Ιταλικά: Αντρέα Σαμπουσέτι, πανεπιστήμιο Ρώμης
Κάντε κλικ εδώ
για να εμφανιστεί το σχέδιο του μοντέλου σε κλίμακα 1:1, για εκτύπωση και κοπή.
Με την εκτύπωση τεσσάρων αντιτύπων σε χαρτί καρτόν με δύο διαφορετικά χρώματα,
θα μπορέσετε να κατασκευάσετε το μοντέλο μόνοι σας,
ακολουθώντας τις οδηγίες για τη συναρμολόγησή του.
Σίγουρα έχετε δει ένα περίεργο αντικείμενο να στρέφεται αναπάντεχα στην αριστερή πλευρά της αρχικής σελίδας αυτού του ιστοτόπου. Τι είναι αυτό;
Μια μέρα, όταν βρω χρόνο, θα εγκαταστήσω σε αυτόν τον ιστότοπο μια περιγραφή της αναστροφής της σφαίρας, όπως την είχα παρουσιάσει στον τόμο του Pour la Science του Ιανουαρίου 1979, δηλαδή... πριν από 22 χρόνια! Αυτό θα απαιτήσει πολλές λεπτομέρειες και μια εισαγωγή. Τι σημαίνει "αναστροφή μιας σφαίρας"; Η σφαίρα δεν έχει το ίδιο νόημα για τον κοινό άνθρωπο και για τον μαθηματικό-γεωμέτρη. Για τον κοινό άνθρωπο, δεν είναι τίποτα άλλο παρά η συλλογή των σημείων του χώρου που βρίσκονται σε απόσταση R από ένα προκαθορισμένο σημείο O. Ο γεωμέτρης, ωστόσο, θα συνεχίσει να αποκαλεί "σφαίρα" και ένα αντικείμενο που αντιστοιχεί σε μια "παραμορφωμένη σφαίρα", όπως μια πατάτα για παράδειγμα. Για να κατανοήσετε ακριβέστερα αυτές τις έννοιες, αποκτήστε το CD του Lanturlu που περιέχει το κόμικ "Topologicon". Ωστόσο, ο μαθηματικός πηγαίνει ακόμα πιο μακριά. Μια επιφάνεια ονομάζεται "κανονική" όταν σε κάθε σημείο της μπορεί να οριστεί ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό επιτρέπει ήδη να σκεφτούμε μια άπειρη ποικιλία δυνατών κανονικών παραμορφώσεων της σφαίρας, σε άπειρες δυνατές μορφές μιας πατάτας, καθώς και με την τυχαία μεταβολή της επιφάνειας αυτής. Παρόλα αυτά, στον φυσικό κόσμο, ένα άτομο που προσπαθεί να αναστρέψει τη σφαίρα (δηλαδή να φέρει την εσωτερική της επιφάνεια στο εξωτερικό) θα αντιμετωπίσει την αδυναμία να επιτρέψει στην επιφάνειά του να διαπεράσει τον εαυτό της. Όταν υποθέσουμε αυτή την υπόθεση, δηλαδή απαγορεύουμε τη διαπέραση της επιφάνειας από τον εαυτό της ή ακόμα και την επαφή της, ο μαθηματικός μιλά για "εμφύτευση" της σφαίρας S2. Ωστόσο, ο μαθηματικός επιτρέπει πάντα όλα. Μια σφαίρα είναι για αυτόν ένα "φανταστικό" αντικείμενο, όχι υλικό, όπου η διέλευση μιας επιφάνειας θεωρείται δυνατή. Η σειρά σχεδίων παρακάτω δείχνει μια σφαίρα που διαπερνά τον εαυτό της. Μια τέτοια αναπαράσταση, που επιτρέπει δηλαδή τις διαπεράσεις, ονομάζεται "εμβύθιση".
Μια εμβύθιση διαθέτει ένα σύνολο διασταυρώσεων (εδώ πρόκειται για μια απλή κυκλική καμπύλη). Ωστόσο, το εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει να μεταβάλλεται συνεχώς. Με αυτή την προϋπόθεση, όταν κοιτάζετε το σχέδιο πάνω, βλέπετε καθαρά ότι η ενέργεια φέρνει μια περιοχή της εσωτερικής επιφάνειας (απεικονιζόμενη σε πράσινο) στο εξωτερικό. Για να ολοκληρώσετε την αναστροφή, θα πρέπει να συμπιέσετε αυτό το είδος του ισημερινού σωλήνα. Εδώ φαίνεται να υπάρχει ένα πρόβλημα: αυτή η συμπίεση θα καταστρέψει τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου, και η μετατροπή θα περιλαμβάνει ένα βήμα που δεν είναι εμβύθιση.
Μια μέρα, ένας Αμερικανός μαθηματικός, Στέφεν Σμέιλ, απέδειξε ότι "η σφαίρα S2 διαθέτει μόνο μία κλάση εμβυθίσεων". Αυτή η αινιγματική φράση είχε ως συνέπεια ότι θα ήταν δυνατό να περάσουμε, μέσω μιας μετασχηματισμού που περιλαμβάνει μόνο πραγματικές εμβυθίσεις, από τη "συνηθισμένη" σφαίρα στην "αντίποδη" αναπαράστασή της, δηλαδή εκείνη στην οποία κάθε σημείο αντικαθίσταται από το αντίποδό του: απλώς λέγοντας... μια αναστραμμένη σφαίρα. Ο Ραούλ Μποτ ήταν ο αρχηγός του Σμέιλ. Αν και η επίσημη απόδειξη αυτού του γεγονότος φαινόταν σωστή, κανείς δεν φαινόταν ικανός να υλοποιήσει πρακτικά αυτή τη διαδικασία αναστροφής. Ο Μποτ συνέχιζε να ρωτάει τον Σμέιλ "δείξε μου πώς να σκέφτεσαι να προχωρήσεις"; ο Σμέιλ, γνωστός για την απλότητά του, απαντούσε "δεν έχω καμία ιδέα". Ο Σμέιλ κέρδισε αργότερα το βραβείο Φιλντ, το αντίστοιχο του Νόμπελ για τα μαθηματικά. Επισημαίνω ότι ίσως ρωτήσετε γιατί δεν υπάρχει βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά. Η απάντηση είναι απλή: η γυναίκα του ήταν φερμένη από έναν μαθηματικό.
Τα πράγματα έμειναν έτσι για πολλά χρόνια, μέχρι που ένας Αμερικανός μαθηματικός, Αντόνι Φιλιπς, δημοσίευσε το 1967 στο Scientific American μια πρώτη έκδοση αυτής της αναστροφής, πολύ περίπλοκη. Η δεύτερη εφευρέθηκε στις αρχές της δεκαετίας του '70 από τον Γάλλο μαθηματικό (ανέβλεπο) Μπερνάρ Μόριν. Εγώ ήμουν ο πρώτος που σχεδίασα τη σειρά των μετασχηματισμών, που θα είναι αντικείμενο, όπως σας ανακοίνωσα, ενός προσεχούς άρθρου σε αυτόν τον ιστότοπο, επίσης πολύ πλούσιο. Ωστόσο, όλα αυτά μας οδηγούν σε μια παρατήρηση. Οι επιφάνειες μπορούν να αναπαρασταθούν σε πολυεδρική μορφή. Ένας κύβος ή ένα τετράεδρο μπορούν να θεωρηθούν ως πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας, στο νόημα ότι αυτά τα αντικείμενα έχουν την ίδια τοπολογία. Σε αυτό το σημείο, επισκεφθείτε το Topologicon μου. Επίσης, καταλαβαίνετε ότι, αν είναι δυνατό να αναστραφεί η σφαίρα, θα είναι εξίσου δυνατό να αναστραφεί και ένας κύβος. Ο μετασχηματισμός που εφεύρε ο Μπερνάρ Μόριν (που εικονογράφησα στο άρθρο του Ιανουαρίου 1979 στο Pour la Science) περνάει από ένα κεντρικό μοντέλο. Υπάρχει μια συμμετρία σε αυτή τη σειρά. Αυτή είναι αυτή που αποκαλώ "κεντρικό μοντέλο με τέσσερα αυτιά". Προετοιμάζω πράγματα. Ωστόσο, όπως η σφαίρα προσφέρεται σε πολυεδρικές αναπαραστάσεις, το ίδιο ισχύει για τα επόμενα βήματα αυτής της μετασχηματισμού. Αυτό που βλέπετε να στρέφεται στην αρχική μου σελίδα είναι η πολυεδρική έκδοση του κεντρικού μοντέλου της αναστροφής της σφαίρας, που εφεύρα πριν από δέκα χρόνια. Το ενδιαφέρον των πολυεδρικών μοντέλων βρίσκεται στο ότι μπορούν να κατασκευαστούν με επίπεδες επιφάνειες. Μπορούν επίσης να κατασκευαστούν με χαρτί και ψαλίδι. Κοιτάξτε το σχέδιο παρακάτω (ευχαριστώ, μεταξύ άλλων, τον φίλο μου Χριστόφορο Τάρντι, που παρήγαγε τα στοιχεία της σωστής μεγέθους).
Μεγάλο
Είναι ένα σχέδιο συναρμολόγησης, για το οποίο έχετε εδώ μια γενική εικόνα. Ωστόσο, για εκτύπωση, προτιμότερο είναι να