Πώς να μετατρέψεις μια επιφάνεια Cross Cap σε επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, όπως επιλέξεις) διαμέσου της επιφάνειας Steiner.
Ιταλικά: Αντρέα Σαμπουσέτι, πανεπιστήμιο Ρώμης
27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003
σελίδα 4
Παρουσιάζουμε το μοντέλο από ένα άλλο σημείο θεώρησης:
Πίνακας 14: Επαναλαμβάνουμε την ίδια ενέργεια δημιουργώντας το τρίτο "αυτί" της καμπύλης αυτοεπικάλυψης. Στο πολυεδρικό μοντέλο, αυτό έχει τη μορφή τριών τετραγώνων με κοινή κορυφή: το σημείο τριπλής επικάλυψης
Τ.
Πίνακας 15: Περιστρέφοντας το αντικείμενο θα επανακαλέσετε την πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Boy που είχα παρουσιάσει στο Topologicon (όπου μπορείτε να βρείτε και ένα σχέδιο συναρμολόγησης για τη δημιουργία της).
Τελευταίος πίνακας: Προσπάθησα να απεικονίσω την επιφάνεια Steiner καθώς στρέφεται και μετατρέπεται σε επιφάνεια Boy.
Βλέπουμε ότι, σχεδιασμένη με τρόπο "κυκλικό", απαιτεί πολύ πρακτική για να κατανοηθεί. Το μάτι μας είναι πολύ ανάσχεστο όταν πρόκειται να κατανοήσει ένα αντικείμενο για το οποίο, σε μία και την ίδια γραμμή οπτικής, επικαλύπτονται περισσότερα από δύο φύλλα. Από εδώ προκύπτει η σημασία του πολυεδρικού μοντέλου, που καθιστά προσβάσιμες για όλους, εφόσον δοκιμάσουν να κατασκευάσουν τα μικρά μοντέλα από μόνοι τους, μετατροπές που θεωρούνται πολύπλοκες στη γεωμετρία. Παρατηρούμε επίσης ότι, ανάλογα με τις επιλεγμένες ζεύγη κορυφών, προκύπτει μία επιφάνεια Boy "δεξιά" ή "αριστερά" (πλήρως τυχαίες ορισμοί). Το προβολικό επίπεδο εμβυθίζεται στο χώρο μέσω δύο αντισυμμετρικών "αντιαυτομορφικών" αναπαραστάσεων. Επομένως, βλέπουμε επίσης ότι μπορούμε να περάσουμε από μία δεξιά επιφάνεια Boy σε μία αριστερή επιφάνεια Boy μέσω ενός "κεντρικού" μοντέλου, που είναι η επιφάνεια Steiner.
Θα ήταν ασφαλώς όμορφο αν αυτά τα σχέδια δημοσιεύονταν σε περιοδικά όπως Pour la Science ή La Recherche. Αλλά εδώ και δεκαετία, μου έχει "απαγορευθεί" η δημοσίευση σε αυτά τα περιοδικά λόγω "εκτροπής" υφιστάμενης ουφολογίας. Ευχαριστώ, κύριοι Χέρβε Τις και Φιλίππο Μπουλανγκέρ. Έχω χάσει τον αριθμό των άρθρων αυτού του είδους που πρότεινα σε αυτά τα περιοδικά και μου απορρίφθηκαν με ευγένεια. Τελικά συνηθίζεις την κατάστασή σου ως "αποκλεισμένος".
Επισύναψη: Υπάρχει ένα "βραβείο Αλεμπέρ" που απονέμεται για να τιμήσει τους συγγραφείς βιβλίων δημοσίευσης μαθηματικών. Η ιστορία μου την ακούστηκε από ένα μέλος της επιτροπής που είχε την ευθύνη να αποφασίσει σε ποιον θα απονεμόταν το βραβείο (υπάρχουν φυσικά και οικονομικές ενδείξεις πίσω). Διάλογος:
-
Λοιπόν, γιατί δεν δώσουμε το βραβείο στο Πιτέ; Έχει γράψει εξαιρετικά έργα όπως το "Géométricon", το "Trou Noir" και το "Topologicon".
-
Ναι, αλλά δεν έκανε μόνο αυτό.
-
Τι εννοείτε;
-
Έγραψε και το "Mur du Silence".
-
Αχ, λοιπόν, τότε....
Ναι, το "Mur du Silence", δημοσιευμένο το 1983, είναι ένας χάρτης αφιερωμένος στην MHD. Και, όπως όλοι μας γνωρίζουμε, αυτή η διαβρωτική επιστήμη έχει το πλεονέκτημα, ή το μειονέκτημα,
ότι επιτρέπει στα αντικείμενα να κινούνται με υπερηχητική ταχύτητα χωρίς να προκαλούν έκρηξη.
«Κρύψτε αυτή την επιστήμη, για να μην τη δω»
Έχω στις συλλογές μου μία υπέροχη έκδοση της "αναστροφής του κύβου", που δεν είναι η πολυεδρική έκδοση της εκδοχής Morin. Όλη αυτή η δουλειά είναι δική μου. Μία από αυτές τις μέρες....
22 Οκτωβρίου 2003
: Δεν προσπαθήσατε πολύ σε αυτές τις σελίδες, εάν πιστεύω στο μετρητή. Τη Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2003 έκανα μία διάλεξη στο CMI (Κέντρο Μαθηματικών και Πληροφορικής του Château-Gombert-Marseille) με πρόσκληση του Τρότμαν. Εκείνη την ευκαιρία μπόρεσα να αποκαλύψω μία συλλογή περίπου τριάντα μοντέλων χαρτιού, η οποία θα μπορέσετε να δείτε για πρώτη φορά κάποτε, εφόσον έχουν φωτογραφηθεί από τον Χριστόφ Τάρντυ.
Όταν δίνεις μία διάλεξη, δημιουργείται μία συγκεκριμένη ατμόσφαιρα. Στη φωτογραφία παρακάτω, βλέπετε ένα γεωμέτρη που εκφράζει την απορία του.
Στο παρασκήνιο, μέρος των μοντέλων που είχαν εκτεθεί με τη βοήθεια του συνεργάτη μου μακράς διαρκείας, Μπόρις Κολέβ, μέλος του τμήματος, και επίσης γεωμέτρη. Σε μία στιγμή ρώτησα:
- Πόσοι από εσάς έχετε ήδη δει μία επιφάνεια Steiner; Ανασηκώστε το χέρι σας.
Κανένας δεν την είχε δει ποτέ. Επομένως, έλαβα υπόψη μου ότι ήταν χρήσιμο να την παρουσιάσω, με ένα πρόγραμμα πραγματικότητας, στο φορητό υπολογιστή που είχα μαζί μου, πρόγραμμα που είχε δημιουργηθεί με τη βοήθεια του Χριστόφ Τάρντυ, μηχανικού, και του Φρεντερίκ Δεσκάμπ, του Ινστιτούτου Laue Langevin στο Γκρενόμπλ (ILL). Είναι προφανές ότι αυτή η παρουσίαση εκπλήσσει το κοινό, λίγο συνηθισμένο να βλέπει μαθηματικές επιφάνειες να περιστρέφονται όπως θέλουν.
Δύο πίνακες χαρτιού, που είναι ορατοί στην πρώτη γραμμή, επέτρεψαν να παρουσιαστεί η πλήρης ακολουθία των μοντέλων σε λογική σειρά. Τα μοντέλα σε πράσινο και κίτρινο απεικονίζουν, με πολυεδρικό τρόπο, το βασικό εργαλείο δημιουργίας-αποσύνθεσης μίας ζεύγους κορυφών. Το πιο μακρινό λευκό αντικείμενο είναι μία πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Cross Cap, η οποία μετατρέπεται πρώτα σε πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Steiner, και στη συνέχεια, μία μέτρο πιο μακριά, ανάλογα με την επιλογή, σε επιφάνεια Boy "δεξιά" ή "αριστερά".
Η ανάλυση των μοντέλων προκαλεί διάφορες παρατηρήσεις στο κοινό. Ένας γεωμέτρης ρωτά:
- Εάν είναι αληθές ότι, ακολουθώντας τα μοντέλα σε αυτή τη σειρά, μπορούμε να περάσουμε από την επιφάνεια Cross Cap στην επιφάνεια Boy, φαίνεται ότι, ακολουθώντας την αντίστροφη διαδικασία, μπορούμε να μετατρέψουμε μία επιφάνεια Boy σε Cross Cap.
Απαντώ θετικά. Ενθουσιασμένος, ο συνομιλητής μου προσθέτει:
- Τότε, αν σταματήσουμε στο στάδιο της επιφάνειας Steiner, θα ήταν δυνατό να επιστρέψουμε σε μία επιφάνεια Boy, αλλά αντικατοπτρισμένη ως προς την αρχική.
Συμφωνώ για δεύτερη φορά. Αλλά, δυστυχώς, κανείς δεν πρότεινε να δώσει κάποια εξήγηση για αυτό το περίεργο κόσμο όπου επιτρέπεται στις εμβυθίσεις κλειστών επιφανειών να έχουν κορυφές, δημιουργούμενες ή αποσυνδέονται σε ζεύγη, τους οποίους η συλλογή αποτελεί μία είδους επέκταση του κόσμου των εμβυθίσεων. Ο όρος "συμβύθιση" μου φαίνεται κατάλληλος. Εάν κάποιος αναγνώστης είναι σε θέση να δώσει κάποια εξήγηση, είναι πολύ καλωσορισμένος.
Καμπυλότητα συγκεντρωμένη σε μία κορυφή.
Θα την υπολογίσουμε προσθέτοντας τις γωνίες στην κορυφή και συγκρίνοντάς την με το αποτέλεσμα που λαμβάνεται στην περίπτωση του ευκλείδειου επιπέδου: 2
p.
Στην αριστερή πάνω γωνία μπορείτε να δείτε μία από τις πολλές δυνατές πολυεδρικές αναπαραστάσεις μίας κορυφής. Αποσυναρμολογώντας την επιφάνεια, φτάνουμε σε μία άθροισμα γωνιών που υπερβαίνει την τιμή 2
p
κατά 2
a
. Από αυτό συμπεραίνεται ότι η γωνιακή καμπυλότητα που συγκεντρώνεται γύρω από αυτή την κορυφή C είναι - 2
a
. Εάν η γωνία
a
είναι ίση με
p
/2, τότε η αρνητική καμπυλότητα είναι
-p
(σχήμα στην κάτω αριστερή γωνία). Στην πραγματικότητα, η καμπυλότητα μίας κορυφής μπορεί να πάρει άπειρες τιμές. Στη δεξιά κάτω γωνία εντονοποιούμε το άθροισμα γωνιών και η καμπυλότητα γίνεται τότε < -
p
(έχουμε αυξήσει την αρνητική καμπυλότητα).
Με αντίστροφο τρόπο, μπορούμε να φτάσουμε σε μία αρκετά εκπληκτική κατάσταση: μπορούμε να κάνουμε την καμπυλότητα (γωνιακή) που συγκεντρώνεται στο C να είναι... μηδέν:
Τώρα ξεκινάμε από μία πολυεδρική αναπαράσταση της επιφάνειας Cross Cap με δύο κορυφές, κάθε μία με καμπυλότητα ίση με -
p
:
Σε αυτή την εικόνα υπάρχουν οκτώ "ποσικόν" με τιμή +
p
/2. Προσθέτουμε τέσσερα άλλα "ποσικόν" με καμπυλότητα +
p
/4 και τέσσερα "νεγκακόν" με καμπυλότητα
- p
/4.
Προσθέτουμε τις δύο κορυφές με καμπυλότητα
- p
.
Σύνολο: 2
p
Διαιρώντας αυτή την "συνολική καμπυλότητα" με 2
p
επανακτάμε την τιμή της χαρακτηριστικής Ευλερίου-Πουανκαρέ για οποιαδήποτε αναπαράσταση του προβολικού επιπέδου (ή της επιφάνειας Boy).
Κατά τη διάρκεια της διάλεξης αναφέρθηκα στην τέχνη και τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να ανταλλαγούν οι δύο κορυφές μίας επιφάνειας Cross Cap χρησιμοποιώντας την αναστροφή της σφαίρας. Δεν θυμάμαι πια αν το έχω βάλει κάπου στον ιστότοπό μου. Είναι τόσο περίπλοκο. Θα πρέπει να το ψάξω, διαφορετικά θα το προσθέσω. Είναι διασκεδαστικό. Το γεγονός είναι ότι αυτή η ενέργεια δεν άρεσε καθόλου σε μία από τις προσωπικότητες που παρευρίσκονταν στη διάλεξη:
- Δεν βλέπω γιατί ο Πιτέ χρησιμοποιεί τόσο πολύ εξοπλισμό για να αποδείξει τη συμμετρία που συνδέει τις δύο κορυφές μίας Cross Cap. Μπορεί να γίνει πολύ πιο απλά.
Έκανε στον πίνακα το σχέδιο μίας σφαίρας που συμπιέζεται μεταξύ δύο ραβδιών που εφάπτονται και δίνει πραγματικά ένα σύνολο αυτοεπικάλυψης με μορφή ευθύγραμμου τμήματος, στα άκρα του οποίου βρίσκονται δύο κορυφές, όπως η επιφάνεια