a123
| 24 |
|---|
Συζευγμένες καμπυλώσεις.
Πώς μπορούμε να κατανοήσουμε χώρες τριών διαστάσεων, που διαθέτουν θετική ή αρνητική τοπική καμπύλωση;
Ξεκινήστε με επιφάνειες δύο διαστάσεων. Θεωρήστε μια σφαίρα και固定 (fix) ένα καρφί σε ένα τυχαίο σημείο αυτής, όπως φαίνεται στο σχήμα (125). Προσδέστε ένα νήμα μήκους L, που συνδέει το καρφί με ένα μολύβι. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό για να σχεδιάσετε έναν κύκλο, έναν παράλληλο της σφαίρας. Ένας παράλληλος της σφαίρας είναι το σύνολο των σημείων που βρίσκονται στην ίδια απόσταση L από ένα δεδομένο σημείο S.
Μπορούμε να κάνουμε παρόμοιες λειτουργίες (σχήματα (125)):
- Σε ένα άλογο (σελίδα)
- Σε ένα επίπεδο.
(125)
Σε μια επίπεδη επιφάνεια, η περίμετρος είναι 2πL ενώ η επιφάνεια του δίσκου είναι πL².
Στη σφαίρα, η περίμετρος και η επιφάνεια του δίσκου είναι μικρότερες. Αντίθετα, στη σελίδα του αλόγου, είναι μεγαλύτερες.
Θεωρήστε μια σφαίρα και έναν παράλληλο που αντιστοιχεί στον ισημερινό της. Δείτε το σχήμα (126). Οι τιμές αντιστοιχούν στο σχήμα (126).
(126)
Η επιφάνεια του δίσκου είναι 3,875 φορές μεγαλύτερη από το αντίστοιχο (γκρι) τμήμα της σφαίρας. Η περίμετρος του είναι 1,57 φορές μεγαλύτερη από το μήκος του ισημερινού.
Παρόμοιες δοκιμές θα έδειχναν την αρνητική καμπύλωση της σελίδας του αλόγου. Αν σχεδιάσουμε μια κλειστή καμπύλη, σύνολο σημείων που βρίσκονται στην ίδια απόσταση L από ένα δεδομένο σημείο, σε μια σελίδα αλόγου, η επιφάνεια αυτού του δίσκου με αρνητική καμπύλωση είναι μεγαλύτερη από την επιφάνεια ενός επίπεδου δίσκου πL². Ομοίως, η περίμετρος του δίσκου με αρνητική καμπύλωση είναι μεγαλύτερη από αυτή του επίπεδου δίσκου: 2πL.
Η γεωμετρία είναι μια επιστήμη για τους τυφλούς. Οι γεωμέτρες προσπαθούν να σχεδιάσουν δοκιμές που οι κάτοικοι ενός δεδομένου χώρου θα μπορούσαν να εκτελέσουν προκειμένου να ανακαλύψουν μόνοι τους τις γεωμετρικές του ιδιότητες. Από τα προηγούμενα σχήματα, οι κάτοικοι μιας επιφάνειας δύο διαστάσεων, αδύναμοι να την δουν από ένα εξωτερικό σημείο (καθώς ζουν μέσα σε αυτήν), θα μπορούσαν να ανακαλύψουν, μέσω μετρήσεων επιφάνειας και μήκους, αν το τμήμα της επιφάνειας στο οποίο ζουν διαθέτει θετική τοπική καμπύλωση, αρνητική τοπική καμπύλωση ή μηδενική τοπική καμπύλωση (ευκλείδειος χώρος).
Σημειώστε ότι υπάρχουν επιφάνειες των οποίων η τοπική καμπύλωση μπορεί να είναι θετική, μηδενική ή αρνητική. Παράδειγμα: ένας τόρος.
(126ter)
Παρόμοιες μέθοδοι εφαρμόζονται σε χώρες τριών διαστάσεων. Επιλέξτε ένα σημείο O, οπουδήποτε. Πάρτε ένα νήμα, ένα «μολύβι», και χρησιμοποιήστε το για να σχεδιάσετε το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε δεδομένη απόσταση L από το θεωρούμενο σημείο. Λαμβάνετε μια σφαίρα και μπορείτε να μετρήσετε την επιφάνειά της. Αν αυτή η επιφάνεια έχει κατασκευαστεί σε έναν ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων, αυτή η επιφάνεια θα είναι: 4πL².
Αν αυτή η επιφάνεια βρεθεί μικρότερη, αυτό σημαίνει ότι αυτός ο χώρος τριών διαστάσεων δεν είναι ευκλείδειος. Πρόκειται για έναν χώρο τριών διαστάσεων του Riemann, με θετική καμπύλωση. Αν μετρήσουμε τον όγκο, θα διαπιστώσουμε ότι είναι μικρότερος από:
(127)
Η κατάσταση θα αντιστραφεί αν ασχοληθούμε με έναν χώρο τριών διαστάσεων με αρνητική καμπύλωση. Η επιφάνεια της σφαίρας, θεωρούμενη ως το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε δεδομένη απόσταση L από ένα σταθερό σημείο O, θα είναι μεγαλύτερη από 4πL². Ο όγκος μέσα σε αυτή την κλειστή επιφάνεια θα είναι μεγαλύτερος από (127).
Η κοσμολογία δεν βασίζεται σε απλούς χώρες τριών διαστάσεων, αλλά σε υπερ-επιφάνειες τεσσάρων διαστάσεων (με «υπερβολική» υπογραφή), οπότε αυτή η παρουσίαση είναι περιορισμένη. Πρέπει να θεωρηθεί ως ένα rudimentary (rudimentary) διδακτικό μοντέλο.
Η βαθμωτή καμπύλωση του Riemann ενός χώρου n διαστάσεων είναι κάπως διαφορετική.
Στο τρέχον κοσμολογικό μας μοντέλο, υποθέτουμε ότι η τοπική βαθμωτή καμπύλωση του Riemann, στα συζευγμένα σημεία (M, M), είναι αντίθετες:
*(127bis)
R* = - R
Ο ειδικός θα βρει περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, Μάρτιος 1998.
Στη συνέχεια, μια χρήσιμη διδακτική εικόνα σε 2 διαστάσεις, που αντιστοιχεί στο σχήμα 39.
(128)
Πάνω: ένας λειασμένος posicone. Μηδενική τοπική (γωνιακή) καμπύλωση στο τμήμα του posicone. Σταθερή πυκνότητα θετικής καμπύλωσης στο (γκρι) τμήμα μιας σφαίρας.
Κάτω: ένας «λειασμένος negacone». Μηδενική πυκνότητα τοπικής (γωνιακής) καμπύλωσης στο τμήμα του negacone που περιβάλλει τη σελίδα του αλόγου. Σταθερή πυκνότητα αρνητικής (γωνιακής) καμπύλωσης στο τμήμα της σελίδας του αλόγου, απέναντι από το τμήμα μιας σφαίρας.
Οι καμπυλώσεις είναι συζευγμένες. Αντίκτυπα, με αντιστοιχία σημείο-σημείο, τα τμήματα μηδενικής τοπικής καμπύλωσης του posicone και του negacone.
Αντίκτυπα, με αντιστοιχία σημείο-σημείο, μια επιφάνεια με σταθερή θετική καμπύλωση (ένα τμήμα σφαίρας) και μια επιφάνεια με αρνητική καμπύλωση (σελίδα αλόγου). Οι πυκνότητες καμπύλωσης είναι ίσες και αντίθετες. Τα κυκλικά όρια συνδέονται, σημείο-σημείο.
Αυτή είναι μια διδακτική εικόνα του κοσμολογικού μας μοντέλου. Για περισσότερες μαθηματικές λεπτομέρειες, δείτε:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, Μάρτιος 1998.
Original version (English)
a123
| 24 |
|---|
Conjugated curvatures.
How can we understand 3d spaces, with local positive or negative curvature ?
Start with 2d surfaces. Consider a sphere and fix a nail somewhere on it, as shown on figure (125). Fix a string, whose length is L, joining the nail and a pencil. We can use this to draw a circle, a *parallel *of the sphere. A parallel of a sphere is the set of the points which lie at the same distance L from a given point S.
We can do similar operations ( figures (125 ) :
-
On a horse saddle
-
On a plane.
(125)
On the plane surface the perimeter is 2 p L while the surface of the disk is p L2.
On the sphere the perimeter and the area of the disk are smaller. On the horse saddle, on the contrary, they are larger.
Consider a sphere and a parallel which identifies to its equator. See figure (126). The values correspond to figure (126)
(126)
The area of the disk is 3.875 times larger than the corresponding (grey) portion of the sphere. Its perimeter is 1.57 times longer that the equator's length
Similar tests would show the negative curvature of the horse saddle. If we draw a closed curve, set of points at the same distance L of a given point, on a horse saddle, the surface of this negative curvature disk is larger than the surface of a flat disk p L2. Similarly the perimeter of the negative curvature disk is larger than the one of the flat disk : 2 p L .
Geometry is a science for the blind. Geometers try to build tests that inabitants of a given space could operate in order to discover by themselve its geometric properties. From the precedent figures, the inhabitants of a two dimensional surface, unable to see this one from an external point of view (for the live in) could discover, through area and length measurement, if the portion of a surface they live in owns a positive local curvature, a negative local curvature, or a null local curvature (euclidean space).
Notice that there are surfaces whose local curvature can be positive, null or negative. Example : a torus.
(126ter)
Similar methods apply for 3d spaces. Choose a point O , somewhere. Take a string, a "pencil", and use it to draw the set of the points located at a given distance L from the considered point. You get a sphere and you can measure its area. If this surface has been built in an euclidean 3d space, this area will be : 4 p L2 .
If this area is found smaller, it means that this 3d space is not euclidean. It is a riemanian 3d space, with positive curvature. If we measure the volume we will find it smaller than :
(127)
The situation will be reversed if we deal with a negatively curved 3d space. The area of the sphere, considered as the set of point located at a given distance L of a fixed point O will be larger than 4 p L2 . The volume, inside that closed surface, will be larger than (127).
Cosmology is not founded on simple 3d spaces, but on 4d-hypersurfaces ( with "hyperbolic signature" ) so that such presentation is limited. We must consider it as a crude didactic model.
The Riemann, scalar curvature of a n-dimensional space is somewhat different.
In our present cosmologic model, we will assume that the local scalar riemann curvature, at conjugated points ( M , M ) are opposite :
*(127bis)
R* = - R
The specialist will find more details in the paper :
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A , 5 , march 1998.
Next, a useful 2d didactic image, which corresponds to figure 39.
(128)
Top : a smoothed posicone. Null local (angular) curvature in the portion of posicone. Constant positive (angular) curvature density in the (grey) portion of a sphere.
Below : a "smoothed negacone". Null local (angular) curvature density in the portion of negacone surrounding the horse saddle. Constant negative (angular) curvature density in the portion of the horse saddle, facing the portion of a sphere.
The curvatures are conjugated. Face to face, with point to point correspondence, null local curvature portions of posicone and negacone.
Face to face, with point to point correspondence, a constant positive curvature surface (a portion of a sphere) and a negative curvature surface (horse saddle). The curvature densities are equal end opposite. The circular borders are linked, point to point.
This is a didactic image of our cosmologic model. For more mathematical details, see :
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4 , march 1998.