Πώς να μετατρέψετε μια επιφάνεια Cross Cap σε επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με την επιλογή σας), περνώντας από τη ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner.
Ιταλικά: Αντρέα Σαμπουσέτι, πανεπιστήμιο της Ρώμης
27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003
Σελίδα 2
Ακολουθεί μια «επιφάνεια Cross Cap» (όπως θα την ανακάλυπτατε σε εικόνες πραγματικότητας). Αυτή παρουσιάζει δύο κορυφές, οι οποίες αποτελούν τα άκρα μιας γραμμής αυτοτομής. Μπορείτε να τη δημιουργήσετε πιέζοντας ένα μπαλόνι με συρματόκοψα. Επίσης, μπορείτε να κατασκευάσετε πολυεδρικές αναπαραστάσεις της. Αυτή που φαίνεται παρακάτω θα μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα.
Στον πίνακα 4 βρίσκεται το πιο δύσκολο σημείο για να μάθετε. Μου φαίνεται αδύνατο να καταλάβει κάποιος αυτά τα αντικείμενα καλά απλώς παρατηρώντας τις εικόνες. Κατασκευάστε μοντέλα. Απλώς, τραβάμε την κορυφή
C2
προς το «εσωτερικό» της επιφάνειας (που, μεταξύ των γραμμών, δεν έχει κανένα νόημα, αφού, όπως προφανώς παρατηρήσατε, η επιφάνεια Cross Cap είναι μονόπλευρη: δεν έχει εξωτερική και εσωτερική όψη). Με συνέχεια, η επιφάνεια «διαπερνά» τον εαυτό της, και το σύνολο των αυτοτομών συμπληρώνεται, λίγο προσαρμόζοντας τα πράγματα, με μια καμπύλη σχήματος 8. Έτσι, επιβλήθηκε, για παράδειγμα, ένα τριπλό σημείο
T.
Η επιφάνεια γίνεται πιο κατανοητή στη πολυεδρική της μορφή, και παρακάτω έχουμε μεγεθύνει κάποια στοιχεία για να δείξουμε τι μας επιβάλλει να μετατρέψουμε αυτό το αντικείμενο στη ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner (δείτε την προσομοίωση πραγματικότητας), η οποία στην απλούστερη πολυεδρική μορφή της αποτελείται από τη συγκόλληση τεσσάρων κύβων (εδώ φαίνονται μόνο τρεις).
Πίνακας 5: πολυεδρική έκδοση αριστερά, γύρω δεξιά. Το βέλος περνά από το σημείο που θα «σφίξουμε». Παρακάτω, η αρχή της διαδικασίας σφίξης.
Πίνακας 6: η σφίξη πραγματοποιείται και δημιουργεί ένα σημείο ανωμαλίας
B. Στην πραγματικότητα, εφόσον τη σφίγγουμε από και τις δύο πλευρές (για να εξοικονομήσουμε χρόνο), δημιουργούνται δύο σημεία ανωμαλίας
S1 και S2, μετά δύο κορυφές. Τώρα, χωρίς χαρτί πλαστικού, ψαλίδια και ταινία, είστε σε δύσκολη θέση.
Πίνακας 7: απλώς μετακινήσαμε τις διάφορες κορυφές. Αν το σημείο
C2 είναι «προφανές», θα έχετε πολύ μεγαλύτερη δυσκολία να αναγνωρίσετε τα σημεία C3 και C4 ως κορυφές. Ωστόσο, είναι εκεί, στα άκρα μιας γραμμής αυτοτομής. Από πάνω του σημείου C3 βρίσκεται απλώς κάτι που έχω ονομάσει «ποσικώνο», δηλαδή ένα σημείο όπου συγκεντρώνεται θετική καμπυλότητα (ένα σημείο όπου συγκεντρώνεται αρνητική καμπυλότητα το ονομάζω «νεγακώνο»). Με μια μικρή παραμόρφωση αυτού του αντικειμένου, φτάνουμε στην πολυεδρική μορφή της ρωμαϊκής επιφάνειας του Steiner (εφεύρεση του Steiner στη Ρώμη· δείτε την εικόνα πραγματικότητας).
Έτσι, το παιχνίδι τελείωσε. Υπάρχουν διάφορα είδη επιφανειών, ανάλογα με τους κανόνες που επιβάλλετε. Οι επιφάνειες που δεν αυτοτομούν ονομάζονται «ενσωματώσεις» (της σφαίρας ή του τόρου στο R³). Όταν όμως αυτοτομούν, αλλά το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς χωρίς να διακόπτεται, ονομάζονται «εμφυτεύσεις». Για παράδειγμα: η μπουκάλα του Klein, στη συνηθισμένη αναπαράστασή της. Στο R³ δεν υπάρχει αναπαράσταση της μπουκάλας του Klein ως ενσωμάτωση: αυτοτομεί αναπόφευκτα. Οι εμφυτεύσεις διαθέτουν σύνολα αυτοτομής χωρίς κορυφές. Αυτά τα σύνολα είναι συνεχείς καμπύλες, αλλά μπορούν να διασταυρώνονται σε διπλά ή τριπλά σημεία. Παρατήρηση: η σφαίρα μπορεί να υλοποιηθεί ως εμφύτευση (που δεν είναι ενσωμάτωση), αφήνοντάς την να αυτοτομεί. Αυτός είναι, στην πραγματικότητα, ο τρόπος με τον οποίο μπορεί κανείς να την αναστρέψει (βλ. τη μέθοδο του A. Phillips, 1967, που έχει ως κεντρικό βήμα το διπλό επίκαλυμμα μιας επιφάνειας Boy· και δείτε επίσης τους B. Morin και J.P. Petit, 1979, όπου χρησιμοποιείται ως κεντρικό μοντέλο το «μοντέλο με τέσσερα αυτιά» του Morin, για το οποίο παρακάτω βλέπετε μια πολυεδρική αναπαράσταση που εφεύρα κάποια δεκαετία πριν).
Σχέδιο συναρμολόγησης αυτού του αντικειμένου με χαρτί και ψαλίδια
Αν επεκτείνουμε τους κανόνες του παιχνιδιού, αποδεχόμενοι ότι αυτά τα αντικείμενα μπορούν να έχουν και κορυφές, προκύπτουν οι «συμμερισμοί» (η Cross Cap, η ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner). Δεν ξέρω αν το λέξη «συμμερισμός» είναι σωστή, αλλά εφόσον δεν βρήκα κανένα μαθηματικό που να μου διευκρινίσει την ιδέα, βρήκα διασκέδαση να εφεύρω μια, προσωρινά, μέχρι να προσέλθει ένας εμπειρογνώμονας γεωμέτρης. Έτσι, η επιφάνεια Cross Cap και η ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner θα είναι συμμερισμοί του «επιπέδου προβολικού».
Να σας πω όλη την αλήθεια, μετά από είκοσι πέντε χρόνια δραστηριότητας και τις απογοητεύσεις μου στη Μαγνητο-Υδροδυναμική, είχα αρχίσει αυτές τις εργασίες γιατί μου φαινόταν ότι ήταν πιο μακριά από κάθε στρατιωτική εφαρμογή. Αλλά, όπως μου έδειξε ο παλιός μου φίλος Mihn, το όνομα «συμμερισμός» μπορεί να προκαλέσει σύγχυση και να δώσει την εντύπωση στη Ναυτική Αρχή ότι με αυτές τις έρευνες προσπαθώ να κρύψω προόδους στην υποβρύχια προώθηση.
Η κανόνας «δημιουργία-αποσύνθεση» ζευγών κορυφών επιτρέπει να περάσουμε από ένα συμμερισμό ενός αντικειμένου σε άλλο, και αυτό ακριβώς κάναμε πρόσφατα, δείχνοντας ότι η Cross Cap και η ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner είναι δύο συμμερισμοί του ίδιου αντικειμένου, γνωστού ως «επίπεδο προβολικό».
Μην προσπαθήσετε να φανταστείτε ένα «επίπεδο προβολικό». Αυτό το αντικείμενο μπορεί να κατανοηθεί μόνο μέσω διαφορετικών αναπαραστάσεων. Όσον αφορά τη λέξη «προβολικό», δεν είναι παρά ένα από τα χίλια εφευρμένα από τους μαθηματικούς για να αποτρέψουν εκείνους που θέλουν να εισχωρήσουν στο κλειστό τους κύκλο. Το Ζανικέλλι δεν θα σας ωφελήσει καθόλου στα μαθηματικά.
Μας μένει τώρα να δούμε πώς να περάσουμε στην επιφάνεια του Boy, η οποία είναι μια εμφύτευση του επιπέδου προβολικού.
Προηγούμενη σελίδα
Επόμενη σελίδα
Επιστροφή στον κατάλογο «Μετατροπή Cross Cap σε Boy»
Επιστροφή στην ενότητα Νέα
Επιστροφή στην ενότητα Οδηγός
Επιστροφή στην Αρχική Σελίδα
Αριθμός ε