| 6 |
Αρνητικοί κώνοι.
Ας κατασκευάσουμε τώρα αυτό που θα ονομάσουμε «αρνητικό κώνο». Για να κατασκευάσουμε
έναν θετικό κώνο, αφαιρέσαμε έναν τομέα από ένα επίπεδο. Εδώ προσθέτουμε έναν, που αντιστοιχεί
σε γωνία q :
(30)
Σε αυτή την επιφάνεια μπορούμε να σχεδιάσουμε γεωδαισιακές γραμμές, με την κολλητική μας
ταινία, και να φτιάξουμε ένα τρίγωνο με τρεις από αυτές. Αν μετρήσετε το άθροισμα των
γωνιών, θα δείτε ότι είναι 180°-q
. Θα πούμε ότι ορίζει μια συγκέντρωση αρνητικής καμπυλότητας.
Υπάρχουν αντικείμενα με αρνητική καμπυλότητα στο σπίτι σας.
Κάποια καθίσματα, για παράδειγμα : (30 bis)
Αν πάρουμε έναν δίσκο παίρνουμε το σχήμα (31) :
(31)
Φυσικά, αν το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις τρεις γεωδαισιακές
δεν περιέχει την κορυφή S, η οποία περιέχει όλη την (αρνητική) γωνιακή καμπυλότητα,
το άθροισμα θα είναι το ευκλείδειο άθροισμα : 180°.
Η σέλα του αλόγου.
Μπορείτε να κατασκευάσετε έναν μεγάλο αριθμό στοιχειωδών
αρνητικών κώνων
με γωνία - Dq
και να τους ενώσετε. Μπορείτε να το κάνετε αυτό ώστε να έχετε μια σχεδόν σταθερή απόσταση
μεταξύ δύο γειτονικών κορυφών. Τότε θα κατασκευάζατε μια επιφάνεια σταθερής αρνητικής
πυκνότητας καμπυλότητας : μια σέλα αλόγου. Αλλά αυτή η επιφάνεια δεν θα
κλείσει ποτέ.
Γενικά ο γεωμέτρης την αποκαλεί επιφάνεια σταθερής αρνητικής
καμπυλότητας.(32)
«Αμβλύς αρνητικός κώνος».
Σε μια προηγούμενη ενότητα, χρησιμοποιώντας μια επιφάνεια σταθερής θετικής πυκνότητας
καμπυλότητας (ένα τμήμα σφαίρας) και ένα τμήμα θετικού κώνου, κατασκευάσαμε
έναν αμβλύ θετικό κώνο.
Παρομοίως μπορούμε να κατασκευάσουμε αυτό που θα ονομάσουμε αμβλύ αρνητικό κώνο.
Πρέπει να ενώσουμε μια σέλα αλόγου με ένα τμήμα αρνητικού κώνου, κατά μήκος του κοινού
κυκλικού τους ορίου. Για να διαχειριστούμε τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου, η
(αρνητική) καμπυλότητα που περιέχεται στη σέλα αλόγου πρέπει να είναι ίση με την αρνητική
καμπυλότητα που εμπλέκεται στην κατασκευή του αρνητικού κώνου.
Είναι σχετικά εύκολο να κατασκευάσετε το απαιτούμενο τμήμα
ενός αρνητικού κώνου !
(33)
ΣΗΜ : Όπως ο θετικός κώνος, ο αρνητικός κώνος μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μήτρα
εκτύπωσης. Αλλά δύσκολα μπορούμε να δούμε πώς να κυλήσουμε έναν αρνητικό κώνο σε ένα επίπεδο επίπεδο. Είναι
επομένως ευκολότερο να κυλήσουμε το επίπεδο σε μια μήτρα αρνητικής καμπυλότητας.
Ο Γουτεμβέργιος εφηύρε την τεχνική της εκτύπωσης. Ένα σχέδιο σε
ανάγλυφο χαράσσεται σε ένα επίπεδο. Έπειτα βάζει κανείς μελάνι πάνω του και το πιέζει σε ένα
επίπεδο.
Αργότερα η μήτρα εκτύπωσης μετατράπηκε σε κύλινδρο,
για την εκτύπωση εφημερίδων (περιστροφικός πιεστήρας).
Αλλά κανείς, απ' όσο γνωρίζω, δεν χρησιμοποίησε την κωνική πρέσα.
Σε όλες τις περιπτώσεις, το σημαντικό σημείο είναι να φέρουμε τις δύο επιφάνειες
σε επαφή, ό,τι κι αν κάνει κανείς. Είτε μετακινείτε τη μήτρα, είτε κυλάτε το
χαρτί (την επίπεδη επιφάνεια).
Όπως φαίνεται στο σχήμα (34) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια κωνική μήτρα για να
εκτυπώσετε κάτι σε ένα επίπεδο. Κάποια κωνική εφημερίδα, απλωμένη επίπεδη.
(34)
Δεν είναι οριστικά βέβαιο ότι κανείς δεν θα το χρησιμοποιήσει,
κάποια μέρα. Υποθέστε ότι θέλετε να παράγετε ρόμπες, με ένα ειδικό σχέδιο, που αντιστοιχεί
σε κωνική συμμετρία. Υποθέστε ότι πρέπει να παράγετε χιλιάδες τέτοιες ρόμπες.
Θα μπορούσατε να χαράξετε το αρχικό σχέδιο σε μια κωνική μήτρα και μετά να τη χρησιμοποιήσετε
για να εκτυπώσετε στο υλικό ή το ύφασμα. Ο πελάτης θα μπορούσε να το αγοράσει και να φτιάξει
τη «κωνική» ρόμπα, όντας σίγουρος ότι το σχέδιο που θα προκύψει θα ήταν καλό, σε
όλη την έκταση.
Στο σχήμα (35) είναι αυτό που παίρνετε αν εκτυπώσετε με μια μήτρα αρνητικής
καμπυλότητας. Στα δεξιά ένας αρνητικός κώνος απλωμένος επίπεδος.
(35)
Στο σχήμα (36) δείχνει πώς να ενώσετε τη σέλα αλόγου με
το τμήμα του αρνητικού κώνου.
Παρεμπιπτόντως, μπορεί να ρωτήσετε :
- Πώς μπορώ να μετρήσω την αρνητική γωνιακή καμπυλότητα που περιέχεται
στη σέλα αλόγου μου ;
Σε μερικά μέρη του Τέξας, κοντά σε μαθηματικά τμήματα,
όταν αγοράζετε μια σέλα αλόγου, η αντίστοιχη γωνιακή καμπυλότητα υποδεικνύεται
στο συνοδευτικό απόκομμα. Αν όχι, όταν συγκρίνετε την περίμετρο του ορίου,
ή το εμβαδόν, με την ευκλείδεια τιμή, που υπολογίζεται από την ακτίνα αυτού του δίσκου
αρνητικής καμπυλότητας, μπορείτε να συμπεράνετε την αντίστοιχη γωνιακή καμπυλότητα. Θεωρήστε
το αυτό ως μια γόνιμη άσκηση.
(36)
(37)
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κολλητική μας ταινία, να σχεδιάσουμε γεωδαισιακές και να το προβάλουμε
σε ένα επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα (38).
(38)
Ως συνήθως αυτή η επίπεδη προβολή αναφέρεται στον «νοητικό μας κόσμο»,
τον τοίχο του σπηλαίου του Πλάτωνα. Η όψη της προβαλλόμενης γεωδαισιακής θα σήμαινε
για μας ότι κάποια απωστική δύναμη δρα στα αντικείμενα αναφοράς μας, για παράδειγμα
μια απωστική βαρυτική δύναμη . Στην πραγματικότητα, όλα αυτά θα έπρεπε να προέρχονται από
την υποκείμενη γεωμετρία.
