις" αριθμούς:
τον χρυσό λόγο και το τετράγωνό του.
Αυτή η συνάρτηση
q
(που δεν έχει καμία σχέση με παρατηρηθέντα δεδομένα) είναι ένα καθαρά "μαθηματικό αντικείμενο", μια ιδιότητα που προκύπτει από τη σειρά των πραγματικών αριθμών. Αυτή η συνεχής σειρά εκκρίνει τότε αυτό το περίεργο φάσμα, γεμάτο "κενά" (εκεί όπου βρίσκονται τα πηλίκα ακεραίων αριθμών, δηλαδή ρητών αριθμών, όπου
q
= 0).
Παρακάτω παρατίθενται οι περίοδοι περιφοράς των κύριων πλανητών του ηλιακού συστήματος, σε χρόνια:
Ερμής: 0,2408425
Αφροδίτη: 0,6151866
Γη: 1,0000000
Άρης: 1,8808155
Κέρης-Παλλάς: 4,604
Δίας: 11,86178
Κρόνος: 29,45665
Ουρανός: 84,0189
Νερός: 164,765
Πλούτων: 247,68
Παρατηρήστε ότι το πηλίκο των περιόδων του Πλούτωνα και του Νερού είναι:
Το πηλίκο ενός από αυτά τα μεγέθη προς το επόμενο παραμένει μεταξύ 1/3 και 2/3. Πέντε από αυτά τα εννέα πηλίκα βρίσκονται μεταξύ 0,35 και 0,40. Ο Σουριό αρχίζει τότε να μελετά τα πηλίκα μεταξύ των περιόδων διαφόρων πλανητών. Δύο πλανήτες σε τέλεια έλξη θα είχαν πηλίκο περιόδων που να είναι ρητός αριθμός, δηλαδή το πηλίκο δύο ακεραίων.
Ο Σουριό αποφασίζει να αναλύσει τις διάφορες έλξεις στο ηλιακό σύστημα, όπως είναι σήμερα. Για να γίνει αυτό, παίρνει τα πηλίκα των περιόδων περιφοράς των κύριων πλανητών, δύο-δύο, και εφαρμόζει το προηγούμενο κριτήριο.
Ένας απλός υπολογισμός του επιτρέπει να δημιουργήσει τη λίστα των έλξεων μεταξύ των μεγάλων πλανητών (Κέρης και Παλλάς είναι οι μεγαλύτεροι από τους "μικρούς πλανήτες", και οι περίοδοί τους διαφέρουν μόνο κατά 3 ημέρες, βρίσκονται στη ζώνη των αστεροειδών), όπου το κριτήριο
q
είναι μικρότερο του 0,1 (παρονομαστής; 6):
Νερός-Πλούτων: x = 2/3 × 0,9980
q = 0,01
Ουρανός-Νερός: x = 1/2 × 1,0199
q = 0,04
Ουρανός-Πλούτων: x = 1/3 × 1,0176
q = 0,05
Αφροδίτη-Άρης: x = 1/3 × 0,9812
q = 0,06
Δίας-Κρόνος: x = 2/5 × 1,0067
q = 0,07
Αυτό το πίνακα δείχνει ότι οι δύο πιο μακρινοί πλανήτες, Νερός και Πλούτων, εμφανίζουν ιδιαίτερα έντονες έλξεις. Έτσι, αποτελούν ένα "εξαιρετικό" ζευγάρι σε σχέση με τους υπόλοιπους, και ο Σουριό αποφασίζει να τους αγνοήσει στην επόμενη ανάλυση, εφαρμόζοντας μια ανάλυση Fourier στις περιόδους:
Pj είναι οι περίοδοι των πλανητών, από τον Ερμή ως τον Ουρανό. Τα διαδοχικά πηλίκα των περιόδων βρίσκονται μεταξύ 1/3 και 2/3. Η επόμενη εικόνα απεικονίζει τη μορφή της συνάρτησης IF(a)I για a που μεταβάλλεται από 1/3 έως 2/3. Για ευκολότερη ανάγνωση, ο Σουριό έχει σχεδιάσει στο διάγραμμα την IF(a)I
4
.
Σχήμα 2: Συνάρτηση F(a)
Δύο σημαντικές κορυφές εμφανίζονται για τις τιμές 0,615 και 0,380, με ακριβή συμφωνία με τις κορυφές του Σχήματος 1 (w = 0,618 και w² = 0,380). Ο Σουριό επικαλύπτει τώρα αυτό το φάσμα με τη συνάρτηση
q
:
Σχήμα 3.
Και καταλήγει σε ένα συνολικό αποτέλεσμα μη-έλξης, εκτός από το ζευγάρι που βρίσκεται σε έλξη: Νερός-Πλούτων. Ο φάσμα της F μεταξύ των δύο κορυφών μπορεί να ερμηνευθεί ως αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier: από ένα σύνολο γραμμών ak που επιλέγονται στο φάσμα F, κατασκευάζεται η συνάρτηση F:
Οι τιμές των Pj είναι τότε κοντά σε ορισμένα μέγιστα της πραγματικής μέρους της F. Ο Σουριό περιορίζει τώρα αυτό το φάσμα στις δύο γραμμές a1 = w και a2 = w², και λαμβάνει τη γραφική παράσταση του επόμενου σχήματος, όπου επίσης σημειώνονται οι πραγματικές περίοδοι των πλανητών.
Σχήμα 4: Πιθανές θέσεις P των πλανητών, από ένα φάσμα που κατασκευάστηκε
βάσει των δύο γραμμών w και w²