Γεωμετρικό πλαίσιο.
Μια σφαίρα είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο δύο διαστάσεων. Χρειαζόμαστε δύο μεγέθη, δύο αριθμούς, δύο βαθμωτά μεγέθη, για να εντοπίσουμε ένα σημείο πάνω της.
Μια σφαίρα είναι μια επιφάνεια που έχει τοπολογία. Η τοπολογία της είναι διαφορετική από εκείνη του τόρου.
Και οι δύο έχουν γεωδαισιακά συστήματα. Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη ενότητα, μπορούμε να φανταστούμε δύο διακριτά σημεία M1 και M2 πάνω σε μια σφαίρα και μια καμπύλη που συνδέει αυτά τα δύο σημεία. Μπορούμε τότε να μετρήσουμε το μήκος κατά μήκος αυτής της συγκεκριμένης διαδρομής. Πρόκειται για ένα μέγεθος αναλλοίωτο ως προς την αλλαγή συντεταγμένων. Μια σφαίρα S² υπάρχει ανεξάρτητα από οποιονδήποτε αντιπροσωπευτικό χώρο 3D. Αλλά μπορούμε να την αναπαραστήσουμε στον οικείο μας ευκλείδειο χώρο 3D, στον οποίο υποτίθεται ότι ζούμε. Μπορούμε τότε να της αποδώσουμε ένα κέντρο και να συνδέσουμε όλα τα σημεία της με αυτό το κέντρο. Βλέπε σχήμα (116). Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε δύο γωνίες: q και j.
(116)
Ανοίξαμε μια τρύπα στη σφαίρα για να δείξουμε τα διανύσματα OM, όπου O είναι το κέντρο και M ένα σημείο της σφαίρας.
Τώρα, το σχήμα (117) διατηρεί τα διανύσματα και ξεχνά τη σφαίρα.
(117)
Αυτές οι ημιευθείες είναι άπειρες, αλλά τις αναπαραστήσαμε κομμένες σε ένα δεδομένο μήκος, που αντιστοιχεί στην ακτίνα R της σφαίρας μας. Κάθε ευθεία αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος ( q , j ). Η μετρική δομή έχει εξαφανιστεί. Καμία γεωδαισιακή, κανένα μήκος. Τι απομένει;
Κάθε ημιευθεία έχει γείτονες, που σχηματίζουν τη γειτονιά της. Κάθε ημιευθεία μπορεί να φανταστεί κανείς ότι είναι εγκλεισμένη σε μια διαδοχή κώνων (σχήμα (118)).
(118)
Γύρω από οποιαδήποτε ευθεία μπορούμε να τοποθετήσουμε όσους κώνους θέλουμε. Μεταξύ δύο από αυτούς τους κώνους μπορούμε πάντα να εισάγουμε έναν άλλο. Αυτό υποδηλώνει διαισθητικά την έννοια της διαφορισιμότητας. Σε ένα τέτοιο γεωμετρικό αντικείμενο δεν υπάρχει καμία ασυνέχεια.
Τώρα, ας ξεχάσουμε τη σφαίρα και ας πάρουμε μια επίπεδη επιφάνεια. Είναι ένα σύνολο σημείων. Όποιο σύστημα συντεταγμένων κι αν επιλέξω, μπορώ να ορίσω τα σημεία με τη βοήθεια δύο μεγεθών: (x,y), (r,q), κ.λπ.
Ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών. Αυτά τα ζεύγη επιλέγονται από το R², δηλαδή από το σύνολο των πραγματικών αριθμών, όπως (3,8705 , -17,56).
Κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών (x ; y) έχει άπειρους γείτονες (x + Dx ; y + Dy).
Αυτά τα «προ-μετρικά» αντικείμενα ονομάζονται από τους μαθηματικούς πολλαπλότητες.
Είναι αρκετά δύσκολο να σκεφτεί κανείς ένα τέτοιο «εύκαμπτο» μέσο. Στο σχήμα (119), έχουμε αναπαραστήσει μια επίπεδη άκαμπτη επιφάνεια, εφοδιασμένη με μετρικές ιδιότητες, και από κάτω, τη σκιά των σημείων της.
(119)
Μια σκιά δεν έχει δικό της σχήμα, ούτε έκταση. Εξαρτάται από την οθόνη και από την παραγωγή των φωτεινών ακτίνων. Στο σχήμα (120), υποδηλώνουμε τη σχετικότητα της σκιάς ως προς το αντικείμενο.
(120)
Αυτές οι «παράλληλες ευθείες» είναι παρόμοιες με εκείνες τις ακτίνες που εισαγάγαμε για να συνδέσουμε τα σημεία μιας σφαίρας με το κέντρο της. Εδώ, τα σημεία του επιπέδου «συνδέονται» με μια «πηγή» που βρίσκεται στο άπειρο.
Ας εγκαταλείψουμε αυτή την τελευταία ιδέα των ευθειών γραμμών. Ας θεωρήσουμε ένα μάτσο μαγειρεμένα σπαγγέτι (αν δεν είναι μαγειρεμένα, θα πρέπει να είναι άκαμπτα και εύθραυστα). Μπορούμε να τα λυγίσουμε. Αλλά επιβάλλουμε στα σπαγγέτι να παραμείνουν ενωμένα μεταξύ τους. Η γειτονιά τους δεν πρέπει να τροποποιηθεί.
(121)
Όλα αυτά είναι πολύ χονδρικά, το ξέρω, και όχι απολύτως αυστηρά. Απλώς προσπαθώ να υποδείξω στον αναγνώστη τι είναι μια πολλαπλότητα, ένα γεωμετρικό αντικείμενο χωρίς μετρική, του οποίου η κύρια ιδιότητα είναι ότι κάθε σημείο έχει γείτονες.
Μια πολλαπλότητα είναι ένα σύνολο σημείων m. Μπορώ να φανταστώ ότι αντιστοιχίζω σε κάθε σημείο μιας πολλαπλότητας ένα ζεύγος (M1, M2) σημείων που ανήκουν σε πραγματικές επιφάνειες, οι οποίες έχουν μετρικές ιδιότητες, μήκη, κ.λπ.
Ονομάζω την πολλαπλότητα n διαστάσεων πολλαπλότητα-σκελετό και τις συνδεδεμένες επιφάνειες n διαστάσεων απλώς πτυχές. Στη συνέχεια, κατασκευάζω το επικάλυμμα δύο πτυχών μιας πολλαπλότητας.
Στο σχήμα (122) βρίσκεται το επικάλυμμα δύο πτυχών μιας πολλαπλότητας m2 (δύο διαστάσεων).
(122)
Στο σχήμα (122), έχω αναπαραστήσει πανομοιότυπες και παράλληλες ευκλείδειες πτυχές, εφοδιασμένες με την ίδια μετρική. Αλλά μπορώ να κατασκευάσω το σχήμα (123):
Θα ονομάσουμε τα M και M* συζυγή σημεία. Η κατασκευή αυτών των δύο πτυχών από μια «πολλαπλότητα-σκελετό» έχει μια σαφή έννοια: σε κάθε σημείο M της πτυχής F, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα και μόνο ένα συζυγές σημείο M*. Υπάρχει μια απεικόνιση σημείο προς σημείο. Μπορούμε τότε να ξεχάσουμε την πολλαπλότητα-σκελετό.
Σε κάθε γειτονιά ενός σημείου της πτυχής F αντιστοιχεί η γειτονιά του συζυγούς σημείου του M*. Βλέπε σχήμα (124). Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε κανονική περιοχή της F αντιστοιχεί μια συζυγής κανονική περιοχή που ανήκει στην F*.
(124)
Αυτό δείχνει ιδίως ότι τα συζυγή σημεία M και M* περιγράφονται από το ίδιο σύνολο συντεταγμένων.