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Géométries conjuguées.****
Nous pouvons maintenant associer un posicone obtus et un negacone obtus. Face à face : une portion de sphère et une selle de cheval, avec une courbure angulaire opposée + q et - q. Nous avons une correspondance point à point (application injective). Sur la figure (39), un couple de points conjugués a été représenté.
Nous appelons géométries conjuguées deux structures géométriques reliées point à point, telles que les densités locales de courbure soient opposées. C’est le cas de la portion de sphère et de la selle de cheval correspondante. Il en va de même pour la portion de posicone, face à une portion de negacone. Leurs densités locales de courbure angulaire sont nulles. (39)
La courbure positive, dans le pli F, est entièrement contenue dans la portion de sphère. La portion de posicone est une surface euclidienne, qui est « localement plate ». Dans l’autre pli F*, le pli conjugué, toute la courbure (négative) angulaire est contenue dans la selle de cheval. À l’extérieur, la portion de negacone est « localement plate », elle ne contient aucune courbure.
Remarquez qu’à partir d’un pli donné, on peut construire l’autre.
Relativité générale.
L’idée fondamentale est que le contenu local de « matière-énergie » détermine la géométrie locale, il façonne l’hypersurface espace-temps. Notez que le mot composé « matière-énergie », qui montre que tout contenu détermine la géométrie de l’univers : matière* et rayonnement. Dans une section précédente, nous avons évoqué le fait que les photons contribuent à la courbure (positive). Aujourd’hui, la contribution du fond cosmologique est négligeable. La contribution de la matière à la géométrie est dominante. Mais, dans le passé lointain, la situation était inversée : dans le Modèle Standard, lorsque t < 500 000 ans.
Examinons un modèle didactique afin de comprendre les concepts fondamentaux de la relativité générale. Occupons-nous de systèmes à état stationnaire. Considérons une surface plane, sans contrainte interne. Nous pouvons modifier sa géométrie en introduisant des contraintes locales. Nous pouvons introduire une tension positive ou négative (tenseur de contrainte). Par exemple, si je chauffe une feuille plastique, je créerai une bosse (effet de courbure positive).
Je peux aussi imprégner le matériau d’un produit qui, une fois sec, provoquera un allongement local (effet de courbure négative).
Un chaudronnier sait comment utiliser le chauffage et le refroidissement pour façonner une surface métallique, par exemple une boîte ayant subi un accident.
Prenons un simple tube métallique. Chauffons-le d’un côté et refroidissons-le de l’autre. Que se passera-t-il ?
(40)
Les contraintes courberont le tube, comme indiqué sur la figure (41).
(41)
Nous avons introduit des tensions dans le métal. C’est là l’origine du mot tenseur en mathématiques, résistance des matériaux et géométrie. Le spécialiste de la résistance des matériaux parlera de tenseur de contrainte. Le géomètre invoquera le tenseur de courbure. Le spécialiste de la relativité générale appliquera le principe fondamental :
contenu local matière-énergie <-------> géométrie locale
Bien sûr, ce contenu local matière-énergie détermine la géométrie locale d’une hypersurface à 4 dimensions. Mais l’idée est similaire.
Comment l’écrire ? En utilisant ce que les mathématiciens appellent des tenseurs.
Il est difficile d’aller plus loin dans cette direction sans développer un cours complet de géométrie différentielle. L’équation célèbre d’Einstein est : (42)
**S **= c T
c est une constante simple (appelée constante d’Einstein). Elle dépend des valeurs de deux autres constantes :
-
La vitesse de la lumière c.
-
La constante de gravitation G.
par :
(42bis)
S est un tenseur géométrique et prend en charge les caractéristiques géométriques.
T est un autre tenseur, qui décrit le contenu local de l’univers. Dans ce tenseur, vous trouverez la densité de matière r et la pression p. Elles sont exprimées en densité d’énergie. r c² est une densité d’énergie
Mais p est aussi une densité d’énergie. Habituellement, on exprime une pression en pascal par mètre carré. Mais un pascal par mètre carré est aussi un joule par mètre cube. Une pression est fondamentalement une densité d’énergie volumique. Les champs
r (x,y,z) et p (x,y,z)
pour un système à état stationnaire, forment l’entrée du problème. À partir de ces champs scalaires, nous pouvons construire le tenseur T. Ensuite, la question devient :
- Quelle est la géométrie qui correspond à un tel champ de tenseur T (x,y,z), satisfaisant l’équation (42) ?
Étant donné le contenu local de l’Univers, le théoricien doit construire la géométrie locale de l’hypersurface espace-temps. Mais à quoi bon ?
Ici, on utilise l’autre hypothèse fondamentale :
- Tous les objets qui composent notre univers suivent les géodésiques de l’hypersurface espace-temps.
Un objet peut être une étoile, une planète, un atome, un photon, une particule élémentaire.
Les particules proviennent-elles de l’équation de champ ? Pas du tout. La relativité générale les ignore complètement. Pour le spécialiste de la relativité générale, l’univers est un continu, rien d’autre. Les fonctions d’entrée r et p correspondent à une description macroscopique de l’univers. Même chose pour la sortie : le système de géodésiques. Pour le théoricien de la relativité générale, l’Univers est une hypersurface, rien d’autre. Il dit :
- Vous m’avez donné les fonctions r (x,y,z) et p (x,y,z). J’ai construit pour vous l’hypersurface adéquate, qui obéit à l’équation de champ. J’ai déterminé tous les chemins possibles : le système de géodésiques. Mais je suis complètement incapable de construire des particules pour vous. Désolé. Rendez-vous dans un autre département.
En résumé : le pont entre la relativité générale et le monde des particules élémentaires attend encore son constructeur.
Mais l’astronome dira :
- Qui s’en soucie ? Les photons sont censés suivre des géodésiques particulières de cette hypersurface. Cela fonctionne : je peux observer des phénomènes avec des instruments optiques. Les planètes sont aussi censées suivre un autre type de géodésiques. Cela fonctionne aussi. Je peux calculer leurs trajectoires, prédire la précession du périhélie de Mercure. Il y a aussi l’effet lentille gravitationnelle.
Il a raison.
Quelques mots sur cet effet gravitationnel. Tout d’abord, cette image du cône obtus est une simple image didactique. Par exemple, elle ne peut pas décrire les trajectoires circulaires d’une planète autour d’une étoile : (43)
Cela montre simplement la limite des images didactiques. Mais nous pouvons utiliser cet exemple pour illustrer l’effet lentille gravitationnelle, avec deux géodésiques :
(44)
Ci-dessous, la représentation mentale euclidienne de l’espace. Il y a un effet de mirage. Au lieu d’un seul objet, l’observateur voit deux « mirages gravitationnels ».
Version originale (anglais)
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Conjugated geometries.****
We can now associate a blunt posicone and a blunt negacone. Facing each other : a portion of a sphere and a horse saddle, with opposite angular curvature + q an - q. We have a point to point correspondence (injective mapping) . On figure (39) a couple of conjugated points have been figured.
We call *conjugated geometries *two geometric structures, with a point to point link, such as the local curvature densities are opposite. This is the case for the portion of the sphere and the corresponding horse saddle. The same applies for the portion of posicone, facing a portion of negacone. Their local angular curvature densities are zero. (39)
The positive curvature, in the fold F, is entirely contained in the portion of the sphere. The portion of posicone is an euclidean surface, which is "locally flat". In the other fold F*, the conjugated fold, all the (negative) angular curvature is contained in the horse saddle. Outside, the portion of negacone is "locally flat", it contains no curvature.
Notice that given a fold you can build the other one.
General Relativity.
The basic idea is that the local content of "matter-energy" determines the local geometry, it shapes the space-time hypersurface. Notice that the composite word "matter-energy", which shows that any content determines the geometry of the universe : matter* and *radiation. In a precedent section we evoked the fact that photons contribute to (positive) curvature. Today the contribution of the cosmic background is negligible. Matter's contribution to geometry is dominant. But, in the distant past, the situation was reversed : in the Standard Model, when t < 500,000years.
Let us search some didactic model in order to figure the basic concepts of general relativity. Let us deal with steady-state systems. Consider a plane surface, without any internal stress. We can modify its geometry if we introduce local stress. We can introduce positive or negative tension (stress tensor). For example if I heat a plastic film, I will create a blister (positive curvature effect)
I can also impregnate the material with a product which, when dry, will cause local strectching (negative curvature effect).
A boiler-maker knows how to display warming and cooling to shape a metal surface, for an example, a can which has been in an accident.
Take a simple metallic tube. Let us warm it on one side and cool it on the opposite side. What will happen ?
(40)
The stress will bend the tube, as shown on figure (41).
(41)
We have introduced tensions in the metal. This is the origin of the word tensor in mathematics, resistance of material and geometry. The specialist in resistance of material will talk in terms of *stress tensor . The geometer will invoke the curvature tensor *. The specialist of general relativity will apply the basic principle :
local energy-matter content <-------> local geometry
Of course, this local energy-matter content determines the local geometry of a 4d-hypersurface. But the idea is similar.
How to write that ? Using what mathematicians call *tensors *.
It is difficult to go further in that direction, without developping a complete course of *differential geometry *. The famous Einstein equation is : (42)
**S **= c T
c is a simple constant ( called the Einstein's constant ). It depends ont the values of two other constants :
-
The light velocity c.
-
The constant of gravitation G.
through :
(42bis)
**S **is a geometrical tensor and takes in charge the geometrical features.
T is another tensor, that describes the local content of the universe. In this tensor you will find the matter density r and the pressure p . They are expressed as energy densities. r c2
is an energy density
But p is also an energy density. Usually one express a pressur as pascal per square meter. But a pascal per square meter is also a joule per cubic meter. A pressure is basically a volumic energy density. The fields
r (x,y,z) and p (x,y,z)
for a steady-state system, form the entry of the problem. From these scalar fields we can build the tensor T. Then the question becomes :
- What is the geometry that goes with such tensor field T (x,y,z), which satisfies the equation (42) ?
Given the local content of the Universe, the theoretician must build the local geometry of the space-time hypersurface. But, what for ?
Here one uses the second basic hypothesis :
- All the objects that compose our universe follow space-time hypersurface geodesics.
An object can be a star, a planet, an atom, a photon, an elementary particle.
Do the particles come from the field equation ? Not at all. General relativity ignores them completely. For the specialist of general relativity, the universe is a continuum, nothing else. The input functions r and p correspond to a macroscopic description of the universe. Same for the ouput : the geodesic system. For the theoretician of general relativity, the Universe is a hypersurface, nothing else. He says :
- You gave me functions r (x,y,z) and p (x,y,z). I have built for you the adequate hypersurface, which obeys the field equation. I have determined all the possible paths : the geodesic system. But I am completely unable to build particles for you. Sorry. See another department.
To sum up : the bridge between the general relativity and elementary particle world is still waiting his builder.
But the astronomer will say :
- Who cares ? Photons are supposed to follow peculiar geodesics of this hypersurface. It works : I can observe things with optical devices. Planets are also supposed to follow another kind of geodesics. It works too. I can compute their paths, predict the precession of Mercury's perihelion. There is also the gravitational lens effect.
He is right.
Few words about this gravitational effect. First of all, this image of the blunt cone is a simple didactic image. For example it cannot describe the circular paths of a planet around a star : (43)
This simply shows the limit of didactic images. But we can use this last example to illustrate the gravitational lens effect, with two geodesics :
(44)
Below, the mental, euclidean representation of space. There is a mirage effect. Instead a single object, the observer see two "gravitational mirages".