Η Αναστροφή της Σφαίρας
7 Δεκεμβρίου 2004
σελίδα 1
Εισαγωγή.
Θα εξετάσουμε στο εξής κλειστές επιφάνειες, όπως η σφαίρα, ο τόρος και μερικές άλλες. Είναι επιφάνειες στο νόημα που έχει για τον κοινό άνθρωπο, δηλαδή αντικείμενα με δύο διαστάσεις που απεικονίζονται σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, τον R³, που είναι ο χώρος μας για την αναπαράσταση. Αυτές οι επιφάνειες μπορούν να απεικονιστούν με διάφορους τρόπους. Εάν δεν τέμνονται με τον εαυτό τους, θα τις αποκαλούμε
βυθίσεις
(στο R³). Εάν τέμνονται, θα τις αποκαλούμε
εμβυθίσεις
και αυτή η τομή θα εκφραστεί με την παρουσία ενός
συνόλου αυτοτομής
(self-intersection).
Στις βυθίσεις μας, υποθέτουμε ότι το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς και ότι η επιφάνεια δεν περιέχει ιδιαίτερες αστάθειες, όπως για παράδειγμα την κορυφή ενός κώνου. Οι επιφάνειές μας θα είναι
κανονικές.
Στην περίπτωση των εμβυθίσεων, απαιτούμε ότι κατά μήκος των γραμμών αυτοτομής τα δύο εφαπτόμενα επίπεδα των φύλλων που τέμνονται να είναι διακριτά.
Ο κόσμος της γεωμετρίας, όπως τον φαντάζεται ο μαθηματικός, είναι αρκετά διαφορετικός από τον φυσικό κόσμο. Το γεγονός ότι οι επιφάνειες μπορούν να διαπερνούν τον εαυτό τους δεν τον προβληματίζει καθόλου. Ο φυσικός κόσμος δεν επιτρέπει τέτοια πράγματα. Αλλά αυτό γίνεται δυνατό στο μεταφυσικό κόσμο. Έτσι, στην Βίβλο διαβάζουμε ότι όταν οι νεκροί θα αναστηθούν, θα γίνουν "σώματα δόξας". Μπορούν τότε να περάσουν μέσα από οτιδήποτε και, κατά τη γνώμη μας, θα είναι σε θέση να διαπερνούν τον εαυτό τους. Έτσι, όταν έλθει η ώρα της Τελευταίας Κρίσης, αν περπατάτε στη Ρώμη με το σώμα δόξας, αν είστε χαμένοι και αν αναζητάτε την πλατεία Navona, θα μπορούσατε να σκεφτείτε να ρωτήσετε τον δρόμο από έναν άλλο νεκρό που έχει την ίδια εμφάνιση με εσάς. Υποθέστε ότι η άτομο που ερωτάτε κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση από την πλατεία. Στον συνηθισμένο φυσικό χώρο, για να σας δείξει τη σωστή κατεύθυνση θα έπρεπε να στραφεί γύρω από τον εαυτό του, ώστε να δείξει με το δάχτυλό του. Αλλά αν περπατά με σώμα δόξας, αυτή η στροφή δεν θα είναι πια απαραίτητη. Θα μπορούσε να δείξει με το δάχτυλό του στο γαστρικό του κέντρο και να διαπεράσει τον εαυτό του. Όταν το χέρι του θα εμφανιζόταν ξανά από την πλευρά του, θα του έμενε μόνο να σας πει "εκεί". Με το χέρι του να εισχωρεί μέσα από το στομάχι του, θα είχε δημιουργήσει στο σώμα του ένα σύνολο αυτοτομής που αποτελείται από δύο κύκλους, το οποίο θα εξαφανιστεί όταν ξαναπάρει την κανονική του μορφή.
Αν ένας άνθρωπος κλείσει το στόμα, βάλει μια συρραπτική στις ρινικές του οδούς για να τις κλείσει και αγνοήσουμε τα άλλα φυσικά του ορφανά, τότε το σώμα του παίρνει την τοπολογία της σφαίρας S². Φανταστείτε έναν αναστηθέντα υπό μορφή σώματος δόξας, όπου τα φυσικά του ορφανά είναι κλεισμένα. Γνωρίζουμε ότι μπορεί να διαπεράσει τον εαυτό του, δηλαδή η επιφάνεια του σώματός του μπορεί να πάρει μια κατάσταση βυθίσεως και να μεταβληθεί σε κατάσταση εμβύθισης. Ένα από τα μεταφυσικά προβλήματα που προέκυψε τότε ήταν εάν ένας αναστηθείς άνθρωπος με σώμα δόξας θα μπορούσε να αναστραφεί χωρίς να προκαλέσει πτυχές.
Μια μικρή παρατήρηση κατά τη διάρκεια. Οι παραγωγοί γνωρίζουν ότι μπορούν να χρησιμοποιήσουν "μαγικούς κύκλους" που μπορούν να διαπερνούν ο ένας τον άλλο "μαγικά". Θα μπορούσαμε να φανταστούμε την απεικόνιση επιφανειών με κάποιο είδος "μαγικού δικτύου" ώστε τα δύο φύλλα, που εδώ απεικονίζονται με μαύρο και ροζ, να μπορούν να διαπερνούνται χωρίς δυσκολία.
Το μαγικό δίκτυο
Εν πάση περιπτώσει, πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι συχνά δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ μαθηματικών και μαγείας. Πριν από είκοσι χρόνια σχεδίασα μια διήγηση: το Topologicon. Είναι τώρα εξαντλημένη και αδύνατο να βρεθεί, εκτός από ως συλλεκτικό αντικείμενο. Σε μία από τις σελίδες μπορούσε να δειχθεί το εξής:
Είναι πολύ λυπηρό που οι εκδόσεις Belin αποφάσισαν να αποχωρήσουν από αυτή τη σειρά. Πρέπει να πούμε ότι με κόστος παραγωγής λίγο πάνω από ένα ευρώ, πώληση των τόμων στα 13 ευρώ (πλέον των δαπανών αποστολής), με πώληση μέσω ταχυδρομείου, εκτός από το γεγονός ότι αφήνει κέρδος 12 ευρώ, δηλαδή κέρδος πάνω από το 92% της τιμής πώλησης, δεν συμβαδίζει με μια πολύ εμφανή εμπορική στρατηγική, ιδιαίτερα για μαύρο και λευκό.
Θεωρήστε μια σφαίρα S² βυθισμένη στο R³. Υποθέτουμε ότι η εξωτερική της επιφάνεια είναι γκρίζα και η εσωτερική έχει χρώμα παλιού ροζ. Μπορούμε να πιέσουμε δύο αντιδιαμετρικά σημεία, τα οποία θα ονομάσουμε τυχαία "βόρειο πόλο" και "νότιο πόλο", μέχρι να εφαρμοστούν σε ένα σημείο. Αυτό μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, με ένα βασίλεμα. Όταν πρόκειται για ένα μαθηματικό βασίλεμα (δεν ξέρουμε αν τα βασίλεμα αναστηθούν ή όχι υπό μορφή σώματος δόξας), οι δύο πολικές περιοχές, μετά την επαφή σε ένα σημείο, μπορούν να διαπεράσουν αυτές τους κατά μήκος μιας καμπύλης αυτοτομής που επηρεάζει τη μορφή ενός κύκλου. Προλαβαίνοντας, θα πούμε ότι αυτή η επιφάνεια έχει υποστεί μια καταστροφή τύπου Do.
Μπορεί να δοκιμαστεί τότε να αναστρέψει το βασίλεμα, τη σφαίρα, συνεχίζοντας τη διαδικασία. Αλλά τότε θα δημιουργηθεί μια πτύχη, η οποία θα εξελιχθεί σε κακή πτύχη, ή πιο ακριβώς σε επιφάνεια αναστροφής (σχήμα d).
Στα τέλη της δεκαετίας του 1950, το σοβαρό ερώτημα αν μπορούσαμε να αναστρέψουμε μαγικά βασίλεμα χωρίς πτυχές παρέμενε άλυτο. Αληθινά, όλοι νόμιζαν ότι αυτό ήταν απολύτως αδύνατο. Αλλά το 1957 ένας μαθηματικός, Stephen Smale (ο οποίος πήρε τη μετάλλιο Field, αλλά για άλλη εργασία), απέδειξε ότι οι διάφορες εμβυθίσεις της σφαίρας S² στο R³ αποτελούν ένα μοναδικό σύνολο και ότι πάντα είναι δυνατό να βρεθεί μια σειρά συνεχών μετασχηματισμών εμβυθίσεων (που ονομάζονται επίσης κανονική ομοτοπία) που επιτρέπουν τη μετάβαση από μία κατάσταση σε μία άλλη. Το συμπέρασμα ήταν ότι έπρεπε να μπορούσαμε να περάσουμε, μέσω μιας συνεχούς σειράς εμβυθίσεων, από την κανονική βυθίση της σφαίρας S² στην αντίθετη βυθίση. Με απλούστερα λόγια: πρέπει να μπορούσαμε να αναστρέψουμε μια σφαίρα χωρίς πτυχές, εφόσον της επιτρέπαμε να αναστραφεί η ίδια.
Ο καθηγητής του Smale ήταν ο Raoul Bott. Αυτός ρώτησε το μαθητή του πώς θα έπρεπε να δράσει και ο Smale απάντησε ότι δεν είχε καμία ιδέα, αλλά ότι το θεώρημά του ήταν πλήρως ακατάπαυστο. Ο Smale δεν είχε καθόλου εικόνα στο χώρο, αλλά δεν του έκανε διαφορά (όπως συμβαίνει με πολλούς γεωμέτρες). Και, αν είμαστε ειλικρινείς, μετά την απόδειξη του θεωρήματός του, αγνοούσε πλήρως τον τρόπο με τον οποίο θα μπορούσε να υλοποιηθεί αυτή η διαδικασία και άμεσα ενδιαφέρθηκε για ένα άλλο θέμα, αφήνοντας τους συναδέλφους μαθηματικούς σε μεγάλη σύγχυση. Νομίζω ότι δεν είναι πολύ φιλικό να δημιουργείς τέτοια προβλήματα και να αφήνεις τους άλλους να βρουν τη λύση δέκα χρόνια αργότερα.
Πρέπει να πούμε ότι είναι αρκετά δύσκολο να φανταστεί κανείς εμβυθίσεις στο μυαλό του. Ωστόσο, γνωρίζουμε επιφάνειες που δεν μπορούν να απεικονιστούν στο R³ με κανένα άλλο τρόπο. Για παράδειγμα, η βαλβίδα Klein.
Βαλβίδα Klein
Την απεικονίσαμε εδώ με ένα σύστημα δικτύωσης-σύστημα συντεταγμένων που αποτελείται από δύο σύνολα κλειστών καμπύλων, όπως και ο τόρος. Έτσι μπορούμε να δικτυώσουμε μία βαλβίδα Klein χωρίς να δημιουργήσουμε καμία ανωμαλία στη δικτύωση. Όμως, όπως φαίνεται, αυτή η επιφάνεια αναγκαστικά διαπερνά τον εαυτό της κατά μήκος μιας κλειστής καμπύλης, ενός κύκλου. Δεν μπορούμε λοιπόν να βυθίσουμε μία βαλβίδα Klein στο R³. Το έχω δοκιμάσει, δεν το κατάφερα. Μπορούμε μόνο να την εμβυθίσουμε. Χάρη στις δεξιότητές μου ως ζωγράφου, μπορείτε να φανταστείτε περίπου αυτό το αντικείμενο. Αλλά όταν προσπαθήσαμε να αναστρέψουμε μία σφαίρα, έπρεπε να εξετάσουμε πολύ πιο περίπλοκες διαμορφώσεις. Ο τρόπος απεικόνισης τους δεν ήταν καθόλου εύχρηστος. Κάποιοι χρησιμοποιούσαν πλαστελίνα. Όταν τους βλέπαμε να συζητούν μεταξύ τους σε συνέδρια, συνήθως απομακρύνονταν και άνοιγαν μπροστά στους συναδέλφους τους κουτιά παπούτσια ή καπέλα, περιέχοντας αντικείμενα πιο ή λιγότερο τρομακτικά. Το σχήμα παραπάνω υποδηλώνει τον πιο εύκολο τρόπο για να κατασκευάσει κανείς αυτά τα αντικείμενα και να τα χειριστεί: με κάτι που ονομάζεται "χαλκός σύρμα", ένα έναυσμα που είναι αρκετά ελαστικό ώστε να μπορεί να λυγίσει χωρίς δυσκολία, αλλά διατηρεί την ελαστικότητά του. Η καλύτερη μέθοδος είναι να υλοποιήσει τα σημεία τομής των γραμμών (συνιστούμε ράβδους διαμέτρου 2 mm) καθώς και να τις προσδέσει με σχοινιά από σύρμα. Το πλεονέκτημα είναι ότι μπορούν να γλιστρήσουν, τουλάχιστον μέχρι να θεωρήσουμε ότι το αντικείμενο έχει αποκτήσει μια τελική μορφή. Μετά, μπορούμε να αποκλείσουμε κάθε γλίστρημα με ένα σημείο κόλλας.
Στην πράξη είναι αρκετά σπάνιο να χρειαστεί να χρησιμοποιήσει κανείς βαλβίδες Klein. Παρακάτω, μια φωτογραφία μιας βαλβίδας Klein που χρησιμοποιώ για τις προσωπικές μου ανάγκες.
Αυτά τα αντικείμενα, εφόσον κανείς έχει κάποιο νόημα για τις μορφές, είναι αρκετά όμορφα. Έχω κάνει να φτιάξουν μερικά όταν ήμουν δάσκαλος γλυπτικής στη Σχολή Καλών Τεχνών της Αϊξ-εν-Προβένς. Αλλά πριν από αυτή τη μέθοδο υπήρξαν πολλές δοκιμές, όπου μειγνύαμε το μαλακό σύρμα και το χαρτί, προκαλώντας αποτελέσματα με απολύτως αμφισβητήσιμη αισθητική. Θυμάμαι ότι μια φορά έπρεπε να πάω με το τρένο από Μασσαλία στο Παρίσι για να φέρω στον αγαπημένο μου φίλο, τον μαθηματικό André Lichnérowicz, πολλές επιφάνειες που είχα καταφέρει να απεικονίσω με αρκετή αξιοπιστία. Είχε ειδικά την επιφάνεια του Boy, στην οποία είχα προσκολλήσει μια χαρτογραφία κεντραρισμένη γύρω από έναν μοναδικό πόλο. Το τελικό αποτέλεσμα ήταν ένα απόλυτα υπέροχο αντικείμενο, το οποίο εκτέθηκε για είκοσι χρόνια στην αίθουσα
pi
του Παλαιού της Ανακάλυψης στο Παρίσι. Αλλά πριν από ένα χρόνο η διεύθυνση του Μουσείου θεώρησε ότι αυτή η επιφάνεια είχε παρέλθει, και τώρα βρίσκεται σε κάποιο αποθήκη ή σε κάποιο υπόγειο. Ελπίζω να μην έχει παραμορφωθεί κατά τη μεταφορά. Όλα αυτά για να πω ότι δεν θα μπορέσετε να δείτε την επιφάνεια του Boy πουθενά, εκτός από σε βιβλία ή σε ένα CD-ROM όπου έχω καταγράψει τις 18 διηγήσεις μου για τα επιστημονικά θέματα σε μορφή pdf, μεταξύ των οποίων και το Topologicon.
Πώς να αποκτήσετε αυτό το CD-ROM.
Αλλά επιστρέφοντας στην περιπλάνηση που ξεκίνησα, από Μασσαλία στο Παρίσι. Ήμουν ήδη φορτωμένος με δύο βαλίτσες και είχα αποφασίσει να πάρω μαζί μου τρία μοντέλα. Η μόνη λύση ήταν να τα κρεμάσω γύρω από το λαιμό μου. Αλλά όταν πέρασα από τον σταθμό και είδα πώς με κοίταζαν οι άνθρωποι, κατάλαβα ότι φαντάζονταν ότι είχα νευρικό που είχε λάβει άδεια έξοδου από το νοσοκομείο. Ήταν πλήρως άκαρπη η προσπάθεια να τους εξηγήσω το αντίθετο, και έπρεπε να υποφέρω αυτό το πόνο με όση δυνατή αξιοπρέπεια.
Το ευχάριστο είναι ότι οι άνθρωποι που κατασκευάζουν τέτοια πράγματα είναι αρκετά σπάνιοι. Υπήρχε στην Αμερική ένας μαθηματικός που ονομαζόταν Charles Pugh, που εργαζόταν στο τμήμα μαθηματικών του πανεπιστημίου της Berkeley. Θα έχω την ευκαιρία να μιλήσω γι' αυτόν αργότερα. Ο Pugh ήταν απολύτως εξαιρετικός με το δίκτυο για πουλιά, αλλά εγώ προτιμώ πάντα τη μέθοδο του χαλκού σύρματος.
Επιστρέφοντας στην ιστορία της αναστροφής της σφαίρας. Ο πρώτος που κατάφερε να επιλύσει αυτό το πρόβλημα ήταν ο γεωμέτρης Anthony Phillips. Δημοσίευσε τη δουλειά του, δηλαδή μια σειρά σχεδίων, σε έναν αριθμό του Scientific American, το 1967. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να αναστρέψει κανείς μια σφαίρα. Ένας από αυτούς είναι να φέρει κάθε σημείο της σφαίρας σε συμβατότητα με το αντίθετό του. Τότε λαμβάνει τη μορφή μιας επιφάνειας του Boy. Πάντα έχω όνειρο να βρω χορηγό για να φτιάξω μία υπέροχη γλυπτή που θα απεικονίζει έναν γήινο σφαιρικό πλανήτη που θα είχε τυλιχθεί σε επιφάνεια του Boy. Λόγω της αδυναμίας να φτιάξω το αντικείμενο, το χρησιμοποίησα για τη συσκευή του Topologicon:
Η γήινη σφαίρα που έχει επανασυνδεθεί με τον εαυτό της ως επιφάνεια του Boy
Σε αυτή τη διάταξη, αν κάνεις ένα τρύπημα στο βόρειο πόλο, θα εμφανιστεί αμέσως στην αντίθετη πλευρά, στο νότιο πόλο, επειδή αυτά τα δύο σημεία είναι αντίθετα. Ένας Γάλλος που θα κοίταζε μια τρύπα στο σπίτι του θα βρισκόταν στη Νέα Ζηλανδία, κ.ο.κ.
Η έκδοση που βρήκε ο Anthony Phillips είναι ακριβώς να περιγράψει τον τρόπο με τον οποίο η σφαίρα διαμορφώνεται ως διπλή επιφάνεια της επιφάνειας του Boy, η οποία φυσικά είναι μονόπλευρη. Εάν διέθεταμε ένα μαγικό προϊόν,
η διαπεραστική
, το οποίο θα έδινε στις επιφάνειες τη δυνατότητα να διαπερνούν τον εαυτό τους, θα αρκούσε να συνδέσουμε κάθε σημείο με το αντίθετό του με ένα σύρμα, το οποίο θα συρρικνωνόταν μέχρι να γίνει μηδενικό. Εάν δεν μπορεί κανείς εύκολα να απεικονίσει αυτή τη μετασχηματισμό, μπορεί ωστόσο να ενδιαφερθεί για ένα μέρος της σφαίρας, για παράδειγμα το γύρω από τον ισημερινό. Αυτό είναι ακριβώς αυτό που έγινε στις εξής εναλλαγές. Αυτή η επιφάνεια, με δύο κυκλικά άκρα, μοιάζει με τον τρο