Πώς να μετατρέψει κανείς μια διασταύρωση σε επιφάνεια Μποϊ (δεξιά ή αριστερή, όπως θέλει ο ενδιαφερόμενος), περνώντας από την Ρωμαϊκή Επιφάνεια Στάινερ.
27 Σεπτεμβρίου 2003
σελίδα 4
Παρουσιάζεται τώρα το μοντέλο από άλλη γωνία:
Πίνακας 14: Επαναλαμβάνουμε την ίδια ενέργεια δημιουργώντας την τρίτη «αυχένα» της καμπύλης αυτοτομής. Σε πολυεδρική μορφή, αυτή έχει τη μορφή τριών τετραγώνων που έχουν κοινό κορυφή: το σημείο τριπλής επικάλυψης
Τ.
Πίνακας 15: Κρατώντας το αντικείμενο στρέφοντάς το, βλέπετε την πολυεδρική μορφή της επιφάνειας Μποϊ που είχα δημιουργήσει και παρουσίασα στο Topologicon (όπου υπάρχει αποκοπή για να την κατασκευάσει κανείς).
Τελευταίος πίνακας: Προσπάθησα να απεικονίσω την επιφάνεια Στάινερ (του 4ου βαθμού, ενώ η Μποϊ είναι 6ου) να στρέφεται και να μετατρέπεται σε επιφάνεια Μποϊ.
Φαίνεται ότι για να κατανοήσει κανείς αυτό το αντικείμενο, πρέπει να έχει μεγάλη εξοικείωση. Το μάτι μας είναι πολύ ανάσχετο όταν πρόκειται για την κατανόηση ενός αντικειμένου όπου σε μία ίδια γραμμή θέασης επικαλύπτονται περισσότερες από δύο επιφάνειες. Γι’ αυτό το λόγο, η πολυεδρική μορφή είναι χρήσιμη, γιατί φέρνει στην επιφάνεια του κοινού ανθρώπου μετασχηματισμούς που θεωρούνται πολύπλοκοι στη γεωμετρία, εφόσον οι άνθρωποι κάνουν την προσπάθεια να κατασκευάσουν τα μοντέλα αυτά μόνοι τους. Κατά τη διάρκεια αυτής της παρατήρησης, παρατηρούμε ότι ανάλογα με τις επιλεγμένες ζεύγη κορυφών κορυφών, παίρνουμε μία επιφάνεια Μποϊ «δεξιά» ή «αριστερή» (λέξεις πλήρως τυχαίες). Το επίπεδο του προβολικού μεταφέρεται με δύο «εναντιόμορφες» αναπαραστάσεις, συμμετρικές ως προς κάθε άλλη. Φαίνεται ότι μπορούμε να περάσουμε από μία δεξιά επιφάνεια Μποϊ σε μία αριστερή μέσω ενός «κεντρικού» μοντέλου, που είναι η Ρωμαϊκή Επιφάνεια Στάινερ.
Θα ήταν ασφαλώς χαριτωμένο να δημοσιεύονταν τέτοια σχέδια στο Pour la Science ή στη La Recherche. Αλλά εδώ και είκοσι χρόνια είμαι «απαγορευμένος από δημοσίευση» σε αυτά τα περιοδικά για λόγους προσβολής οβνικής. Ευχαριστώ, κύριοι Έρβε Τίς και Φιλίππε Μπουλανγκέρ. Δεν μετράω πόσα άρθρα τέτοιου είδους έχω στείλει σε αυτά τα περιοδικά και που μου επέστρεψαν με ευγένεια. Τελικά συνηθίζεις τον κατάστασή σου ως αποκληρωμένος.
Ενδιαφέρον για μία ανέκδοτη ιστορία: Στη Γαλλία υπάρχει ένα «Βραβείο Αλεμπέρ» που απονέμεται σε συγγραφείς βιβλίων δημοσίευσης στα μαθηματικά. Η ιστορία μου την ακούστηκε από ένα μέλος της επιτροπής που είχε την ευθύνη να αποφασίσει σε ποιον θα δοθεί το βραβείο (υπάρχουν και λίγα χρήματα). Διάλογος:
-
Αλλά τελικά, δεν μπορούμε να δώσουμε το βραβείο στο Πετίτ; Έχει κάνει εξαιρετικά βιβλία όπως το Géométricon, το Μαύρο Τρύπημα και το Topologicon.
-
Ναι, αλλά δεν έχει γράψει μόνο αυτά.
-
Πώς εννοείτε;
-
Έχει γράψει και το «Τοίχος της Σιωπής».
-
Α, σε αυτή την περίπτωση...
Ναι, το «Τοίχος της Σιωπής», που εκδόθηκε το 1983, είναι ένα βιβλίο αφιερωμένο στη ΜΗΔ. Και, όπως όλοι γνωρίζουν, αυτή η επιστήμη με την περίεργη φύση έχει την ιδιότητα, ή τη διακοπή, να επιτρέπει στα αντικείμενα που πετούν να κινούνται με υπερηχητική ταχύτητα χωρίς να προκαλούν έκρηξη.
Κρύψτε αυτή την επιστήμη, γιατί δεν μπορώ να τη δω
Έχω στα κουτιά μου μία υπέροχη έκδοση του «αναστροφής του κύβου» με ένα εξαιρετικό κεντρικό μοντέλο, που δεν είναι η πολυεδρική έκδοση της εκδοχής του Μορίν. Όλα από τη δική μου δημιουργία. Σύντομα...
22 Οκτωβρίου 2003
: Δεν υπάρχει μεγάλη κίνηση σε αυτές τις σελίδες, αν βλέπω τον αριθμό του μετρητή. Τη Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2003 είχα δώσει μία διάλεξη στο CMI (Κέντρο Μαθηματικών και Πληροφορικής του Χαλιμπίστρα-Γκόμπερτ-Μαρσέιλ) με πρόσκληση του Τρότμαν. Με αφορμή, κατάφερα να τοποθετήσω μία συλλογή περίπου τριάντα μοντέλων από χαρτί, που θα δείτε σύντομα, καθώς έχουν φωτογραφηθεί από τον Χριστόφορο Τάρντυ.
Όταν δίνει κανείς μία διάλεξη, δημιουργείται μία συγκεκριμένη ατμόσφαιρα. Στην επόμενη φωτογραφία, ένας γεωμέτρης που εκφράζει την απορία του.
Στο πίσω μέρος, μέρος των εκθεμένων μοντέλων. Σε κάποια στιγμή ρώτησα:
- Ποιοι από εσάς έχουν ήδη δει μία Ρωμαϊκή Επιφάνεια Στάινερ; Ανασηκώστε το χέρι.
Κανείς δεν είχε ποτέ δει. Έτσι έκρινα ότι ήταν απαραίτητο να παρουσιάσω το αντικείμενο, σε πραγματικό χρόνο, στο φορητό μου υπολογιστή, που είχα φέρει, αντικείμενο που δημιουργήθηκε με τη βοήθεια του Χριστόφορου Τάρντυ, μηχανικού, και του Φρεντερίκ Ντεσκαμπ, από το Ινστιτούτο Λάουε-Λανγκεβίν του Γκρενόμπλ (ILL). Φαίνεται ότι αυτή η παρουσίαση εντύπωσε το κοινό, λίγο συνηθισμένο να βλέπει μαθηματικές επιφάνειες να περιστρέφονται όπως θέλουν.
Δύο πλακίδια από χαρτί, που φαίνονται στην πρώτη γραμμή, επέτρεψαν την παρουσίαση της σειράς των μοντέλων σε λογική σειρά. Τα μοντέλα «πράσινα και κίτρινα» παρουσιάζουν, σε πολυεδρική μορφή, το βασικό εργαλείο δημιουργίας-καταστροφής ενός ζεύγους κορυφών. Το πιο μακρινό λευκό αντικείμενο είναι μία πολυεδρική έκδοση της Cross Cap, που πρώτα μετατρέπεται σε πολυεδρική έκδοση της Ρωμαϊκής Επιφάνειας Στάινερ, ένα μέτρο πιο κάτω, και στη συνέχεια, όπως θέλουμε, σε επιφάνεια Μποϊ «δεξιά» ή «αριστερή».
Η ανάλυση των μοντέλων προκαλεί διάφορες παρατηρήσεις στο κοινό. Ένας γεωμέτρης ρωτά:
- Αν, ακολουθώντας τα μοντέλα σε αυτή τη διεύθυνση, μπορούμε να περάσουμε από την Cross Cap στην Boy, φαίνεται ότι αν κάνουμε το αντίστροφο μπορούμε να μετατρέψουμε μία Boy σε Cross Cap.
Απαντώ θετικά. Ενθαρρυμένος, ο συνομιλητής προσθέτει:
- Αν, φτάνοντας στο στάδιο της Ρωμαϊκής Επιφάνειας Στάινερ, σταματήσουμε, τότε γίνεται δυνατό να επανέλθουμε προς μία επιφάνεια Μποϊ σε αντίστροφη μορφή.
Εγκρίνω για δεύτερη φορά. Αλλά λυπάμαι, κανείς δεν προσφέρθηκε να δώσει εξηγήσεις σχετικά με αυτό το περίεργο κόσμο όπου δίνουμε σε εμβυθισμένες επιφάνειες κλειστών επιφανειών κορυφές, που δημιουργούνται ή αναιρούνται σε ζεύγη, με το σύνολο να αποτελεί μία είδους επέκταση του κόσμου των εμβυθισμών. Ο όρος «υποβυθισμοί» μου φαίνεται πιο κατάλληλος. Αν κάποιος αναγνώστης βρει εξηγήσεις, θα είναι καλωσορισμένες.
Συγκέντρωση καμπυλότητας σε μία κορυφή
Θα την υπολογίσουμε προσθέτοντας τις γωνίες στην κορυφή και συγκρίνοντάς την με το ευκλείδειο άθροισμα: 2
p
.
Στην κορυφή αριστερά, φαίνεται μία από τις πολλές πολυεδρικές αναπαραστάσεις της κορυφής. Το «αποσυναρμολόγημα» του αντικειμένου (δεξιά) οδηγεί σε άθροισμα που υπερβαίνει το ευκλείδειο άθροισμα 2
p
κατά ποσό 2
a
. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η γωνιακή καμπυλότητα που συγκεντρώνεται γύρω από αυτό το σημείο C είναι - 2
a
. Αν η γωνία a είναι ίση με
p
/2, τότε η αρνητική καμπυλότητα είναι
c
(σχήμα στην κάτω αριστερή γωνία). Στην πραγματικότητα, η καμπυλότητα που συγκεντρώνεται σε μία κορυφή μπορεί να πάρει άπειρες τιμές. Στην κάτω δεξιά γωνία, αυξάνουμε το άθροισμα γωνιών και η καμπυλότητα πρέπει να είναι < 2
a
. Αυξάνουμε την αρνητική καμπυλότητα.
Με αντίστροφη διαδικασία μπορούμε να φτάσουμε σε μία αρκετά εκπληκτική κατάσταση: να κάνουμε την καμπυλότητα (γωνιακή) που συγκεντρώνεται στο C να είναι... μηδέν:
Τώρα μπορούμε να ξεκινήσουμε από μία πολυεδρική αναπαράσταση της Crosscap όπου φαίνονται δύο κορυφές που αντιστοιχούν σε αρνητική καμπυλότητα ίση με
- p
:
Υπάρχουν οκτώ «ποσικές» που αντιστοιχούν σε τιμή +
p
/2. Προσθέτουμε τέσσερις άλλες «ποσικές» με καμπυλότητα +
p
/4 και τέσσερις «νεγκακές» με καμπυλότητα -
p /4 P
λέοντας τις δύο κορυφές με καμπυλότητα
- p
.
Άθροισμα: 2
p E
Διαιρώντας αυτή τη συνολική καμπυλότητα με 2 p, επαναλαμβάνουμε τη χαρακτηριστική Ευλερ-Πουανκαρέ για όλες τις αναπαραστάσεις του προβολικού επιπέδου (όπως η επιφάνεια Μποϊ).
Κατά τη διάρκεια της διάλεξής μου, αναφέρθηκα στην τέχνη και τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να ανταλλαγούν οι δύο κορυφές μίας Cross Cap, χρησιμοποιώντας την αναστροφή της σφαίρας. Δεν θυμάμαι αν το έχω γράψει κάπου στον ιστότοπό μου. Είναι τόσο χαοτικός. Θα πρέπει να ψάξω, αλλιώς θα το βάλω κάπου. Είναι αρκετά ευχάριστο. Αλλά η παρουσίαση δεν άρεσε και πολύ σε έναν από τους παρευρισκομένους, κατά τη διάλεξη.
- Δεν βλέπω γιατί ο Πετίτ χρησιμοποιεί αυτό το εξοπλισμό για να αποδείξει τη συμμετρία που ενώνει τις δύο κορυφ