a126
| 27 |
|---|
Συμπέρασμα του πρώτου μέρους αφιερωμένου στη γεωμετρία.
Λέξεις για τη Γεωμετρική Φυσική Β και τη θεωρία των ομάδων.
( Τα στοιχεία θεωρίας ομάδων, εφαρμοσμένα στη φυσική, δίνονται στην αρχή του υπο-ιστότοπου Γεωμετρική Φυσική Β, «Δυναμικές Ομάδες στη Φυσική». )
Εισάγαμε νέες γεωμετρικές έννοιες.
-
Δίδυμες γεωμετρίες, εμπνευσμένες αρχικά από την ιδέα του Αντρέι Σαχάρωφ: δεν υπάρχει μόνο ένα σύμπαν, αλλά δύο, τα οποία ο Α. Σαχάρωφ ονόμασε, το 1967, «δίδυμα σύμπαντα».
-
Αυτά τα δύο σύμπαντα δεν ζουν σε μακρινά τόπους, αλλά βρίσκονται «στο ίδιο σημείο». Δώσαμε την (διδακτική) εικόνα του παιχνιδιού με δύο πλευρές, η μία παίζεται στα μαύρα τετράγωνα και η άλλη στα λευκά.
-
Πρόκειται για μια διδακτική εικόνα μιας πιο εξεζητημένης γεωμετρικής δομής, στην οποία το σύμπαν, στο σύνολό του, αποτελείται από δύο διακριτά (αλλά αλληλεπιδρώντα) πτυχώματα. Αυτά τα πτυχώματα είναι υπερεπιφάνειες διάστασης 4, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως «το διπλό κάλυμμα ενός σκελετού-πολυπλοκότητας».
-
Όπως στη γενική σχετικότητα, υποθέτουμε ότι τα σωματίδια ακολουθούν γεωδαιτικές κάθε υπερεπιφάνειας. Μία από αυτές τις υπερεπιφάνειες υποτίθεται ότι είναι ο χώρος-χρόνος μας. Η άλλη υποτίθεται ότι είναι δίδυμος χώρος-χρόνος.
Α priori, τρεις τύποι σωματιδίων υποτίθεται ότι κινούνται κατά μήκος των γεωδαιτικών κάθε πτυχώματος, οι οποίοι είναι, σχηματικά:
-
ύλη
-
αντιύλη.
-
φωτόνια.
Έτσι, στο δεύτερο πτύχωμα, το δεύτερο σύμπαν, που μπορούμε να ονομάσουμε πτύχωμα-φάντασμα ή σύμπαν-φάντασμα, θα βρίσκαμε:
-
ύλη-φάντασμα
-
αντιύλη-φάντασμα
-
φωτόνια-φάντασμα.
( Όλα αυτά εξηγούνται λεπτομερώς στο «Γεωμετρική Φυσική Β: Δυναμικές Ομάδες στη Φυσική». )
-
Τα δύο πτυχώματα είναι διακριτά και οι γεωδαιτικές τους γραμμές είναι επίσης διακριτές. Έτσι, ένα φωτόνιο που κινείται σε μια γεωδαιτική του πτυχώματος F μας δεν μπορεί να «πηδήσει» και να ακολουθήσει μια «γεωδαιτική-φάντασμα», που ανήκει στο σύμπαν-φάντασμα, στο πτύχωμα-φάντασμα F*. Ως συμπέρασμα, το φως που εκπέμπεται από την ύλη (ή την αντιύλη) στο πτύχωμα μας δεν μπορεί να φτάσει στο άλλο σύμπαν και να ληφθεί από ένα σωματίδιο-φάντασμα. Αν υπήρχαν ζωντανά πλάσματα στο πτύχωμα F*, δεν θα μπορούσαν να δουν τα αστέρια μας, τους γαλαξίες μας, τίποτα που βρίσκεται στο πτύχωμα μας, με καθαρά γεωμετρικά κριτήρια.
-
Αντιστρόφως, ένα φωτόνιο-φάντασμα, εκπέμπεται από ένα σωματίδιο ύλης-φάντασμα (ή αντιύλης-φάντασμα) στο πτύχωμα-φάντασμα F* (ή σύμπαν-φάντασμα), κινείται κατά μήκος μιας γεωδαιτικής αυτού του πτυχώματος και δεν μπορεί να πηδήξει στο άλλο πτύχωμα, το δικό μας. Επομένως, δεν μπορεί να ληφθεί, να συλληφθεί από ένα μαζικό σωματίδιο που βρίσκεται στο σύμπαν μας. Ως συμπέρασμα, οι δομές του δίδυμου σύμπαντος, ή σύμπαντος-σκιάς, ή σύμπαντος-φάντασμα, όποιο όνομα και να επιλέξουμε, είναι θεμελιωδώς αόρατες για εμάς. Αν υπάρχουν δομές οποιουδήποτε είδους σε αυτό το δεύτερο σύμπαν, δεν μπορούμε να τις παρατηρήσουμε, με οπτικά μέσα, για τον ίδιο λόγο: με καθαρά γεωμετρικά κριτήρια.
-
Αυτή η ιδέα είναι κοντά στην ιδέα που προτείνει η θεωρία των υπερχορδών. Πολλοί ερευνητές της κοινότητας των υπερχορδών είναι πλέον πεπεισμένοι ότι υπάρχουν δύο κόσμοι, οι οποίοι επικοινωνούν μόνο μέσω του βαρυτικού πεδίου.
Witten (βραβευμένος με το μετάλλιο Fields), Duff, Green Schwarz, ο Νομπελίστας Abdus Salam...
δείτε ένα πρόσφατο άρθρο του Michael Duff, στο Scientific American, με τίτλο «η νέα θεωρία των υπερχορδών», μεταφρασμένο στα γαλλικά (Pour la Science, Απρίλιος 1998).
Ο Duff φαντάζεται την ύλη «σε έναν τοίχο» και μια αόρατη ύλη «σε έναν άλλο τοίχο, παράλληλο με τον πρώτο».
Η ιδέα δύο σύμπαντων, δύο οντοτήτων, ανίκανων να δουν η μία την άλλη και επικοινωνούν μόνο μέσω της βαρυτικής δύναμης, οφείλεται αρχικά στους Green, Schwarz και στον Νομπελίστα Abdus Salam.
Η γενική ιδέα είναι να επεκταθεί ο αριθμός των διαστάσεων. Στην κλασική φυσική, αυτός ο αριθμός είναι τέσσερις: (x, y, z, t), που αντιστοιχεί στον χώρο-χρόνο. Η σύγχρονη θεωρητική φυσική τείνει να επεκτείνει αυτόν τον αριθμό, γενικά σε δέκα.
Όλα βασίζονται τότε στις θεωρίες των ομάδων και στις συμμετρίες. Μια συμμετρία δεν είναι μόνο οι familiar συμμετρίες του χώρου 2D ή 3D, όπως:
-
Συμμετρία ως προς ένα σημείο.
-
Συμμετρία ως προς ένα επίπεδο.
-
Συμμετρία ως προς μια ευθεία.
-
ή συμμετρία περιστροφής (περιodicά αντικείμενα, κρύσταλλοι).
Ένα αντικείμενο που παραμένει αμετάβλητο μέσω μιας μετάθεσης κατέχει αυτόν τον «τύπο συμμετρίας».
Υπάρχουν επίσης, για παράδειγμα, συμμετρίες ως προς τον χρόνο. Θεωρήστε την κίνηση ενός δοκιμαστικού σωματιδίου που βρίσκεται σε απόσταση r από ένα σημειακό μάζα M.
Το G όντας η σταθερά της βαρύτητας, η κίνηση υπακούει, στη νευτώνεια δυναμική, στην ακόλουθη διαφορική εξίσωση:
(142)
η οποία κατέχει μια particular λύση:
(143)
αυτή η τελευταία όντας αντιστρέψιμη στον χρόνο. Παίρνουμε μια συμμετρία ως προς τον χρόνο, μια συμμετρία T.
Τα σωματίδια κατέχουν ένα σύνολο particular συμμετριών. Αυτό σχηματίζει ένα σύνολο ισχυρών περιορισμών, αν θέλουμε να κατασκευάσουμε την ομάδα που κυβερνά τα «πράγματα».
Τη στιγμή, οι ερευνητές της θεωρίας των υπερχορδών αντιμετωπίζουν ένα τοίχο. Το εργαλειοθήκη τους προσφέρει πάρα πολλές δυνατότητες, έτσι ώστε δεν μιλούν πλέον για θεωρία, αλλά για θεωρίες. Πολλοί λένε: «μεταξύ των εκατομμυρίων δυνατών θεωριών...»
Με τον συνάδελφο μου Pierre Midy, προσεγγίσαμε το πρόβλημα από μια διαφορετική γωνία, χρησιμοποιώντας ένα εργαλείο που ονομάζεται «η συζυγής δράση μιας ομάδας στον χώρο των momenta της». Δείτε το βιβλίο του Jean-Marie Souriau:
"Structure of Dynamical Systems", Birkhauser Ed. 1997".
(Δείτε επίσης Γεωμετρική Φυσική Β, Δυναμικές Ομάδες στη Φυσική ) . ** Με αυτό το εργαλείο, ήταν δυνατόν να γεωμετριοποιηθούν στοιχειώδη σωματίδια όπως το πρωτόνιο, το νετρόνιο, το ηλεκτρόνιο, το φωτόνιο, τα νετρίνα, και τα αντισωματίδια τους. Αλλά δεν ασχολούμε με βαθύτερες δομές (κουάρκ). Δείτε το άρθρο μας:
J.P. Petit και P. Midy: Γεωμετροποίηση της ύλης και της αντιύλης μέσω της συζυγούς δράσης μιας ομάδας στον χώρο των momenta της. 1: Φορτία ως πρόσθετες βαθμωτές συνιστώσες του momenta μιας ομάδας που δρα σε έναν χώρο 10 διαστάσεων. Γεωμετρικός ορισμός της αντιύλης. Γεωμετρική Φυσική Β, 1, 1998.
Αυτό το άρθρο περιέχει έναν γεωμετρικό ορισμό της αντιύλης.
Σύντομα, πέρα από τον κλασικό χώρο-χρόνο: { x, y, z, t }, προσθέτουμε έξι επιπλέον διαστάσεις, πρόσθετες διαστάσεις:
{ z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆ }
Μπορούμε να συνδέσουμε αυτές τις βαθμωτές ποσότητες με ένα διάνυσμα z. Ομοίως, μπορούμε να ορίσουμε το διάνυσμα χώρου-χρόνου:
(144)
Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ένα σωματίδιο «ζει» σε έναν χώρο δέκα διαστάσεων:
(145)
(146)
Ή, απλά: z → - z
που σημαίνει:
z₁ → - z₁
z₂ → - z₂
z₃ → - z₃
z₄ → - z₄
z₅ → - z₅
z₆ → - z₆
Όλες οι πρόσθετες διαστάσεις αντιστρέφονται.
Η εισαγωγή πρόσθετων διαστάσεων τροποποιεί την Δυναμική Ομάδα. Δείτε το βιβλίο του Souriau, έκδοση Birkhauser 1997.
Στη μη κβαντική σχετικιστική φυσική, η δυναμική ομάδα είναι η ομάδα του Poincaré. Επεκτείνεται στον κβαντικό κόσμο, εισάγοντας μια πέμπτη διάσταση z (Souriau, 1964). Επιπλέον, η μέθοδος Kostant-Kirilov-Souriau επιτρέπει την κατασκευή της εξίσωσης Klein-Gordon από την «κεντρική επέκταση της ομάδας του Poincaré», τη νέα δυναμική ομάδα.
Ασχολούμε με μια γενικευμένη και επεκταμένη ομάδα του Poincaré («ομάδα του Petit»), η συζυγής δράση της στον χώρο των momenta της δίνει τους έξι κλασικούς κβαντικούς αριθμούς:
q : ηλεκτρικό φορτίο
cB : βαρυονικός αριθμός
cL : λεπτονικός αριθμός
cm : μουονικός αριθμός
ct : ταυονικός αριθμός
v : γυρομαγνητική σταθερά.
Ένα σωματίδιο ορίζεται τότε από το σύνολο:
{ q, cB, cL, cm, ct, v, E, px, py, pz, s }
E είναι η ενέργεια του
{ px, py, pz } είναι το διάνυσμα ορμής του
s είναι το spin του.
Για παράδειγμα, ένα ηλεκτρόνιο αντιστοιχεί σε:
q : ηλεκτρικό φορτίο = -1
cB : βαρυονικός αριθμός = 0
cL : λεπτονικός αριθμός = 1
cm : μουονικός αριθμός = 0
ct : ταυονικός αριθμός = 0
v : γυρομαγνητική σταθερά = ve
s = 1/2
και ένα αντιπρωτόνιο σε:
q : ηλεκτρικό φορτίο = -1
cB : βαρυονικός αριθμός = -1
cL : λεπτονικός αριθμός = 1
cm : μουονικός αριθμός = 0
ct : ταυονικός αριθμός = 0
v : γυρομαγνητική σταθερά = -ve
s = 1/2
ένα φωτόνιο σε:
q : ηλεκτρικό φορτίο = 0
cB : βαρυονικός αριθμός = 0
cL : λεπτονικός αριθμός = 0
cm : μουονικός αριθμός = 0
ct : ταυονικός αριθμός = 0
v : γυρομαγνητική σταθερά = 0
s = 1
Στη θεωρία του Dirac για την αντιύλη, όλα τα φορτία αντιστρέφονται (συμπεριλαμβανομένου του ηλεκτρικού φορτίου).
Επειδή όλα τα φορτία του φωτονίου είναι μηδενικά, αυτό εξηγεί γιατί το φωτόνιο είναι το ίδιο αντισωματίδιό του, επειδή:
- 0 = + 0
Αυτή η μέθοδος δίνει τότε μια πρώτη γεωμετροποίηση των στοιχειωδών σωματιδίων (συνηθισμένων). Η περιγραφή περιορίζεται στις συνιστώσες των πυρήνων.
Original version (English)
a126
| 27 |
|---|
Conclusion of this first part devoted to geometry.
A word about Geometrical Physics B and group theory.
( Elements of group theory, applied to physics, are given at the begining of the sub-site Goemetrical Physics B , "Dynamic Groups of Physics" ) .****
We have introduced new geometric concepts.
-
Twin geometries, inspired intially by Andréi Sakharov's idea : There is not only a single universe, but two, which A. Sakharov called, in 1967 "twin universes".
-
These two universes don't live in distant places, but lie "at the same place". We gave the (primitive) didactic image of checkers, with two games, one being played on black squares and the other on white ones.
-
This is a didactic image of a more refined geometric structure, in which the universe, as a whole, is composed by two distinct (but interacting) folds. These folds are 4d hypersurfaces, which can be considered as "the two-folds cover of a skeleton-manifold".
-
As in general relativity, we assume that particles follow geodesic of each hypersurface. One of these is supposed to be our space-time. The other is supposed to be twin space-time.
A priori three kinds of particles are supposed to cruise along geodesics in each fold, which are, schematically :
-
matter
-
anti-matter.
-
photons.
So that, in the second fold, the second universe, that we can call ghost fold, or ghost universe, we would find :
-
ghost matter
-
ghost anti-matter
-
ghost photons.
( all that is explained in details in " Geometrical Physics B : Dynamic Groups ins Physics" ).
-The two folds are distinct and their geodesic lines are distinct too. So that a photon, travelling on a geodesic of our fold F, cannot jump and follow a "ghost geodesic", which belongs to the ghost universe, the ghost fold F*. As a conclusion, light emetted by matter (or anti-matter) in our fold, cannot reach the other universe and be received by some ghost particle. If some living creatures exist in the fold F*, they cannot see our stars, our galaxies, anything that lies in our fold, on pure geometrical grounds.
-
Conversely, a ghost photon, emitted by a particle of ghost matter (or ghost anti-matter) in the ghost fold F* ( or ghost universe ), travels on a geodesics of this fold and cannot jump to the other fold, ours. So that it cannot be received, captured by any massive particle located in our universe. As a conclusion, the structures of the twin universe, or shadow universe, or ghost universe, whatever the name we choose, are basically invisible to us. If there are structures of any kind in this second universe, we cannot observe it, by optical means, for the same reason : on pure geometrical grounds.
-
This idea is close to the superstring advanced idea. Many researchers, from the superstring community, are now conviced that two worlds exist, which communicate only through gravitational field.
Witten ( Field medal winner ), Duff, Green Schwarz, the Nobel Price winner Abdus Salam.....
see a recent paper of Michael Duff, in Scientific American, entitled "the new superstring theory", translated in french (Pour la Science Journal, april 1998 ).
Duff imagines matter "on a wall" and some invisible matter "on another wall, parallel to the first.
The idea of two universe, two entities, unable to see each other and communicating only through gravitational force, was initially due to Green, Swharz and the Nobel Price winner Abdus Salam.
The general idea is to extend the number of dimensions. In classical physics, this number is four : (x , y , z , t), corresponding to space-time. Modern theoretical physics tends to extend that number, in general to ten.
Then all is based on group theories and *symmetries *. A symmetry is not only the familiar symmetries of the 2d or 3d space, like
-
Symmetry with respect to a point.
-
Symmetry with respect to a plane
-
Symmetry with respect to a straight line.
-
or rotational symmetry ( periodic objects, crystals ).
An object which remains unchanged through a translation owns this "kind of symmetry".
There are also, for example, symmetries with respect to time. Consider the movement of a test particle, located at a distance r from a mass-point M.
G being the constant of gravity, the movement obeys, in newtonian dynamics, the following differential equation :
(142)
which owns a peculiar solution :
(143)
this last being *time-reversible **. ***We get a symmetry with respect to time, a T-symmetry.
Particles own a set of peculiar symmetries. This forms a set of strong constraints, if one wants to build the group which runs the "things".
At the present time the superstring men are facing a wall. Their tool box offers too many possibilities, so that they don't talk about theory, but about theories. Many uses to say : "among the million of possible theories..."
With my collegue Pierre Midy we have approached the problem on a different angle, using a tool called "the coadjoint action of a group on its momentum space". See the book of Jean-Marie Souriau :
"Structure of Dynamical Systems",Birkhauser Ed. 1997".
(See also Geometrical Physics B, Dynamic groups ins Physics ) . ** With such tool it has been possible to geometrize elementary particles such as proton, neutron, electron, photon, neutrinos, and their antis. But we do not deal with deeper structure ( quarks). See our paper :
J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of anti-matter. Geometrical Physics B, 1, 1998.
This paper contains a geometrical definition of anti-matter .
Briefly, to classical space-time : { x , y , z , t } we add six more dimensions, additional dimensions :
{ z 1, z 2,z 3,z 4,z 5,z 6 }
We can link these scalar to a vector **z . **Similarly we can define the space-time vector :
(144)
We can consider that a particle "live" in a ten dimensional space :
(145)
(146)
Or, simply : z ---> - z
which means :
z 1 -----> - z 1 z 2 -----> - z 2 z 3 -----> - z 3 z 4 -----> - z 4 z 5 -----> - z 5 z 6 -----> - z 6
All the additional dimensions are reversed.
The introduction of additional dimensions modifies the Dynamic Group . See the book of Souriau, Birkhauser Ed. 1997.
In non quantum relativistic physics the dynamic group is the Poincaré's group. One extends to the quantum world, introducing a fifth dimension z (Souriau, 1964). Furthermore the Kostant-Kirilov-Souriau method makes it possible to build the Klein-Gordon equation from the "Central extension of the Poincaré group", the new dynamic group.
We deal with a generalized extended Poincaré's group ("Petit's group"), whose coadjoint action on its momentum gives the six classical quantum numbers :
q : electric charge cB : baryonic number cL : leptonic number cm : muonic number ct : tauonic number v : gyromagnetic constant.
Then a particle is defined by the set :
{ q , cB , cL , cm , ct , v , E , px , py, pz, s }
E is its energy
{ px , py, pz} is its impulsion vector
s is its spin.
For example, an electron corresponds to :
q : electric charge = - 1 cB : baryonic number = 0 cL : leptonic number = 1 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = ve s = 1/2
and anti proton to : q : electric charge = - 1 cB : baryonic number = -1 cL : leptonic number = 1 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = - ve s = 1/2
a photon to :
q : electric charge = 0 cB : baryonic number = 0 cL : leptonic number = 0 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = 0 s = 1
In Dirac's anti-matter all the charges are reversed ( including the electric charge ).
As all the charges of photons are zero it explains why the photons is its own antiparticle, because :
- 0 = + 0
Then this method gives a first geometrization of (usual) elementary particles. The description is limited to the components of the nuclei.