Ο Κεντρικός Μοντέλος της Αναστροφής του Κύβου
31 Δεκεμβρίου 2001
Όλοι έχετε δει να περιστρέφεται αναπάντεια ένα περίεργο αντικείμενο στην αριστερή πλευρά της αρχικής σελίδας του ιστότοπου. Τι είναι αυτό;
Ένας μέρα, όταν θα έχω χρόνο, θα τοποθετήσω στον ιστότοπο μια περιγραφή της αναστροφής της σφαίρας, όπως την είχα δείξει στον Ιανουάριο του 1979 στο Pour la science, δηλαδή πριν από ... 22 χρόνια. Αυτό θα απαιτούσε φυσικά πολλές λεπτομέρειες και μια εισαγωγή. Τι σημαίνει να αναστραφεί μια σφαίρα; Μια σφαίρα δεν έχει την ίδια σημασία για τον κοινό άνθρωπο και τον μαθηματικό-γεωμέτρη. Για τον κοινό άνθρωπο, αυτή ορίζεται ως το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε απόσταση R από ένα σταθερό σημείο O σε ένα χώρο τριών διαστάσεων. Ένας γεωμέτρης θα συνεχίσει να ονομάζει "σφαίρα" ένα αντικείμενο που θα αντιστοιχούσε σε μια "σφαίρα παραμορφωμένη", ένα είδος "πατάτας". Για να κατανοήσετε καλύτερα όλες αυτές τις έννοιες, αγοράστε το CD Lanturlu που φέρει την κινουμένη εικόνα "Le Topologicon". Ωστόσο, ο μαθηματικός πάει πολύ περισσότερο. Όταν μια επιφάνεια ονομάζεται "κανονική", μπορεί να οριστεί σε κάθε σημείο της ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό επιτρέπει να θεωρήσουμε μια άπειρη ποικιλία παραμορφώσεων της "αρχικής σφαίρας" σε άπειρες πατάτες, όταν επιπλέον η επιφάνεια μπορεί να έχει οποιαδήποτε επιφάνεια. Ωστόσο, σε ένα "φυσικό κόσμο", ο άνθρωπος που παραμορφώνει αυτή τη σφαίρα θα αντιμετωπίσει την αδυναμία να την διαπεράσει ίδια. Εάν αυτές οι διαπεράσεις ή ακόμα και αυτές οι επαφές είναι απαγορευμένες, τότε θα μιλάμε για
εμβολισμούς της σφαίρας S2
. Ωστόσο, ο μαθηματικός δίνει σε εαυτό του όλα τα δικαιώματα. Μια σφαίρα είναι για αυτόν ένα "φανταστικό" αντικείμενο όπου οι διαπεράσεις των επιφανειών γίνονται δυνατές. Τα παρακάτω σχέδια δείχνουν μια σφαίρα που έχει "διαπεράσει τον εαυτό της". Αυτή η αναπαράσταση της σφαίρας ονομάζεται τότε
εμβολισμός
.
Ένας εμβολισμός έχει ένα
σύνολο αυτοτομών
ή
self-intersection
(εδώ μια απλή κυκλική καμπύλη). Το εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει να μεταβάλλεται συνεχώς. Ωστόσο, όταν κοιτάτε τα παραπάνω σχέδια, βλέπετε ότι η ενέργεια περιστρέφει καλά μια περιοχή (αναπαριστάμενη με πράσινο χρώμα) του εσωτερικού της σφαίρας προς τα έξω. Για να ολοκληρώσετε αυτή την αναστροφή θα χρειαστεί να συμπιέσετε αυτό το είδος του παγκάκιου. Αυτό φαίνεται αρχικά προβληματικό. Αυτή η συμπίεση θα καταστρέψει τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου. Η ενέργεια θα περιλαμβάνει έτσι ένα βήμα
που δεν θα είναι ένας εμβολισμός
.
Ένας Αμερικανός μαθηματικός, Stephen Smale, απέδειξε ότι "η σφαίρα S2 δεν έχει παρά μια τάξη εμβολισμού". Το συμπέρασμα αυτής της αινιγματικής πρότασης ήταν ότι θα έπρεπε να μπορεί να συνδεθεί μια ακολουθία εμβολισμών της σφαίρας που θα επέτρεπε να πάει από την "κανονική σφαίρα" στην αναπαράστασή της "αντίποδα", δηλαδή όπου όλα τα σημεία θα είχαν αντικατασταθεί από τα αντίποδά τους. Απλά... μια σφαίρα αναστραμμένη, από τη μία πλευρά στην άλλη. Ο Raoul Bott ήταν ο καθηγητής του Smale. Αν και η απόδειξη του τελευταίου, πολύ τυπική, φαινόταν ανεπιτύχητη, κανείς δεν έβλεπε πώς να το πράξει. Ο Bott έλεγε συνεχώς στον Smale "δείξε μου πώς θα το κάνεις", στο οποίο ο Smale, με το γνωστό του μαλλί στη γλώσσα, απάντησε "δεν έχω την παραμικρή ιδέα". Ο Smale θα κέρανε αργότερα το βραβείο Field, το ισοδύναμο του Νομπέλ, αλλά για τα μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια αυτού, μπορεί να ρωτήσετε γιατί ο Nobel δεν ήθελε ποτέ να δημιουργήσει ένα βραβείο Νομπέλ για τα μαθηματικά. Η απάντηση είναι απλή: η γυναίκα του έφυγε με έναν μαθηματικό.
Τα πράγματα έμειναν έτσι για αρκετά χρόνια, μέχρι που ένας Αμερικανός μαθηματικός, Anthony Phillips, δημοσίευσε το 1967 στο Scientific American μια πρώτη έκδοση αυτής της αναστροφής, απαράδεκτα πολύπλοκη. Η δεύτερη εφευρέθηκε στις αρχές της δεκαετίας του '70 από τον γαλλικό μαθηματικό (τυφλό) Bernard Morin. Ήμουν ο πρώτος που σχεδίασα αυτή τη σειρά μετασχηματισμών που θα γίνει, όπως ήδη είπα, αντικείμενο ενός μελλοντικού άρθρου στον ιστότοπο, αρκετά πολύπλοκο. Παρ' όλα αυτά, αυτό μας οδηγεί σε μια παράλληλη συμπέρασμα. Οι επιφάνειες μπορούν να υποστούν
αναπαραστάσεις πολυεδρικές. Ένας κύβος ή ένα τετράεδρο μπορούν να θεωρηθούν ως πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας, στη μέτρηση που αυτά τα αντικείμενα έχουν την ίδια
τοπολογία
. Σχετικά με αυτό, ανατρέξτε στην BD μου το Topologicon. Επιπλέον, κατανοείτε ότι αν είναι δυνατό να αναστραφεί μια σφαίρα, είναι επίσης δυνατό να αναστραφεί ένας κύβος. Το μετασχηματισμός που εφεύρε ο Bernard Morin (τον οποίο έχω απεικονίσει στο άρθρο του Ιανουαρίου 1979 του Pour la science) περνά από ένα
κεντρικό μοντέλο
. Υπάρχει μια συμμετρία σε αυτή την ακολουθία. Αυτό ονομάζεται "το μοντέλο με τέσσερα αυτιά". Επίσης, προβλέπω. Ωστόσο, όπως η σφαίρα μπορεί να υποστεί πολυεδρικές αναπαραστάσεις, το ίδιο ισχύει για τα διαδοχικά στάδια αυτών των μετασχηματισμών. Το αντικείμενο που βλέπετε να περιστρέφεται στην αρχική μου σελίδα είναι έτσι η πολυεδρική αναπαράσταση του κεντρικού μοντέλου της αναστροφής της σφαίρας, ένα μοντέλο που εφεύρα πριν από μια δεκαετία. Το ενδιαφέρον των πολυεδρικών μοντέλων είναι ότι μπορούν να κατασκευαστούν με επίπεδες επιφάνειες. Μπορείτε ακόμα να τα τοποθετήσετε με κομμάτια. Παρακαλώ δείτε το σχέδιο παρακάτω (ευχαριστώ στον φίλο μου Christophe Tardy, που παρήγαγε τα σωστά στοιχεία).
Αυτό είναι ένα σχέδιο που θα βγει από την εκτύπωσή σας σε μικρό μέγεθος, ανεκτίμητο.
Για να εκτυπώσετε αυτό το σχήμα σε φύλλο A4
πρέπει να κάνετε τέσσερις αντιγραφές σε φύλλα A4 που είναι πολύ ισχυρά, δύο φύλλα με μια χρώμα, δύο με ένα άλλο.
Είναι ένα κομμάτι που έχετε μια γενική θέα. Ωστόσο, για να το εκτυπώσετε, είναι προτιμότερο να περάσετε στη σελίδα
κοπή
. Εκτυπώστε την. Στη συνέχεια, με το αντίγραφο που εκτυπώσατε στο φύλλο της εκτυπώτριάς σας, πάτε σε ένα φωτοτυπικό και κάντε τέσσερις αντιγραφές του ίδιου σχεδίου,
δύο σε φύλλα πράσινου βρίσκοντας
και δύο σε κίτρινα. Θα μπορείτε να κατασκευάσετε το κεντρικό μοντέλο της αναστροφής του κύβου, με τη βοήθεια αυτής της κοπής.
Έχετε, σε αυτά τα κομμένα στοιχεία, ζεύγη γραμμάτων: a, b c, d, e, f κ.τ.λ. Αρκεί να κάνετε τα περιπτύγματα φέρνοντας τα ίδια γράμματα σε συμπτώση, και στη συνέχεια να συναρμολογήσετε αυτές τις πλευρές με ταινία κόλλας. Τα σχέδια που ακολουθούν δείχνουν τον τρόπο κατασκευής ενός από τα τέσσερα στοιχεία. Ας δούμε πρώτα πώς πρέπει να αρχίσετε το περίπτυγμα ενός από τα τέσσερα στοιχεία:
Παρακάτω είναι δύο από αυτά τα τέσσερα στοιχεία, δείχνοντας από διαφορετικές πλευρές.
Αυτά συναρμολογούνται στη συνέχεια για να δώσουν ένα αντικείμενο με συμμετρία τάξης τέσσερα ή εναλλαγή ανάμεσα σε πράσινα και κίτρινα στοιχεία. Για να το δείτε σε 3D, παρακαλώ δείτε τις προσομοιώσεις του κ. Tardy, στη "virtual reality". Το πλήρως συναρμολογημένο κεντρικό μοντέλο είναι επίσης διαθέσιμο σε "vrml" σε αυτή την ενότητα. Αυτό το αντικείμενο, δείχνεται από διαφορετικές πλευρές:
Δεν μπορεί να π