α102
| 2 |
|---|
Γεωδαισιακές.
...Στη συνέχεια, ασχολούμαστε με επιφάνειες 2 διαστάσεων. Παρεμπιπτόντως, γιατί μια επιφάνεια είναι αντικείμενο 2 διαστάσεων; Επειδή χρειάζονται δύο παράμετροι για να εντοπίσετε ένα σημείο πάνω της. Παράδειγμα: γεωγραφικό μήκος και πλάτος στη Γη.
...Είναι πράγματα που θα καταλάβετε καλύτερα με τα χέρια σας παρά με το κεφάλι σας. Προσπαθήστε να βρείτε μερικά αντικείμενα πριν αρχίσετε να διαβάζετε αυτό το κείμενο. Θα χρειαστείτε:
- Χαρτί, και άκαμπτο και εύκαμπτο.
- Χρωματιστή κολλητική ταινία.
- Ψαλίδι
...Από εδώ και πέρα, με αυτού του είδους τη χρωματιστή κολλητική ταινία, μπορείτε να φτιάξετε λωρίδες σταθερού πλάτους.
(6)
...Πάρτε οποιαδήποτε επιφάνεια, για παράδειγμα το αμάξωμα του αυτοκινήτου σας. Μπορείτε να κολλήσετε τη λωρίδα της κολλητικής σας ταινίας πάνω του, αποφεύγοντας προσεκτικά τις τσάκιες. Τότε παίρνετε γεωδαισιακές αυτής της επιφάνειας. Υπάρχει άπειρος αριθμός τους στο αμάξωμα του αυτοκινήτου σας.
Μπορείτε να το κάνετε σε μια επίπεδη πλάκα. Τότε παίρνετε τις «ευθείες του επιπέδου σας».
Οι «ευθείες» είναι απλώς ιδιαίτερες γεωδαισιακές, εκείνες του επιπέδου.
(7)
Με τρεις γεωδαισιακές σχηματίζετε ένα τρίγωνο σε αυτή την «ευκλείδεια επιφάνεια». Το άθροισμα των τριών γωνιών είναι τότε 180°.
Ποζικόνα.
...Τώρα, ας κατασκευάσουμε ένα «ποζικόνο», ένα είδος «θετικού κώνου». Απλώς πάρτε ένα κομμάτι χαρτί, μια επίπεδη επιφάνεια, κόψτε έναν τομέα με το ψαλίδι σας. Στη συνέχεια, κολλήστε τις γραμμές SA και SB μαζί, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.
(8)
...Τώρα, με την κολλητική μας ταινία, σχεδιάζουμε τρεις γεωδαισιακές γραμμές σε αυτή την επιφάνεια, όπως φαίνεται στο σχήμα (9). Μπορούμε να μετρήσουμε το άθροισμα των τριών γωνιών και βρίσκουμε δύο περιπτώσεις:
Αν το τρίγωνο δεν περιέχει την κορυφή S αυτού του ποζικόνου, το άθροισμα παραμένει 180°.
Αν περιέχει την κορυφή, ανεξάρτητα από το πώς είναι διατεταγμένο γύρω της, μικρό ή μεγάλο, το άθροισμα είναι: 180° + q .
(9)
Για να καταλάβετε, μπορείτε να κόψετε το ποζικόνο σας και να το βάλετε επίπεδο. Τότε η γωνία q εμφανίζεται καθαρά.
(10)
...Μπορείτε εύκολα να επαληθεύσετε ότι οι δύο ευθείες AH και μπορούμε επομένως εύκολα να επαληθεύσουμε ότι οι ευθείες SH και SH' σχηματίζουν γωνία ίση με q .
... Ένας κώνος είναι μια επιφάνεια που μπορεί να μπει επίπεδη, αφού κόψετε κατά μήκος μιας γραμμής που περνά από την κορυφή. Στα γαλλικά, λέμε ότι είναι μια «αναπτυσσόμενη» επιφάνεια, αλλά δεν βρίσκω την αγγλική λέξη στο λεξικό μου. Το ίδιο ισχύει για έναν κύλινδρο.
(11)
...Μπορείτε να σχεδιάσετε γεωδαισιακές γραμμές σε έναν κύλινδρο, με τη λωρίδα της κολλητικής σας ταινίας. Αλλά, αφού κάνετε την τομή σας και βάλετε τον κύλινδρο επίπεδο, οι γεωδαισιακές σας γραμμές γίνονται... ευθείες.
Μπορείτε επίσης να κυλήσετε τέτοιες επιφάνειες (κώνο, κύλινδρο) πάνω σε ένα επίπεδο. Επόμενο σχήμα.
(12)
...Μπορείτε να σχεδιάσετε μια γεωδαισιακή σε έναν κώνο ή σε έναν κύλινδρο με μελάνι, και στη συνέχεια να τον κυλήσετε πάνω σε ένα επίπεδο, χρησιμοποιώντας το ως μήτρα εκτύπωσης. Τότε, στο επίπεδό σας, θα εκτυπώσετε ευθείες.
...Αντίστροφα, αν σχεδιάσετε ευθείες στο επίπεδό σας και κυλήσετε τον κώνο ή τον κύλινδρο πάνω του, πριν στεγνώσει το μελάνι, θα εκτυπώσετε γεωδαισιακές πάνω του.