a109
| 9 |
|---|
Το πρόβλημα των ανωμαλιών.
Πάνω σε μια σφαίρα, όποιο σύστημα συντεταγμένων κι αν επιλέξετε, δεν μπορείτε να αποφύγετε τις ανωμαλίες (για παράδειγμα, δύο πολικές ανωμαλίες):
(50)
Προσέξτε ότι είναι δυνατόν να χαρτογραφήσετε μια σφαίρα χρησιμοποιώντας μία μόνο «πολική ανωμαλία». Κόψτε τη σφαίρα κατά μήκος αυτής της πρώτης οικογένειας επιπέδων που διέρχονται όλα από μία ίδια ευθεία:
(51)
Στη συνέχεια, εισαγάγετε τη δεύτερη οικογένεια επιπέδων, η οποία επίσης τέμνει τη σφαίρα.
(52)
Αν αφήσουμε κατά μέρος αυτή την προβληματική τοπική περιοχή, αλλού δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα. Παρατηρώντας τη σφαίρα από την άλλη πλευρά, παίρνετε το εξής:
(53)
Ωστόσο, στα σημεία S, οι τιμές των a και b απλώς δεν ορίζονται!
Όμως, μια σφαίρα είναι κατά βάση μια κανονική επιφάνεια. Περιστρέψτε ένα αυγό στα χέρια σας: δεν θα ανακαλύψετε κανένα ιδιαίτερο σημείο, καμία εγγενή ανωμαλία.
(54)
Συμπέρασμα: αυτές οι ανωμαλίες είναι ένα τεχνούργημα που οφείλεται στην επιλογή των συντεταγμένων.
Αυτές οι πολικές ανωμαλίες δεν είναι «πραγματικές», δεν αποτελούν εγγενείς ανωμαλίες. Επιλέγετε ένα σύστημα συντεταγμένων και τότε ένα αυθαίρετο σημείο (ή δύο) γίνεται ανώμαλο. Οι δύο ανωμαλίες μιας χαρτογραφημένης σφαίρας — ο βόρειος πόλος και ο νότιος πόλος — είναι μια καθαρά τεχνητή δημιουργία που οφείλεται στην επιλογή του συστήματος συντεταγμένων.