| 4 |
Διδακτική εικόνα ενός ουράνιου σώματος (αστέρι,
πλανήτης, πυκνό αυγό)
Ένα αστέρι όπως ο Ήλιος είναι μια συγκέντρωση μάζας.
Γύρω: το κενό, ή ένα τμήμα του χώρου που είναι «σχεδόν άδειο», διότι περιέχει
πολύ αραιωμένο αέριο και φωτόνια. Σε 2D, η αντίστοιχη διδακτική εικόνα είναι
ένας blunt (θετικός) κώνος:
(18)
Μπορείτε να την κατασκευάσετε με δύο στοιχεία. Ένα τμήμα σφαίρας
και ένα τμήμα (θετικού) κώνου, κολλημένα μεταξύ τους. Το τμήμα της σφαίρας είναι
μια επιφάνεια σταθερής πυκνότητας καμπυλότητας. Το τμήμα του κώνου είναι μια επίπεδη επιφάνεια,
μια επιφάνεια μηδενικής τοπικής πυκνότητας καμπυλότητας. Αυτό το τελευταίο παράδειγμα είναι μια
ευκλείδεια επιφάνεια. Το τμήμα της σφαίρας είναι μια μη-ευκλείδεια επιφάνεια (μια ριμανική
επιφάνεια).
Αυτή είναι η 2D διδακτική εικόνα ενός αντικειμένου σταθερής πυκνότητας r,
περιβλημένου από κενό.
Πώς να συνδέσουμε τα δύο στοιχεία, ώστε να εξασφαλίσουμε
τη συνέχεια του εφαπτομενικού επιπέδου; Είναι απλό. Το τμήμα του κώνου σας
προέρχεται από έναν κώνο του οποίου η τομή αντιστοιχούσε σε γωνία q
. Το τμήμα της σφαίρας σας υποτίθεται ότι κατασκευάζεται με στοιχειώδεις μίνι-θετικούς κώνους,
ώστε να περιέχει μια ορισμένη «ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας» q.
Αν οι δύο γωνίες είναι ίσες, το εφαπτομενικό επίπεδο θα είναι συνεχές.
Αλλά πώς να μετρήσουμε την ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται σε
ένα δεδομένο τμήμα σφαίρας;
Συνολική καμπυλότητα.
Μπορούμε να κατασκευάσουμε μια επιφάνεια, ενώνοντας στοιχειώδεις θετικούς κώνους.
Μπορούμε να την διαμορφώσουμε ώστε να λάβουμε μια επιφάνεια σταθερής πυκνότητας καμπυλότητας. Τότε γνωρίζουμε
ότι η επιφάνεια είναι ένα τμήμα σφαίρας. Αν προσθέσουμε όλο και περισσότερους στοιχειώδεις
(θετικούς) κώνους, αυτή η σφαίρα θα είναι πλήρης. Περιέχει μια ορισμένη ποσότητα
γωνιακής καμπυλότητας. Όλες οι σφαίρες περιέχουν την ίδια. Η συνολική γωνιακή καμπυλότητα
ενός μπαλονιού του ping-pong και η συνολική γωνιακή καμπυλότητα της Γης είναι ίσες,
αν και έχουν πολύ διαφορετικό βάρος.
Παρεμπιπτόντως, η συνολική καμπυλότητα ενός αυγού είναι η ίδια,
διότι έχουν την ίδια τοπολογία. Καταρχήν, οι κότες κάνουν αυγά με σφαιρική
τοπολογία. Προσωπικά δεν έχω δει ποτέ αυγό με τοροειδή τοπολογία. Θα
αντιστοιχούσε σε κάποιο παράξενο φίδι, χωρίς κεφάλι, ούτε ουρά, ή κάτι
παρόμοιο.
Ας επιστρέψουμε στα μπαλόνια του ping-pong, τις κανονικές σφαίρες. Αν αυτή
η επιφάνεια έχει σταθερή τοπική γωνιακή πυκνότητα, αυτό σημαίνει ότι η ποσότητα γωνιακής
καμπυλότητας (το άθροισμα των στοιχειώδων γωνιών Dq)
θα είναι ανάλογη με το εμβαδόν. Δείτε το σχήμα 19. Αυτό το εμβαδόν μπορεί να είναι περιορισμένο
από οποιοδήποτε είδος ορίου. Αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις γεωδεσικές της σφαίρας. Ονομάστε S το
εμβαδόν της σφαίρας και s το γκρι εμβαδόν, μέσα στο τρίγωνο.
(19)
Πάνω, είδαμε ότι η (θετική) απόκλιση από το ευκλείδειο
άθροισμα (180°), για ένα τρίγωνο σχεδιασμένο σε μια επιφάνεια, εξαρτάται από τον αριθμό
των κορυφών κώνων που ήταν μέσα. Το άθροισμα ήταν 180° συν όλες τις γωνίες
που αντιστοιχούσαν σε αυτές τις περικλειόμενες κορυφές.
Αντιστρόφως, αν μετρήσω την απόκλιση από το ευκλείδειο
άθροισμα, μπορώ να μετρήσω την ποσότητα καμπυλότητας που περιέχεται μέσα στο τρίγωνο.
Μια γεωδεσική μιας σφαίρας ονομάζεται μέγιστος κύκλος της
σφαίρας. Δείτε το σχήμα (20). Οι μεσημβρινές, ο ισημερινός, είναι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας.
(20)
Μπορούμε να κόψουμε τη σφαίρα μας σε οκτώ ίσα εμβαδόν κομμάτια. Δείτε
το σχήμα (21). Λαμβάνουμε οκτώ τρίγωνα των οποίων οι τιμές όλων των γωνιών είναι 90°.
Τότε η απόκλιση από το ευκλείδειο άθροισμα είναι 90°. Κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα περιέχει
μια γωνιακή καμπυλότητα ίση με 90°. Ως συμπέρασμα, η συνολική καμπυλότητα,
η συνολική γωνιακή καμπυλότητα της σφαίρας είναι 8 x
90° = 720° = 4 p.
(21)
Κάθε γκρι τρίγωνο περιέχει p/2
.
Σας αρέσουν οι καμπύλες επιφάνειες, η γεωμετρία των ριμανικών επιφανειών
;
Αν επιστρέψουμε στον blunt κώνο μας, βλέπουμε ότι η γωνιακή
καμπυλότητα περιέχεται μέσα στο κυκλικό όριο, στην περιοχή σταθερής πυκνότητας καμπυλότητας. Η πλευρά, ο τοίχος, του κώνου δεν είναι μια περιορισμένη επιφάνεια. Μπορείτε να την επεκτείνετε
στο άπειρο αν θέλετε. Η ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας δεν εξαρτάται
από την περίμετρο του ορίου, από το εμβαδόν του τμήματος της σφαίρας. Αυτό το τελευταίο μπορεί να μειωθεί. Δείτε το σχήμα (22). Ακόμα και μειωμένο σε ένα απλό σημείο όπου
θα περιέχει την ίδια ποσότητα γωνιακής καμπυλότητας. Γι' αυτό λέμε ότι
μια κωνική κορυφή ήταν ένα σημείο συγκεντρωμένης καμπυλότητας. Αντιστρόφως μπορούμε να κατασκευάσουμε
λείες επιφάνειες με ένα σύνολο κωνικών σημείων.
Η ύλη αποτελείται από άτομα. Τα άτομα μπορούν να θεωρηθούν ως σημειοειδή
αντικείμενα. Είναι «σημεία συγκεντρωμένης καμπυλότητας» στον 3D χώρο.
Ο αέρας που αναπνέετε είναι ένα μέσο σταθερής πυκνότητας. Αποτελείται από μόρια, άτομα. Είναι ένα σύνολο σημείων συγκεντρωμένης καμπυλότητας, συνδεδεμένα
με ευκλείδεια τμήματα του χώρου. Το συσχετίζετε αυτό με ένα μέσο σταθερής
καμπυλότητας.
Την επόμενη φορά που θα αναπνέετε, σκεφτείτε το.
(22)
