Η Αναστροφή της Σφαίρας
8
Δεκέμβριος 2004
σελίδα 2
Ανταλλαγή των κορυφαίων σημείων μιας Crosscap
Αυτό θα αποτελέσει ένα μικρό διάλειμμα, σε ρυθμό "σε τι μπορεί να χρησιμεύσει η αναστροφή της σφαίρας;". Εδώ: για να ανταλλάξουμε τα δύο κορυφαία σημεία μιας Crosscap, κάτι που φαινόταν εξ αρχής αδύνατο. Επινόησα αυτό το μικρό κόλπο πριν από μία δεκαετία. Δεν έχει ποτέ δημοσιευτεί. Αλλά πού θα το δημοσιεύαμε; Δεν είναι και τόσο σαφές. Δεν πρόκειται για "ένα μεγάλο αποτέλεσμα στα μαθηματικά", αλλά είναι όμως ένα αρκετά ελκυστικό άσκηση. Στο εξής θα χρησιμοποιήσουμε πολυεδρικές αναπαραστάσεις. Δεξιά η "γύρος" Crosscap και αριστερά μία από τις διάφορες πολυεδρικές αναπαραστάσεις της.
Η Crosscap με μία από τις διάφορες πολυεδρικές αναπαραστάσεις της.
Στην εικόνα κάτω δεξιά, έχουμε φροντίσει να τοποθετήσουμε τα δύο κορυφαία σημεία C1 και C2, που βρίσκονται στα άκρα της γραμμής αυτοτομής της, σε μία περιοχή που μπορεί να θεωρηθεί ως μέρος μιας σφαίρας. Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να αναστρέψουμε μία σφαίρα. Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια διαδικασία σ' αυτό το αντικείμενο, χωρίς να μας νοιάζουν οι διάφορες φάσεις της μετατροπής. Σε πολυεδρική μορφή αυτό σημαίνει να αναστρέψουμε τον κύβο.
Το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι στο τέλος της διαδικασίας θα έχουμε δύο είδη εσωτερικών προβολών, που θα φαίνονται όπως θα τις βλέπει ένας παρατηρητής που βρίσκεται "μέσα" στην αρχική Crosscap (είναι μία λανθασμένη έκφραση, επειδή αυτή η επιφάνεια είναι μονόπλευρη).
Μετά την αναστροφή, από τον κύβο αριστερά, από τη σφαίρα δεξιά
Η πολυεδρική αναπαράσταση είναι πράγματι πολύ εύχρηστη για να μη χάσουμε την εικόνα των ενεργειών. Τώρα απομένει να βάλουμε δύο δάχτυλα στις προβολές και να τραβήξουμε όλο το πράγμα προς τα έξω:
Να τραβήξουμε το κορυφαίο σημείο C2 "προς τα έξω"
Αν σας αρέσει, μπορείτε να κατασκευάσετε τα πολυεδρικά μοντέλα με χαρτί. Ή ίσως κάποιος θαρραλέος να τα κατασκευάσει σε VRML για να μπορούμε να τα εξερευνήσουμε.
Τώρα απομένει να ολοκληρώσουμε τη διαδικασία.
Μετάβαση σε μία εμβύθιση ίδια με αυτή της αρχής, με τα κορυφαία σημεία ανταλλαγμένα.
Πρόσφατα είχα υποσχεθεί να δημοσιεύσω ένα φάκελο που θα αναφέρεται στις συναντήσεις μου με τον ψυχαναλυτή Ιακώβο Λακάν. Η Crosscap του είχε χρησιμεύσει για να μοντελοποιήσει το "βασικό φανταστικό". Είχε συγκεντρωθεί στο "κεντρικό κορυφαίο σημείο" και αγνόησε απλώς το δεύτερο. Σε αυτή την κεντρική περιοχή, ο Λακάν είχε τοποθετήσει το "γλωσσικό φαλλό" ή το "α' αντικείμενο". Θα σας πω το υπόλοιπο άλλη μία φορά. Παρ' όλα αυτά, ο Λακάν δεν είχε προβλέψει ότι τα σημεία αυτά θα μπορούσαν να "ανταλλαγούν". Στην πραγματικότητα, όταν μου μίλησε για αυτή τη γλωσσο-γεωμετρική-ψυχαναλυτική μοντελοποίηση, σηκώθηκαν τα φρύδια μου, εικάζοντας ότι σε αυτή τη Crosscap τα δύο κορυφαία σημεία θα μπορούσαν να παίξουν διαφορετικό ρόλο, και μέσα σε μία δευτερόλεπτο, απλώς θέτοντας την ερώτηση, βρήκα πώς να τα ανταλλάξω. Ο Λακάν ήταν αρκετά συγκινημένος, το θυμάμαι. Το βασικό φανταστικό του είχε δύο γλωσσικά φαλλά αντί για ένα. Όλη η δουλειά του είχε βασιστεί σ' αυτό το αντικείμενο. Αλλά του πρότεινα αμέσως μία εναλλακτική λύση, τοποθετώντας το γλωσσικό φαλλό στον πόλο (μοναδικό) μίας επιφάνειας Μποϊ. Έτσι, όλα επέστρεψαν στην τάξη, με μεγάλη του ικανοποίηση.
Αυτό το γεγονός συνέβη λίγο πριν το θάνατό του. Όπως μπόρεσα να διαπιστώσω, αυτή η αναδιάταξη ψυχαναλυτική-γεωμετρική δεν φαίνεται να έχει διαδοθεί ακόμη στην κοινότητα των λακανικών ψυχαναλυτών.
Προηγούμενη σελίδα
Επόμενη σελίδα