Η Αναστροφή του Τόρου
9 Δεκεμβρίου 2004
σελίδα 5
Μία συνέπεια αυτών των εργασιών: η τετριμμένη αναστροφή του τόρου
Εάν αποδείχθηκε τόσο δύσκολο να αναστραφεί μία σφαίρα, από την άλλη πλευρά, ξεκινώντας από αυτή την κατάσταση, είναι εξαιρετικά εύκολο να αναστραφεί ένας τόρος. Μπορεί κανείς να πει ότι είναι εφικτή για ένα παιδί δέκα ετών. Ο τόρος, με την ουσία του, είναι απλώς μία σφαίρα με μία λαβή. Διαδραματίζουμε όπως κάναμε για να ανταλλάξουμε τα δύο κορυφαία σημεία μίας Crosscap, δηλαδή αναστρέφουμε τη σφαίρα χωρίς να μας ενδιαφέρει. Η λαβή τότε βρίσκεται μέσα. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτός ο «γέφυρα» μετατρέπεται σε «υπόγειο δρόμο». Όμως, όλοι οι μηχανικοί των δημοσίων έργων το γνωρίζουν: κάθε υπόγειος δρόμος σε ένα δίκτυο οδικών μεταφορών μπορεί να μετατραπεί σε σημείο μέσω μίας καλής ομοτοπίας.
Όταν η σφαίρα αναστραφεί, αρκεί να περάσουμε το δάχτυλο μας μέσα από αυτόν τον δρόμο και να τραβήξουμε ένα δυνατό βολίδα. Δείτε τα σχέδια παρακάτω.
Η τετριμμένη αναστροφή του τόρου
Αν και δεν φαίνεται πολύ καθαρά σε αυτό το σχέδιο, έχουμε σχεδιάσει στο
a
ένα από τα γεννητικά κύκλων του τόρου, που αποτελούν μία από τις δύο οικογένειες κύκλων που επιτρέπουν την απεικόνισή του χωρίς να δημιουργηθεί μορφή πλέγματος (βλ. το Topologicon). Όταν η λαβή συγκεντρώθηκε σε μία περιοχή μίας σφαίρας με λαβή
b
η καμπύλη εξακολουθεί να είναι ορατή. Όταν η σφαίρα με λαβή αναστραφεί, στο
c
, και ο χειριστής περάσει το δάχτυλό του μέσα από τον δρόμο, αυτή η καμπύλη περικλείει το δάχτυλό του. Όταν «εξάγει» τη λαβή, στο
d
, βλέπουμε (τελική εικόνα
e
, αυτή του αναστραμμένου τόρου) ότι αυτός ο κύκλος έγινε ο κύκλος της λεπτής ζώνης της επιφάνειας. Έτσι, όταν ξεκινήσουμε από έναν τόρο που απεικονίζεται με διπλό δίκτυο κύκλων μεσημβρινών και παράλληλων (ο κύκλος της λεπτής ζώνης ανήκει σε αυτή τη δεύτερη οικογένεια), βλέπουμε ότι η ενέργεια της αναστροφής
ανταλλάσσει αυτές τις δύο οικογένειες. Αυτό έχει κάτι μαγικό και πρέπει να αναγνωρίσω ότι υπερβαίνει την κατανόησή μου. Κάθε άτομο πρέπει να μάθει να γνωρίζει τα όριά του. Προσωπικά, νομίζω ότι υπάρχουν κάποιες μαθηματικές διαδικασίες στις οποίες το εγκέφαλο θα έπρεπε να είχε ένα ασφάλεια.
Προηγούμενη σελίδα
Επόμενη σελίδα