| 2 |
Γεωδαιτικές.
...Στη συνέχεια, ασχολούμαστε με επιφάνειες δύο διαστάσεων. Παρεμπιπτόντως, γιατί μια επιφάνεια είναι ένα αντικείμενο δύο διαστάσεων; Επειδή χρειάζεστε δύο παραμέτρους για να εντοπίσετε ένα σημείο πάνω σε αυτήν. Παράδειγμα: γεωγραφικό μήκος και γεωγραφικό πλάτος στη Γη.
...Είναι πράγματα που θα κατανοήσετε καλύτερα με τα χέρια σας παρά με το μυαλό σας. Προσπαθήστε να βρείτε κάποια πράγματα πριν αρχίσετε να διαβάζετε αυτό το κείμενο. Χρειάζεστε:
- Χαρτί, τόσο σκληρό όσο και ευέλικτο.
- Χρωματιστή κολλητική ταινία.
- Ψαλίδι
...Με αυτήν την χρωματιστή κολλητική ταινία μπορείτε να φτιάξετε λωρίδες σταθερού πλάτους.
(6)
...Πάρτε οποιαδήποτε επιφάνεια, για παράδειγμα το αμάξωμα του αυτοκινήτου σας. Μπορείτε να κολλήσετε τη λωρίδα της κολλητικής ταινίας πάνω σε αυτήν, προσέχοντας να αποφύγετε τις ζάρες. Τότε θα έχετε τις γεωδαιτικές αυτής της επιφάνειας. Είναι μια άπειρη ποσότητα τους στο αμάξωμα του αυτοκινήτου σας.
Μπορείτε να το κάνετε σε ένα επίπεδο πλακίδιο. Τότε θα έχετε τις «ευθείες γραμμές του επιπέδου σας».
Οι «ευθείες γραμμές» είναι απλώς peculiar γεωδαιτικές, αυτές στο επίπεδο.
(7)
Με τρεις γεωδαιτικές φτιάχνετε ένα τρίγωνο σε αυτήν την «ευκλείδεια επιφάνεια». Τότε το άθροισμα των τριών γωνιών είναι 180°.
Ποσικόνες.
...Τώρα, ας φτιάξουμε μια «ποσικόνε»,某种 είδος «θετικού κώνου». Απλά πάρτε ένα κομμάτι χαρτί, μια επίπεδη επιφάνεια, και κόψτε ένα τομέα με το ψαλίδι σας. Τότε ενώστε τις γραμμές SA και SB, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.
(8)
...Τώρα, με την κολλητική ταινία μας, σχεδιάζουμε τρεις γεωδαιτικές γραμμές σε αυτήν την επιφάνεια, όπως φαίνεται στο σχήμα (9). Μπορούμε να μετρήσουμε το άθροισμα των τριών γωνιών και βρίσκουμε δύο περιπτώσεις:
Αν το τρίγωνο δεν περιέχει την κορυφή S αυτής της ποσικόνε, το άθροισμα είναι ακόμα 180°.
Αν την περιέχει, όποια και να είναι η διάταξη γύρω από αυτήν, μικρό ή μεγάλο, το άθροισμα είναι: 180° + q.
(9)
Για να κατανοήσετε, μπορείτε να κόψετε την ποσικόνε σας και να την ανοίξετε επίπεδα. Τότε η γωνία q εμφανίζεται καθαρά.
(10)
...Μπορείτε εύκολα να ελέγξετε ότι οι δύο ευθείες γραμμές AH και, συνεπώς, μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε ότι οι ευθείες γραμμές SH και SH' σχηματίζουν γωνία ίση με q.
...Ένας κώνος είναι μια επιφάνεια που μπορεί να ανοιχτεί επίπεδα, αφού κόψετε κατά μήκος μιας γραμμής που περιέχει την κορυφή. Στα γαλλικά λέμε ότι είναι μια «développable» επιφάνεια, αλλά δεν βρίσκω την αγγλική λέξη στο λεξικό μου. Το ίδιο ισχύει για έναν κύλινδρο.
(11)
...Μπορείτε να σχεδιάσετε γεωδαιτικές γραμμές σε έναν κύλινδρο, με τη λωρίδα της κολλητικής ταινίας σας. Αλλά, αφού κάνετε την κοπή σας και ανοίξετε τον κύλινδρο επίπεδα, οι γεωδαιτικές γραμμές σας γίνονται... ευθείες γραμμές.
Μπορείτε επίσης να τυλίξετε τέτοιες επιφάνειες (κώνος, κύλινδρο) σε ένα επίπεδο. Επόμενο σχήμα.
(12)
...Μπορείτε να σχεδιάσετε μια γεωδαιτική σε έναν κώνο ή σε έναν κύλινδρο με μελάνι, και μετά να την τυλίξετε σε ένα επίπεδο, χρησιμοποιώντας την ως μήτρα εκτύπωσης. Τότε, στο επίπεδο σας, θα εκτυπώσετε ευθείες γραμμές.
...Αντιστρόφως, αν σχεδιάσετε ευθείες γραμμές στο επίπεδο σας και τυλίξετε τον κώνο ή τον κύλινδρο πάνω σε αυτό, πριν στεγνώσει το μελάνι, θα εκτυπώσετε γεωδαιτικές σε αυτό.
