(θετική) Καμπυλότητα.
Όταν σχεδιάζουμε ένα τρίγωνο, χρησιμοποιώντας την κολλητική μας ταινία, πάνω σε ένα επίπεδο,
το άθροισμα της τιμής των γωνιών είναι 180°. Αυτή είναι μια ευκλείδεια επιφάνεια. Θα
πούμε ότι δεν περιέχει καμπυλότητα. Είναι πραγματικά μια επίπεδη επιφάνεια. Το άθροισμα
των γωνιών του τριγώνου μας είναι το ευκλείδειο άθροισμα. Όταν σχεδιάσαμε το τρίγωνο
πάνω στον κώνο μας, τον «ποζικόνο» μας, και όταν η κορυφή S ήταν έξω από αυτό, το άθροισμα
ήταν ακόμα 180°. Αντίθετα, όταν η κορυφή ήταν μέσα, το άθροισμα ήταν 180°
συν η γωνία q (η
τομή που καταφέραμε να φτιάξουμε τον ποζικόνο μας, βλέπε σχήμα (8)).
Αυτή η κορυφή είναι ένα ιδιαίτερο σημείο της επιφάνειας, ένα κωνικό και θα πούμε ότι περιέχει κάποια (θετική) συγκεντρωμένη καμπυλότητα.
Είναι ένα σημείο συγκεντρωμένης (θετικής) καμπυλότητας.
Τώρα μπορούμε να διαχειριστούμε δύο τομές, που αντιστοιχούν σε γωνίες q1
και q2 . Βλέπε
σχήμα (13). Τότε παίρνουμε κάποια παράξενη επιφάνεια με δύο κωνικά σημεία S1
και S2. Βλέπε σχήμα (14).
(13)
(14)
Τώρα μπορείτε να σχεδιάσετε όσα γεωδαιτικά τρίγωνα θέλετε,
που αντιστοιχούν σε διαφορετικές περιπτώσεις.
-
Αν δεν περιέχουν κωνική κορυφή, το άθροισμα των γωνιών
είναι 180°. -
Αν περιέχουν την κορυφή S1 , το άθροισμα είναι
180° συν q1. -
Αν περιέχουν τις δύο κορυφές, q1
και q2, το
άθροισμα είναι 180° + q1+
q2
(15)
Φανταστείτε τώρα ότι μπορείτε να φτιάξετε έναν μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών ποζικόνων
και να τα κολλήσετε μαζί, όπως φαίνεται στο σχήμα (16). Κάθε μικροσκοπικό ποζικόνο αντιστοιχεί
σε μια στοιχειώδη γωνία Dq
. Μπορείτε να τακτοποιήσετε αυτούς τους μίνι-κώνους με κανονικό τρόπο. Εννοώ : η απόσταση
μεταξύ μιας κορυφής και των κορυφών των μίνι κώνων των γειτόνων θα ήταν σχεδόν
σταθερή παντού.
(16)
Αν ο μίνι-κώνος σας γίνεται όλο και μικρότερος, όπως και
η σχετική στοιχειώδης γωνία Dq
, θα φτιάξετε ένα τμήμα κανονικής επιφάνειας με σταθερή πυκνότητα καμπυλότητας.
Μια σφαίρα είναι μια επιφάνεια με σταθερή τοπική πυκνότητα καμπυλότητας.
Με πιο απλό τρόπο, λέμε ότι η σφαίρα είναι μια επιφάνεια σταθερής καμπυλότητας.
Αν τακτοποιήσετε τους μίνι-κώνους σας διαφορετικά, μπορείτε να φτιάξετε
μια επιφάνεια μεταβλητής τοπικής πυκνότητας καμπυλότητας . Για παράδειγμα ένα αυγό.
Το αυγό μιας κότας είναι μια επιφάνεια μεταβλητής τοπικής πυκνότητας καμπυλότητας. Αλλά μια μπάλα
πινγκ-πονγκ είναι μια επιφάνεια σταθερής πυκνότητας καμπυλότητας. Γι' αυτό η κότα αναγνωρίζει
το αυγό της και το ξεχωρίζει από την μπάλα πινγκ-πονγκ. Σχεδιάζει γεωδαισιακές
με κολλητική ταινία, και ούτω καθεξής...
Στην πραγματικότητα, η κότα δεν σχεδιάζει φυσικά γεωδαισιακές
πάνω στο αντικείμενο. Το κάνει νοητικά .
(17)
Στη γενική σχετικότητα ταυτίζουμε την πυκνότητα μάζας r
με την τοπική καμπυλότητα.
Φυσικά το πεδίο δράσης της γενικής σχετικότητας δεν είναι μια 2δ
επιφάνεια. Μπορείτε να φανταστείτε μια 3δ υπερεπιφάνεια. Μπορείτε να φανταστείτε μια 3δ
υπερσφαίρα. Αλλά ποιος μπορεί να φανταστεί μια 4δ υπερεπιφάνεια ;
Παρεμπιπτόντως, η 4δ καμπυλότητα της 4δ υπερεπιφάνειας που ονομάζεται
«σύμπαν» έχει ειδικά χαρακτηριστικά που δεν πρόκειται να εξερευνήσουμε εδώ. Αυτό δείχνει
ότι τα διδακτικά μοντέλα είναι περιορισμένα. Αλλά είναι καλά για να διεγείρουν τη φαντασία
και να ανοίξουν το μυαλό προς κάπως διαφορετικούς κόσμους.
