Η Αναστροφή της Σφαίρας
8
Δεκεμβρίου 2004
σελίδα 4
Η έκδοση του Bernard Morin
Για να κατεβάσετε την έκδοση pdf του άρθρου του B. Morin και J.P. Petit, που δημοσιεύτηκε στο Pour la Science
Η αναστροφή της σφαίρας
( 2,8 Mo )
Ξεκινάμε από μια σφαίρα που παρουσιάζει την πορτοκαλί πλευρά της προς τα έξω και τη γκρι πλευρά της προς τα μέσα. Στο
b
και
c
φέρνουμε τους πόλους της σε επαφή. Στη συνέχεια, οι στρώσεις διατρέχονται με μια "καταστροφή του γόνατου". Δημιουργείται μια κλειστή καμπύλη αυτοτομής. Στα κάτω δεξιά τρία ημιτομήματα βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση της διαμόρφωσης που έχει προκύψει. Σε αυτό το στάδιο, η σφαίρα μοιάζει με ένα είδος "πλοίου αεροστατικού", με ένα "παχύ τμήμα" και ένα "διπλό πάτωμα".
Πρώτο βήμα: μια "καταστροφή του γόνατου". Δημιουργία μιας κλειστής καμπύλης αυτοτομής
Δεύτερη ενέργεια: νέα καταστροφή του γόνατου, δημιουργία μιας δεύτερης κλειστής καμπύλης.
Δεύτερη δημιουργία μιας κλειστής καμπύλης αυτοτομής.
Για να το κάνουμε αυτό, το "πλοίο αεροστατικό" έχει περιστραφεί, με ένα κίνηση στροφής, που επέτρεψε την έλευση δύο τμημάτων του "παχύ τμήματος", αντίθετα σε απόσταση, σε επαφή. Η επόμενη εικόνα είναι το αποτέλεσμα των δύο καταστροφών που οδήγησαν στη δημιουργία "τμημάτων πορτοκαλιού".
Μετά τη δημιουργία δύο "τμημάτων πορτοκαλιού"
Στα αριστερά έχουμε κάνει τομές στο μοντέλο. Στο κέντρο, η τρόπος με τον οποίο τα δύο κυλινδρικά στοιχεία, τα οποία τοπικά έχουν μια τομή που επηρεάζει το σχήμα της ελληνικής γραμματοσειράς "γάμα", έχουν διατρεχθεί. Υπενθυμίζουμε ότι η καταστροφή δημιουργίας "τμημάτων πορτοκαλιού" πραγματοποιείται κόβοντας μια "πασχαλινή τούφα" με δύο επίπεδα που σχηματίζουν ένα δίεδρο. Κάθε μια από τις κυλινδρικές δομές που έχουν μια τομή στο "γάμα" περιλαμβάνει ταυτόχρονα την κυκλική τομή και το δίεδρο. Παρατηρήστε προσεκτικά την εικόνα
i
. Στο
j
έχουμε σχεδιάσει το σύνολο της αυτοτομής. Το μεγαλύτερο τμήμα της κλειστής καμπύλης προέρχεται από την πρώτη "καταστροφή του γόνατου" που μετέτρεψε τη σφαίρα σε "πλοίο αεροστατικό". Μετά τη δημιουργία των δύο τμημάτων πορτοκαλιού παίρνουμε ένα πιο περίπλοκο σύνολο, το οποίο το
j
είναι ένα υποσύνολο. Στο
j
" βλέπουμε ότι αυτή η δομή μπορεί να συγκριθεί με τη συναρμολόγηση δύο "τμημάτων πορτοκαλιού" σε δύο ακμές ενός τετραέδρου, που δεν είναι γειτονικές.
Όλα αυτά θα είναι μια μέρα πολύ πιο απλό να κατανοηθεί όταν θα μπορέσω να παράγω αναμενόμενα. Δεν μου παρουσιάζει κανένα τεχνικό πρόβλημα από πριν. Είναι απλώς ένα θέμα χρόνου. Σπάνιοι είναι αυτοί που μπορούν όχι μόνο να διαβάζουν στο χώρο, δηλαδή να διαβάζουν αυτό το κώδικα που χρησιμοποιεί γραμμές, σημειωματικά, χρώματα, σκιές και ανακλάσεις, αλλά και να συνδυάζουν στο μυαλό τους μετασχηματισμούς εικονικά, φανταζόμενοι την κίνηση που προτείνεται. Ελπίζω να έχω κάποτε το χρόνο να κάνω όλα αυτά. Παρατηρήστε επίσης ότι θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν πολυεδρικά μοντέλα, όπως έκανα για να δείξω πώς μπορεί να μετατραπεί μια Crosscap σε μια Επιφάνεια του Boy. Αυτό είναι το μέλλον. Αλλά αυτά τα μοντέλα πρέπει να τα εφευρεθούν. Θα βρείτε παρακάτω την πολυεδρική βελτιστοποιημένη έκδοση του κεντρικού μοντέλου αυτής της μετατροπής που εφεύρε ο Bernard Morin ( θυμηθείτε ότι είναι τυφλός! ), με τον τρόπο με τον οποίο μπορείτε να το κατασκευάσετε μόνοι σας από μια κοπή.
Γιατί δεν προχώρησα πιο μακριά σε αυτά τα θέματα; Θα έλεγα: λόγω έλλειψης "αγοράς". Δεν υπάρχουν επιστημονικά περιοδικά που δέχονται να δημοσιεύουν τέτοια έργα. Μπορέσαμε να το κάνουμε το 1975-78 μέσω μερικών σημειώσεων στα Αποτελέσματα της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού, τα οποία πιθανόν δεν διάβασε πολύς κόσμος. Αλλά ήταν γιατί ο ακαδημικός André Lichnérowicz ενδιαφερόταν προσωπικά για αυτά τα έργα. Αυτός έχει πεθάνει τώρα. Επειδή αυτά τα έργα ήταν ολοκληρωμένα ήδη από το 1975 θα ήταν επιθυμητό να παραχθεί ένα βίντεο αναμενόμενων από τα σχέδιά μου. Επειδή εργαζόμουν στο ζωγραφικό αναμενόμενο ήμουν απολύτως ικανός να συντονίσω μια τέτοια επιχείρηση. Αλλά ήταν αδύνατο να βρεθεί χρηματοδότηση από το CNRS και τελικά ο αμερικανός μαθηματικός Nelson Max, ενθυμούμενος τα μοντέλα που κατασκεύασε ο συνάδελφός του Charles Pugh ( αυτής της ίδιας έκδοσης της αναστροφής της σφαίρας ), και χρησιμοποιώντας ένα ισχυρό υπολογιστή, κατάφερε να παραχθεί το πρώτο βίντεο. Αλλά αυτό δεν είναι ούτε το πρώτο ούτε το τελευταίο φορά που οι Γάλλοι, που δεν παίρνουν κανένα απόκριση από τις προσπάθειές τους, αναγκάζονται να αντιμετωπίσουν τους ξένους συναδέλφους που είναι καλύτερα οργανωμένοι και υποστηριζόμενοι.
Πάμε στην τρίτη φάση, η πιο δύσκολη να κατανοηθεί.
Προετοιμασία δύο καταστροφών "του χαλιού"
Στην εικόνα
k
είναι καθαρά οι δύο άκρες των "παντελονιών", το λεπτομερές τους φαίνεται σε ένα προσοχή
k
' . Η λευκή βέλος δείχνει την "περιοχή μεταξύ των ποδιών". Αυτή η μετατόπιση είναι πραγματικά δύσκολο να κατανοηθεί. Πρόσθεσα το σχέδιο
m
για να είμαι καλύτερα κατανοητός. Στο
l
έχω απεικονίσει με σημειωματικά την καμπύλη αυτοτομής, η οποία φαίνεται στο σύνολό της στο
l
' . Ένας περιοχή (αυτός που περνά από το λευκό βέλος) θα κλείσει. Αυτή η κίνηση κλεισίματος θα συνοδεύεται από την ανύψωση μιας περιοχής της καμπύλης τομής, σε δύο σημεία. Αυτά τα τμήματα της καμπύλης θα έρθουν σε επαφή, καθένα από αυτά, σε μια από τις γραμμές που ανήκουν στα "τμήματα πορτοκαλιού". Όταν η επαφή θα γίνει, η χειρουργική θα γίνει. Η δυσκολία προέρχεται από το γεγονός ότι όταν έχετε δει τις τέσσερις βασικές καταστροφές, στην προηγούμενη σελίδα, πρέπει να είστε σε θέση να τις μεταφέρετε από όλες τις γωνίες, χωρίς να χρειαστεί να στρίψετε τον λαιμό σας. Στο
n
είναι απεικονισμένο το
κρίσιμο στιγμή
όπου η χειρουργική γίνεται (η "
μεσαία κατάσταση
" της μετατροπής) και όπου ο τρόπος σύνδεσης των τμημάτων της καμπύλης θα αλλάξει. Ξέρουμε ότι αυτή η καταστροφή "του χαλιού"
κλείνει μια περιοχή και ανοίγει μια άλλη
. Η αρχική περιοχή φαίνεται από το λευκό βέλος. Αλλά υπάρχει και μια άλλη που θα μπορούσατε να δείτε από την ίδια γωνία, κάνοντας περιστροφή του μοντέλου 180° γύρω από μια κατακόρυφη άξονα. Αυτά τα βέλη αποτελούν ένα. Πριν από την εκτέλεση αυτών των καταστροφών είναι ακόμη δυνατό να κινηθείτε σε αυτό το "πλοίο αεροστατικό". Όταν αυτές οι καταστροφές θα έχουν το αποτέλεσμα τους, αυτή η περιοχή δεν θα είναι πια δυνατή. Αντίθετα, θα έχουν δημιουργηθεί δύο άλλες περιοχές. Αλλά πού, ποιες περιοχές του χώρου επηρεάζονται; Αυτές οι περιοχές θα συνδέσουν το εσωτερικό των τμημάτων πορτοκαλιού με το εξωτερικό. Στο
l
', βλέπετε αυτά τα τμήματα πορτοκαλιού. Πάμε στο επόμενο βήμα.
Κλείσιμο της περιοχής. Προς μια διπλή κρίσιμη κατάσταση
E n o
έχουμε απεικονιστεί τις δύο καταστροφές "του χαλιού" σε δύο διαφορετικά στάδια. Ένα από τα τμήματα είναι πλήρως κλειστό. Είμαστε σε κρίσιμη κατάσταση, ακριβώς πριν την αλλαγή του τρόπου σύνδεσης των τόξων της καμπύλης. Στα δεξιά (λεπτομέρεια στην εικόνα
o
' ) η περιοχή είναι μόνο σε εξέλιξη. Έτσι, το σχήμα της καμπύλης αυτοτομής
o
" είναι διαφορετικό από αριστερά και δεξιά. Στις εικόνες
p
,
p
' και
p
" η κρίσιμη κατάσταση (η "μεσαία κατάσταση" της μετατροπής) επιτυγχάνεται από τις δύο πλευρές. Στην επόμενη πίνακα οι χειρουργικές έχουν ολοκληρωθεί. Τα σωλήνες που είδαμε να αρχίζουν στην εικόνα
p
", που συνδέουν τα "τμήματα πορτοκαλιού" με το εξωτερικό, είναι τώρα οριστικά δημιουργημένα:
Οι δύο "καταστροφές του χαλιού" έχουν ολοκληρωθεί. Οι περιοχές (λευκά βέλη) είναι ανοιχτές.
Τώρα τα πράγματα θα συνεχιστούν εργαζόμενοι στην κάτω πλευρά του μοντέλου, το λεπτομερές της οποίας φαίνεται στο
r
. Παρατηρήστε αυτό το τμήμα της επιφάνειας με προσοχή. Βλέπουμε δύο τμήματα κυλινδρικών παραβολών που τέμνονται, κινούμενα σε δύο κατευθύνσεις κάθετες. Υπάρχει μια περιοχή στην κάτω πλευρά του
r
που είναι αντιμέτωπη με τον αναγνώστη. Θα θεωρήσουμε την ολίσθηση αυτών των δύο κυλίνδρων το ένα σε σχέση με το άλλο. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα το κλείσιμο αυτής της περιοχής και το άνοιγμα μιας άλλης που θα περνά στην κατεύθυνση κάθετη ( "από τα δεξιά προς τα αριστερά" ). Αναγνωρίζουμε εδώ μια νέα "καταστροφή του χαλιού". Αν αυτή η κατακόρυφη ολίσθηση αυτών των τμημάτων των κυλινδρικών παραβολών πραγματοποιηθεί, θα βγούμε ξανά σε μια κρίσιμη κατάσταση, με αλλαγή του τρόπου σύνδεσης των στρωσιών. Αλλά στην πραγματικότητα, για λόγους οικονομίας, θα σταματήσουμε την "διαδικασία" στην κρίσιμη κατάσταση, στη "μεσαία κατάσταση", όταν η περιοχή που οδηγεί προς τον αναγνώστη θα κλείσει και η περιοχή που βρίσκεται στην κατεύθυνση κάθετη δεν θα είναι ακόμα ανοιχτή. Κάνοντας αυτό.
Νέα καταστροφή του χαλιού, ξεκινώντας από το L, σταματώντας στα δεξιά, στην κρίσιμη κατάσταση.
Θα εκτελέσουμε μια "πίεση" στον κύλινδρο που παρουσιάζει την πορτοκαλί χρώμα προς τα έξω και θα τον ανεβάσουμε. Στο
c
' βλέπετε την επίδραση που έχει αυτή η κίνηση στο σύνολο της αυτοτομής: τα τόξα της καμπύλης αρχίζουν να πλησιάζουν. Όταν η κρίσιμη κατάσταση θα επιτευχθεί, αυτό το τμήμα του συνόλου θα μοιάζει με "ένα ραβδί για την ανάδευση αυγών", που φαίνεται στην εικόνα. Στα δεξιά τις εικόνες,
t
,
t
',
t
" : η κρίσιμη κατάσταση επιτεύχθηκε, δηλαδή "το μεσαίο στιγμιότυπο της καταστροφής". Στο
t
" το σχήμα του συνόλου της αυτοτομής, το οποίο το κάτω τμήμα ταυτίζεται με το ραβδί για την ανάδευση αυγών. Η εικόνα
t
' απεικονίζει το μικρό τετραεδρικό όγκο. Στο
t
''' έχει απεικονιστεί το σταυροειδές των τεσσάρων στρωσιών.
Πάρε ένα ασπιρίνη.
Σε αυτή την έκδοση της αναστροφής της σφαίρας όλες οι μετατροπές, οι καταστροφές θα πρέπει να φτάσουν στο τέλος τους. Αλλά θα αποκλείσουμε αυτή που μόλις αναφέραμε στη μεσαία της διαμόρφωση, "κρίσιμη". Θα αρχίσουμε στη συνέχεια μια καταστροφή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμη:
αυτή που αντιστρέφει ένα τετράεδρο
. Αλλά ξανά θα σταματήσουμε στην κατάσταση "μεσαία", όταν αυτό το τετράεδρο θα μειωθεί σε ένα σημείο. Πάμε!
Τελευταία καταστροφή, αποκλεισμένη στο μεσαίο της στάδιο: όταν το τετράεδρο μειωθεί σε ένα τετραπλό σημείο Q
E n t
''' μια αναφορά στη διαμόρφωση των τεσσάρων στρωσιών που το σύνολο της αυτοτομής περιλαμβάνει έναν όγκο που έχει τη μορφή ενός τετραέδρου. Στο
u
" αυτό το τετράεδρο έχει μειωθεί σε ένα σημείο (τετραπλό, επειδή υπάρχουν τέσσερις στρώσεις που τέμνονται). Στα αριστερά το "μοντέλο με τέσσερα αυτιά του Morin" είναι δημιουργημένο. Στο προσοχή το σύνολο της αυτοτομής με, στο κάτω μέρος, το "ραβδί για την ανάδευση αυγών" και στην κορυφή τέσσερα συρματάκια που υποδηλώνουν "αυτιά του λαγού". Με την παραμόρφωση ελαφρώς της επιφάνειας, χωρίς να πραγματοποιηθούν νέες καταστροφές, φτάνουμε στα δεξιά στο
μοντέλο με τέσσερα αυτιά του Morin
. Αυτό έχει μια συμμετρία τάξης τέσσερα. Αν εκτελούσαμε μια περιστροφή 90° γύρω από τον κατακόρυφο άξονα συμμετρίας του, θα πάραμε το ίδιο σχέδιο, αλλά με αντιμεταθεμένα χρώματα. Το γκρι γίνεται πορτοκαλί και αντίστροφα. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι το έργο έχει τελειώσει. Πράγματι, αν θέλαμε να σχεδιάσουμε την ομοτοπία πλήρης θα έπρεπε, με τη βοήθεια μιας αναμενόμενης, να περιστρέψουμε κατά 90° αυτό το κεντρικό μοντέλο. Στη συνέχεια θα μπορούσαμε να πάρουμε όλα τα σχέδια που έχουμε κάνει, αντίστροφα, με αντιμεταθεμένα χρώματα. Τελικά θα πάρουμε ένα πλόγιο της σφαίρας όπου η σφαίρα θα παρουσιάζει το πορτοκαλί χρώμα της προς τα έξω. Αλλά η μαθηματική είναι ένας τομέας για την άρνηση, ή για την οικονομία, ανάλογα με το πώς κοιτάς την υπόθεση. Στη μέτρηση όπου το έργο μας μας οδήγησε σε ένα αντικείμενο που παρουσιάζει αυτή τη συμμετρία τάξης τέσσερα, μπορούμε να τελειώσουμε και να πούμε ότι η ενέργεια έχει ολοκληρωθεί.
Στην επόμενη πίνακα προσπάθησα να περιγράψω αυτό το κεντρικό ανοιχτό μοντέλο του Morin με τη μέγιστη δυνατή λεπτομέρεια. Υπάρχει ένα μοντέλο με "αυτιά κλειστά", που περιγράφηκε σε άλλη σημείωση στην Ακαδημία, αλλά θα σας το αφήσω.
Λεπτομερής περιγραφή του κεντρικού μοντέλου του Morin, με τέσσερα αυτιά
Στη συνέχεια βρήκα μια πολυεδρική αναπαράσταση του κεντρικού μοντέλου με τέσσερα αυτιά. Στην πραγματικότητα, αυτό το μοντέλο δεν έχει "πάνω" ή "κάτω". Για λόγους ευκολίας σχεδίασης και αναμενόμενων (έχω πάρει αυτές τις εικόνες με ένα πρόγραμμα σχεδίασης με υπολογιστή που είχα αναπτύξει, χωρίς την αρχή των ογδόντα) το ακόλουθο αναμενόμενο δείχνει αυτό το μοντέλο παρουσιάζοντας το τετραπλό σημείο προς τα πάνω. Το τετραπλό σημείο είναι επίσης ορατό:
Η πολυεδρική έκδοσή μου του μοντέλου με τέσσερα αυτιά
Πώς να κατασκευάσετε αυτό το μοντέλο με ένα κοπίδι
Τα στοιχεία του κοπιδιού (να εκτυπωθούν, στη συνέχεια φωτοτυπηθούν σε τέσσερις σελίδες χαρτιού, σε δύο χρώματα )
Στην αρχική αναμενόμενη το αντικείμενο ήταν "σε καθρέφτη" σε σχέση με την παραπάνω θέα. Έτσι, "δεδομένο από πάνω", έχει τη μορφή μιας γραμμής γάμα, το σύνολο μπορεί να υποδηλώνει ένα είδος "πολιτιστικού σπιτιού για ένα νεοναζιστικό κόμμα". Προτιμώ να αντιστρέψω το αντικείμενο για να μην δώσω κακές ιδέες σε αρχιτέκτονες της άκρας δεξιάς.
Κάντε κλικ εδώ
για να πάρετε όλες τις οδηγίες για το πώς να κατασκευάσετε αυτό το αντικείμενο μόνοι σας. Τέλος, μερικές θέσεις αυτού του αντικειμένου.
Θα τελειώσω αυτή την αναμνηστική αναφορά στην αναστροφή της σφαίρας με μια εκπληκτική αληθινή ιστορία. Την εποχή που αυτές οι μετατροπές ήταν γνωστές μόνο σε έναν μικρό αριθμό ειδικών, ένας προστάτης προσφέρει ένα βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων στο άτομο που θα καταφέρει να κατασκευάσει μοντέλα αρκετά σαφή. Στο Μπέρκλεϊ, ο μαθηματικός Charles Pugh ασχολήθηκε με αυτό το έργο και το ολοκλήρωσε. Με τα χρήματα μπόρεσε να αγοράσει ένα σπίτι. Αυτά τα μοντέλα, κατασκευασμένα με φράχτη και μετρώντας κάθε ένα ένα καλό μέτρο διαμέτρου (Pugh ήταν σε θέση να κόψει και να συνδέσει τα κελιά των δομών του με εκπληκτική ευχέρεια, επιτρέποντας την αυτοτομή) κατάφεραν να καταστούν τα παραθύρια του τμήματος μαθηματικών του Μπέρκλεϊ για χρόνια. Ένα βράδυ όμως, έχασαν και δεν τα βρήκαν ποτέ. Δεν ξέραμε ποιος τα έκανε. Εμπορικά θα ήταν πιο δύσκολο να πουληθεί από το Μόνα Λίζα του Λουβρού. Ίσως ένας φίλος τους κρατά τα πράγματα σε ένα κρυφό υπόγειο, χαρούμενος κάθε βράδυ να κατεβαίνει και να λέει "είμαι ο μόνος που μπορεί να τα δ