a107
| 7 |
|---|
Συζυγείς γεωμετρίες.
Μπορούμε τώρα να συσχετίσουμε έναν αμβλύ posicone και έναν αμβλύ negacone. Πρόσωπο με πρόσωπο: ένα τμήμα σφαίρας και μια σέλα αλόγου, με αντίθετη γωνιακή καμπυλότητα + q και - q. Έχουμε μια αντιστοιχία σημείου προς σημείο (ενετική απεικόνιση). Στο σχήμα (39), έχει αναπαρασταθεί ένα ζεύγος συζυγών σημείων.
Ονομάζουμε συζυγείς γεωμετρίες δύο γεωμετρικές δομές που συνδέονται σημείο προς σημείο, έτσι ώστε οι τοπικές πυκνότητες καμπυλότητας να είναι αντίθετες. Αυτή είναι η περίπτωση του τμήματος της σφαίρας και της αντίστοιχης σέλας αλόγου. Το ίδιο ισχύει για το τμήμα του posicone, απέναντι από ένα τμήμα του negacone. Οι τοπικές πυκνότητες γωνιακής καμπυλότητάς τους είναι μηδενικές. (39)
Η θετική καμπυλότητα, στην πτυχή F, περιέχεται εξ ολοκλήρου στο τμήμα της σφαίρας. Το τμήμα του posicone είναι μια ευκλείδεια επιφάνεια, η οποία είναι «τοπικά επίπεδη». Στην άλλη πτυχή F*, τη συζυγή πτυχή, όλη η (αρνητική) γωνιακή καμπυλότητα περιέχεται στη σέλα αλόγου. Εξωτερικά, το τμήμα του negacone είναι «τοπικά επίπεδο», δεν περιέχει καμία καμπυλότητα.
Παρατηρήστε ότι από μια δεδομένη πτυχή, μπορεί κανείς να κατασκευάσει την άλλη.
Γενική σχετικότητα.
Η θεμελιώδης ιδέα είναι ότι το τοπικό περιεχόμενο «ύλης-ενέργειας» καθορίζει την τοπική γεωμετρία, διαμορφώνει την υπερεπιφάνεια του χωροχρόνου. Σημειώστε τη σύνθετη λέξη «ύλη-ενέργεια», που δείχνει ότι κάθε περιεχόμενο καθορίζει τη γεωμετρία του σύμπαντος: ύλη και ακτινοβολία. Σε προηγούμενη ενότητα αναφέραμε το γεγονός ότι τα φωτόνια συμβάλλουν στην (θετική) καμπυλότητα. Σήμερα, η συμβολή του κοσμικού υποβάθρου είναι αμελητέα. Η συμβολή της ύλης στη γεωμετρία είναι κυρίαρχη. Όμως, στο μακρινό παρελθόν, η κατάσταση ήταν αντεστραμμένη: στο Καθιερωμένο Πρότυπο, όταν t < 500.000 χρόνια.
Ας εξετάσουμε ένα διδακτικό μοντέλο για να κατανοήσουμε τις θεμελιώδεις έννοιες της γενικής σχετικότητας. Ας ασχοληθούμε με συστήματα σε σταθερή κατάσταση. Θεωρήστε μια επίπεδη επιφάνεια, χωρίς εσωτερική καταπόνηση. Μπορούμε να τροποποιήσουμε τη γεωμετρία της εισάγοντας τοπικές καταπονήσεις. Μπορούμε να εισάγουμε θετική ή αρνητική τάση (τανυστή τάσης). Για παράδειγμα, αν θερμάνω ένα πλαστικό φύλλο, θα δημιουργήσω ένα εξόγκωμα (αποτέλεσμα θετικής καμπυλότητας).
Μπορώ επίσης να εμποτίσω το υλικό με ένα προϊόν που, όταν στεγνώσει, θα προκαλέσει τοπική επιμήκυνση (αποτέλεσμα αρνητικής καμπυλότητας).
Ένας χαλκουργός ξέρει πώς να χρησιμοποιεί τη θέρμανση και την ψύξη για να διαμορφώσει μια μεταλλική επιφάνεια, για παράδειγμα ένα κουτί που έχει υποστεί ατύχημα.
Πάρτε έναν απλό μεταλλικό σωλήνα. Θερμάνετε τον από τη μια πλευρά και ψύξτε τον από την άλλη. Τι θα συμβεί;
(40)
Οι καταπονήσεις θα λυγίσουν τον σωλήνα, όπως φαίνεται στο σχήμα (41).
(41)
Έχουμε εισάγει τάσεις στο μέταλλο. Εδώ βρίσκεται η προέλευση της λέξης τανυστής στα μαθηματικά, στην αντοχή των υλικών και στη γεωμετρία. Ο ειδικός στην αντοχή των υλικών θα μιλήσει για τανυστή τάσης. Ο γεωμέτρης θα επικαλεστεί τον τανυστή καμπυλότητας. Ο ειδικός στη γενική σχετικότητα θα εφαρμόσει τη θεμελιώδη αρχή:
τοπικό περιεχόμενο ύλης-ενέργειας <-------> τοπική γεωμετρία
Φυσικά, αυτό το τοπικό περιεχόμενο ύλης-ενέργειας καθορίζει την τοπική γεωμετρία μιας υπερεπιφάνειας 4 διαστάσεων. Αλλά η ιδέα είναι παρόμοια.
Πώς να το γράψουμε; Χρησιμοποιώντας αυτό που οι μαθηματικοί ονομάζουν τανυστές.
Είναι δύσκολο να προχωρήσουμε περισσότερο προς αυτή την κατεύθυνση χωρίς να αναπτύξουμε ένα πλήρες μάθημα διαφορικής γεωμετρίας. Η περίφημη εξίσωση του Αϊνστάιν είναι: (42)
S = c T
Το c είναι μια απλή σταθερά (που ονομάζεται σταθερά του Αϊνστάιν). Εξαρτάται από τις τιμές δύο άλλων σταθερών:
-
Την ταχύτητα του φωτός c.
-
Τη σταθερά βαρύτητας G.
μέσω:
(42bis)
Το S είναι ένας γεωμετρικός τανυστής και αναλαμβάνει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά.
Το T είναι ένας άλλος τανυστής, που περιγράφει το τοπικό περιεχόμενο του σύμπαντος. Σε αυτόν τον τανυστή θα βρείτε την πυκνότητα ύλης r και την πίεση p. Εκφράζονται ως πυκνότητες ενέργειας. Το r c² είναι μια πυκνότητα ενέργειας.
Αλλά και το p είναι μια πυκνότητα ενέργειας. Συνήθως εκφράζουμε μια πίεση σε πασκάλ ανά τετραγωνικό μέτρο. Αλλά ένα πασκάλ ανά τετραγωνικό μέτρο είναι επίσης ένα τζάουλ ανά κυβικό μέτρο. Μια πίεση είναι βασικά μια ογκομετρική πυκνότητα ενέργειας. Τα πεδία
r (x,y,z) και p (x,y,z)
για ένα σύστημα σε σταθερή κατάσταση, αποτελούν την είσοδο του προβλήματος. Από αυτά τα βαθμωτά πεδία μπορούμε να κατασκευάσουμε τον τανυστή T. Στη συνέχεια, το ερώτημα γίνεται:
- Ποια είναι η γεωμετρία που αντιστοιχεί σε ένα τέτοιο πεδίο τανυστή T (x,y,z), που ικανοποιεί την εξίσωση (42);
Δεδομένου του τοπικού περιεχομένου του Σύμπαντος, ο θεωρητικός πρέπει να κατασκευάσει την τοπική γεωμετρία της υπερεπιφάνειας του χωροχρόνου. Αλλά για ποιο λόγο;
Εδώ χρησιμοποιείται η δεύτερη θεμελιώδης υπόθεση:
- Όλα τα αντικείμενα που συνθέτουν το σύμπαν μας ακολουθούν τις γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας του χωροχρόνου.
Ένα αντικείμενο μπορεί να είναι ένα αστέρι, ένας πλανήτης, ένα άτομο, ένα φωτόνιο, ένα στοιχειώδες σωματίδιο.
Τα σωματίδια προέρχονται από την εξίσωση πεδίου; Καθόλου. Η γενική σχετικότητα τα αγνοεί εντελώς. Για τον ειδικό της γενικής σχετικότητας, το σύμπαν είναι ένα συνεχές, τίποτα άλλο. Οι συναρτήσεις εισόδου r και p αντιστοιχούν σε μια μακροσκοπική περιγραφή του σύμπαντος. Το ίδιο για την έξοδο: το σύστημα γεωδαισιακών. Για τον θεωρητικό της γενικής σχετικότητας, το Σύμπαν είναι μια υπερεπιφάνεια, τίποτα άλλο. Λέει:
- Μου δώσατε τις συναρτήσεις r (x,y,z) και p (x,y,z). Κατασκεύασα για εσάς την κατάλληλη υπερεπιφάνεια, που υπακούει στην εξίσωση πεδίου. Προσδιόρισα όλες τις πιθανές διαδρομές: το σύστημα γεωδαισιακών. Αλλά είμαι εντελώς ανίκανος να κατασκευάσω σωματίδια για εσάς. Συγγνώμη. Απευθυνθείτε σε άλλο τμήμα.
Συνοψίζοντας: η γέφυρα μεταξύ της γενικής σχετικότητας και του κόσμου των στοιχειωδών σωματιδίων περιμένει ακόμη τον κατασκευαστή της.
Αλλά ο αστρονόμος θα πει:
- Ποιος νοιάζεται; Τα φωτόνια υποτίθεται ότι ακολουθούν ιδιαίτερες γεωδαισιακές αυτής της υπερεπιφάνειας. Λειτουργεί: μπορώ να παρατηρήσω φαινόμενα με οπτικά όργανα. Οι πλανήτες επίσης υποτίθεται ότι ακολουθούν έναν άλλο τύπο γεωδαισιακών. Λειτουργεί επίσης. Μπορώ να υπολογίσω τις τροχιές τους, να προβλέψω τη μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή. Υπάρχει επίσης το φαινόμενο του βαρυτικού φακού.
Έχει δίκιο.
Λίγα λόγια για αυτό το βαρυτικό φαινόμενο. Πρώτα απ' όλα, αυτή η εικόνα του αμβλύ κώνου είναι μια απλή διδακτική εικόνα. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να περιγράψει τις κυκλικές τροχιές ενός πλανήτη γύρω από ένα αστέρι: (43)
Αυτό απλώς δείχνει το όριο των διδακτικών εικόνων. Αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το παράδειγμα για να απεικονίσουμε το φαινόμενο του βαρυτικού φακού, με δύο γεωδαισιακές:
(44)
Παρακάτω, η νοητική ευκλείδεια αναπαράσταση του χώρου. Υπάρχει ένα φαινόμενο αντικατοπτρισμού. Αντί για ένα μόνο αντικείμενο, ο παρατηρητής βλέπει δύο «βαρυτικούς αντικατοπτρισμούς».