Η αντιστροφή του τόρου
5 Δεκεμβρίου 2004
σελίδα 6
Μη τετριμμένη αντιστροφή του τόρου
J.P. Petit:
Συναφή Ακαδημίας Επιστημών.
τόμος 293, συνεδρίαση της 5ης Οκτωβρίου 1981, σειρά 1, σελ. 269-272
Θα περιοριστώ στο να παρουσιάσω τη σειρά των σχεδίων, χωρίς να τα σχολιάσω.
Αντιστροφή του τόρου. Πρώτο μέρος της μετασχηματισμού
Αντιστροφή του τόρου. Δεύτερο μέρος της μετασχηματισμού
Όταν φτάνουμε στο σχήμα
v
βλέπουμε ότι είναι τώρα εύκολο να συμπληρωθεί η γκρίζα δομή με τη ροζ δομή, μετατρέποντας αυτό το αντικείμενο σε διπλό επίστρωμα της μπουκαλιάς του Κλάιν.
Η αντιστροφή πραγματοποιείται τότε με ανταλλαγή των φύλλων που βρίσκονται απέναντι. Παρακάτω, το ίδιο σχήμα με χρωματική κωδικοποίηση.
Διπλό επίστρωμα της μπουκαλιάς του Κλάιν, με χρωματική κωδικοποίηση
(αυτό το σχέδιο δεν περιλαμβάνεται στην ετήσια έκθεσή μου στο CNRS. θα το βρείτε στο Topologicon)
Οι διάφορες οικογένειες τόρων
Αυτό που είχε αποδείξει ο Stephen Smale το 1957 ήταν ότι υπήρχε μόνο μία οικογένεια εμφυτεύσεων της σφαίρας, και ότι όλες αυτές μπορούσαν να συνδεθούν μεταξύ τους μέσω μίας ομοτοπίας. Αυτές αποτελούσαν μία ομάδα, όπου το ουδέτερο στοιχείο αποτελούνταν από τη διατήρηση του αντικειμένου στην αρχική του κατάσταση. Ερωτήθηκε εάν θα μπορούσε να γίνει το ίδιο και για τον τόρο. Οι μαθηματικοί Ioan James και Emery Thomas απέδειξαν ότι οι εμφυτεύσεις του τόρου διαμορφώνονται σε τέσσερα ηπείρωνα, μεταξύ των οποίων δεν είναι δυνατό να περάσουμε χρησιμοποιώντας μία κανονική ομοτοπία.
Οι τέσσερις οικογένειες τόρων
Ο «κανονικός τόρος», που σχεδιάστηκε στο κέντρο της σελίδας, ανήκει στην ίδια οικογένεια με το αντικείμενο που φαίνεται στο
b
. Αυτό είχα δείξει ενδιάμεσα στην έκδοση της αντιστροφής του τόρου που εφηύρα το 1980. Η οικογένεια που αναφέρεται στο a αντιπροσωπεύει έναν τόρο που υπέστη μία στρέψη 360°. Μοιάζει με τον κανονικό τόρο, αλλά οι δύο ορίζονται από το σύστημα χαρτογράφησής τους, με τη βοήθεια δύο οικογενειών καμπύλων. Στον κανονικό τόρο χρησιμοποιούμε δύο σύνολα κύκλων, που αντιστοιχούν σε μεσημβρινούς και παράλληλους. Στον τόρο a θα πρέπει να συμπληρώσουμε την οικογένεια κύκλων που είναι προσκολλημένη με μία δεύτερη οικογένεια, που στρέφεται σε αντίθετη κατεύθυνση. Μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αδύνατο, με τη βοήθεια μίας κανονικής ομοτοπίας, να φέρουμε το δίκτυο αυτού του τόρου a σε συμφωνία με το δίκτυο του κανονικού τόρου (μεσημβρινοί κύκλοι πλέον παράλληλοι κύκλοι). Σε αυτή την έννοια είναι διαφορετικά αντικείμενα. Όλα αυτά τα αντικείμενα μπορούν φυσικά να διαμορφωθούν ως διπλό επίστρωμα της μπουκαλιάς του Κλάιν.
Η δύναμη των εργαλείων του γεωμέτρη είναι
η δυνατότητα πρόβλεψης του τι είναι δυνατό και τι δεν είναι. Να μετατρέψεις τον κανονικό τόρο σε αυτόν της εικόνας
b
: ναι. Να περάσεις από το
c
στο
d
: όχι.
Αυτό αποφεύγει την άκαρπη χρήση χρόνου και ενθαρρύνει ιδίως την αναζήτηση πραγμάτων που δεν είναι καθόλου προφανή, όπως η αντιστροφή μίας σφαίρας. Το ίδιο συμβαίνει σε όλες τις επιστήμες. Υπάρχουν περιπτώσεις που άνθρωποι περνούν δίπλα από εύκαιρες μεθόδους για χρόνια ή ακόμη και αιώνες, απλά επειδή τις θεωρούσαν αδύνατες να εφαρμοστούν. Αφιέρωσα μερικά χρόνια της ζωής μου στη δημιουργία μίας θεωρίας για την κατάργηση των κυμάτων σοκ γύρω από ένα αντικείμενο που κινείται με υπερηχητική ταχύτητα σε αέριο, με τη βοήθεια ενός πεδίου δυνάμεων Laplace, της «MHD». Ένας φοιτητής έκανε ακόμη διδακτορική διατριβή σε αυτό το θέμα υπό την καθοδήγησή μου, και δημοσιεύσαμε αυτές τις εργασίες σε διάφορες επιστημονικές επιθεωρήσεις και συνέδρια. Το θέμα αρχίζει μόλις τώρα να γίνεται αισθητό, τριάντα χρόνια αργότερα. Υποψιαζόμαστε ότι οι Αμερικανοί διαθέτουν υπερηχητικά αεροπλάνα που μπορούν να κινηθούν σε Mach 10 χωρίς να δημιουργούν κύματα σοκ (και ειδικότερα χωρίς να υποφέρουν από τις τεράστιες θερμικές δυνάμεις που σχετίζονται με την ανασύσταση του αέρα πίσω από αυτά τα «bangs»). Αυτό είναι το διάσημο μύθος του Aurora, σκάφος που κινείται στο ύψος όπου γίνονται οι βόρειες φωτεινές ζώνες, μεταξύ 80 και 150 χιλιομέτρων. Το Aurora είναι επίσης πρόδρομος των μελλοντικών διαστημικών πυραύλων που, στηριζόμενοι στον αέρα, θα είναι πολύ πιο οικονομικά από τους πυραύλους του CNES. Στη Γαλλία ήταν αδύνατο να εκκινήσει κάτι τέτοιο (είχα αυτές τις ιδέες το 1975), επειδή άνθρωποι, ιδίως στο CNRS, τις θεωρούσαν πλήρως ανόητες. Το αποτέλεσμα είναι μία καθυστέρηση τριάντα ετών σε σχέση με τις ΗΠΑ, που σύμφωνα με τη γνώμη μου είναι απολύτως ανεπανόρθωτη.
Η καπνοβολή
Για να είμαι πλήρης, πρέπει να αναφέρω τις εκδόσεις της αντιστροφής της σφαίρας που έχουν ως κεντρικό αντικείμενο μία καπνοβολή. Ήταν ένα αντικείμενο που ήταν δημοφιλές όταν ήμουν νέος, αλλά σχεδόν δεν συναντιέται πια σήμερα. Ο πρώτος που σχεδίασε αυτές τις ακολουθίες ήταν ο Georges Francis. Τα τελευταία χρόνια εργάζομαι σε μία πολυεδρική έκδοση αυτών των εκδόσεων, που ήδη έδωσε ένα αρκετά όμορφο κεντρικό μοντέλο. Αλλά για να σας το δείξω, θα πρέπει να βρω ξανά την ευκαιρία. Ελπίζω σύντομα, επειδή είναι ένα από τα πιο φανταστικά αντικείμενα που έχω δημιουργήσει ποτέ.
Προηγούμενη σελίδα
Επόμενη σελίδα
