Η Αναστροφή της Σφαίρας
7 Δεκεμβρίου 2004
σελίδα 3
Τα βασικά καταστροφικά φαινόμενα.
Έχουμε ήδη αναφέρει προηγουμένως ότι οι εμφυτεύσεις που εξετάζαμε είχαν την ιδιότητα να διατηρούν διακριτά τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος των συνόλων αυτοτομής, όταν αυτά υπήρχαν. Με αυτή την προϋπόθεση είναι δυνατό να περάσουμε από μία εμφύτευση σε μία άλλη χρησιμοποιώντας τέσσερα βασικά καταστροφικά φαινόμενα. Ο Morin τους έδωσε ονόματα, που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Το πρώτο οδηγεί στη δημιουργία μίας κλειστής καμπύλης (και στην αντίστροφη ενέργεια, την καταστροφή της). Αυτό συμβαίνει όταν βυθίζουμε το γόνατο μας στο νερό μίας πλάκας για να εκτιμήσουμε τη θερμοκρασία του (στα αριστερά). Σχήμα a4: οι επιφάνειες είναι σε επαφή σε ένα σημείο. Στο a5 έχει δημιουργηθεί η καμπύλη αυτοτομής. Στο υπόλοιπο κείμενο θα αποκαλέσουμε αυτή τη διαδικασία «καταστροφή του γόνατος».
Η «καταστροφή του γόνατος»: δημιουργία - καταστροφή μίας κλειστής καμπύλης
Η δεύτερη καταστροφή είναι η «κομμάτι μανταρίνας»:
Η καταστροφή που αποτελείται από τη δημιουργία-καταστροφή ενός «κομματιού μανταρίνας».
Αν κοιτάξετε προσεκτικά αυτές τις εικόνες, από τα αριστερά προς τα δεξιά θα δείτε ότι ένας παραβολικός κύλινδρος πλησιάζει ένα δίεδρο. Το σύνολο αυτοτομής αποτελείται από δύο απομονωμένες παραβολικές καμπύλες, που είναι φανερά ορατές, και την ακμή του δίεδρου. Στη μεσαία εικόνα η ακμή του δίεδρου είναι σε επαφή με μία από τις γενέτειρες του κυλίνδρου. Η ακμή είναι εφαπτόμενη στον κύλινδρο σε αυτό το σημείο. Το σύνολο αυτοτομής αποτελείται από δύο παραβολικές καμπύλες, που εφάπτονται σε ένα σημείο, και την ακμή του δίεδρου. Δεξιά: ο παραβολικός κύλινδρος συνέχισε την κίνησή του. Η καμπύλη αυτοτομής έχει αλλάξει. Αποτελείται από την ακμή του δίεδρου, και τις παραβολικές καμπύλες που τέμνονται σε δύο σημεία, που βρίσκονται στην ακμή του δίεδρου. Μπορούμε να ερμηνεύσουμε την κατάσταση αντιστρόφως: ο παραβολικός κύλινδρος είναι ακίνητος, ενώ τα δύο «επίπεδα τομής» κινούνται. Η δεξιά εικόνα υπενθυμίζει δύο χτυπήματα με μαχαίρι, ή δύο τομές που γίνονται με αργάλειο. Το κομμάτι που αποκόπηκε είναι επίσης σχεδιασμένο. Ο Morin το σύγκρινε με ένα «κομμάτι μανταρίνας», μία πολύ εκφραστική εικόνα.
Η τρίτη καταστροφή είναι η «παντελόνι»:
Η καταστροφή «του παντελονιού»
Οι εικόνες είναι αρκετά εκφραστικές. Κατεβαίνουμε από τα αριστερά προς τα δεξιά ένα παντελόνι στο νερό. Αριστερά το πουλί περνάει κάτω από την επικράτηση, αλλά το ψάρι παραμένει στο μία από τα πόδια. Δεξιά το ψάρι περνάει, αλλά η διέλευση που χρησιμοποιούσε το πουλί έχει εξαφανιστεί. Στο μέσον η ενδιάμεση κατάσταση. Το σημαντικό είναι η τοπική αλλαγή της καμπύλης τομής, που αντιστοιχεί σε αυτό που αποκαλείται «χειρουργική επέμβαση», μία αλλαγή σύνδεσης τόξων καμπύλης. Προσπαθήστε να κατανοήσετε καλά αυτή τη μετασχηματισμό, που θα αποδειχθεί η δυσκολότερη να εφαρμοστεί και να δει κανείς στην ομοτοπία της αναστροφής της σφαίρας. Προσέξτε ότι αυτή η καταστροφή κλείνει μία διέλευση ταυτόχρονα με την άνοιξη μίας άλλης στην κάθετη κατεύθυνση.
Η τέταρτη και τελευταία καταστροφή είναι η «αντιστροφή ενός τετράεδρου»:
Η καταστροφή που αντιστρέφει ένα τετράεδρο
Η καμπύλη αυτοτομής αποτελείται από τέσσερις «γραμμές», που είναι οι επεκτάσεις των τεσσάρων πλευρών ενός τετράεδρου. Στην αριστερή εικόνα έχουμε απομονώσει αυτό το τετράεδρο που δείχνει τις γκρίζες του επιφάνειες προς τα έξω. Δεξιά, το αντίθετο: οι επιφάνειες είναι ροζ. Στο μέσον, η ενδιάμεση κατάσταση: το τετράεδρο έχει συρρικνωθεί σε ένα σημείο Q (τετραπλό, αφού βρίσκεται στη διασταύρωση τεσσάρων φύλλων).
Με τη βοήθεια αυτών των τεσσάρων καταστροφών θα εξετάσουμε την αναστροφή μίας σφαίρας μέσω μίας συνεχούς ακολουθίας διακριτών εμφυτεύσεων. Αυτή η παραλλαγή οφείλεται στο μαθηματικό (τυφλό) Bernard Morin. Η γνωριμία μας αξίζει να γίνει απομνημόνευση. Ένας μέρα, ένας τεχνικός της Σχολής Ανθρωπιστικών Επιστημών μου ζήτησε να φέρω τις δημιουργικές μου ικανότητες σε έναν ομιλητή που θα μίλαγε για γεωμετρία. Πήγα στη συνάντηση χωρίς καμία αμφιβολία. Πάντα είχα είναι αρκετά ικανός να διακρίνω αντικείμενα στο χώρο, και όταν ο δάσκαλος μας της υψηλής μαθηματικής μας έδινε πρόβλημα γεωμετρίας προβολής, σχεδίαζα τη διασταύρωση και παρέσχα μία προοπτική εικόνα ταυτόχρονα με την ανακοίνωση του προβλήματος. Αλλά αυτή τη φορά τα πράγματα θα εξελίχθηκαν διαφορετικά.
Δεν είχα καμία δυσκολία να σχεδιάσω τις παραπάνω εικόνες. Αλλά όταν έπρεπε να τις ενσωματώσω σε ένα σχήμα που περιελάμβανε την αναστροφή της σφαίρας, τελικά χάθηκα εντελώς, αντιμέτωπος με ένα σύνολο φύλλων που βρίσκονταν το ένα πίσω από το άλλο. Εξοργισμένος, επέστρεψα να δω αυτό το περίεργο πρόσωπο, που παρόλο που ήταν τυφλός φαινόταν πιο άνετος από εμένα σε αυτή την εκτατική διάταξη σχημάτων. Επομένως, ακολούθησα τα μαθήματά του για περισσότερους μήνες. Ο διάλογος ήταν αρκετά περίπλοκος. Από τη μία πλευρά, είχε μόνο τη λέξη ως μέσο. Από τη δική μου πλευρά, μπορούσα να του περιγράψω τα σχέδιά μου, ή να του δώσω μοντέλα που είχα φτιάξει στο σπίτι ή αργότερα στο σημείο. Θα έπρεπε να καταγραφούν αυτοί οι διάλογοι, που ήταν απολύτως υπερβολικοί, σαν:
- Προσπάθησε να φανταστείς δύο καμπύλες που θα συναντιούνταν σχηματίζοντας μία είδους ράβδο για να ανακατέψεις τα αυγά.
Παρόλο που ο χαρακτήρας του προσώπου ήταν δύσκολος, αυτές οι συναντήσεις μείνανε ανεπίσημες για μένα. Τελικά πήρα τη συνήθεια να πίνω δύο ασπιρίνες πριν από τις συναντήσεις μας, ως προληπτικό μέτρο. Ο χαρακτήρας του Morin μπορεί να περιγραφεί με τον κατηγορηματικό τίτλο με τον οποίο τον είχε χαρακτηρίσει η γυναίκα του: «Ευλογημένη Κεραυνός», ένα πρόσωπο από τη διήγηση του Hergé «Τίντιν στο Τιβέτ». Οι εχθρότητες του Morin είχαν χαρακτήρα τόσο μύθος όσο και αναστρέψιμο. Συχνά αναφερόταν σε ορισμένους από