| 7 |
Συζυγείς γεωμετρίες.
Μπορούμε τώρα να συσχετίσουμε έναν αμβλύ ποζικόνο και έναν αμβλύ νεγκακόνο.
Το ένα απέναντι στο άλλο: ένα τμήμα σφαίρας και μια σέλα αλόγου, με αντίθετες
γωνιακές καμπυλότητες + q
και - q. Έχουμε μια αντιστοιχία σημείου
προς σημείο (ενέσιμη απεικόνιση). Στο σχήμα (39) έχει σχεδιαστεί ένα ζεύγος συζυγών
σημείων.
Ονομάζουμε συζυγείς γεωμετρίες δύο γεωμετρικές δομές,
με σύνδεσμο σημείου προς σημείο, τέτοιες ώστε οι τοπικές πυκνότητες καμπυλότητας να είναι αντίθετες.
Αυτό συμβαίνει για το τμήμα της σφαίρας και την αντίστοιχη σέλα
αλόγου. Το ίδιο ισχύει για το τμήμα του ποζικόνου, απέναντι σε ένα τμήμα
νεγκακόνου. Οι τοπικές πυκνότητες γωνιακής καμπυλότητάς τους είναι μηδέν.
(39)
Η θετική καμπυλότητα, στην πτυχή F, περιέχεται εξ ολοκλήρου
στο τμήμα της σφαίρας. Το τμήμα του ποζικόνου είναι μια ευκλείδεια επιφάνεια,
η οποία είναι «τοπικά επίπεδη». Στην άλλη πτυχή F*, τη συζυγή πτυχή, όλη η
(αρνητική) γωνιακή καμπυλότητα περιέχεται στη σέλα αλόγου. Έξω, το
τμήμα του νεγκακόνου είναι «τοπικά επίπεδο», δεν περιέχει καμπυλότητα.
Προσέξτε ότι, δεδομένης μιας πτυχής, μπορείτε να κατασκευάσετε την άλλη.
Γενική Σχετικότητα.
Η βασική ιδέα είναι ότι το τοπικό περιεχόμενο «ύλης-ενέργειας»
καθορίζει την τοπική γεωμετρία, διαμορφώνει την υπερεπιφάνεια του χωροχρόνου. Προσέξτε
τη σύνθετη λέξη «ύλη-ενέργεια», που δείχνει ότι οποιοδήποτε περιεχόμενο καθορίζει
τη γεωμετρία του σύμπαντος: ύλη και ακτινοβολία. Σε προηγούμενη
ενότητα αναφέραμε το γεγονός ότι τα φωτόνια συμβάλλουν στη (θετική) καμπυλότητα.
Σήμερα η συμβολή του κοσμικού υποβάθρου είναι αμελητέα. Η συμβολή της ύλης
στη γεωμετρία είναι κυρίαρχη. Αλλά, στο μακρινό παρελθόν, η κατάσταση ήταν αντεστραμμένη
: στο Καθιερωμένο Μοντέλο, όταν t < 500.000 χρόνια.
Ας αναζητήσουμε κάποιο διδακτικό μοντέλο για να απεικονίσουμε τις
βασικές έννοιες της γενικής σχετικότητας. Ας ασχοληθούμε με συστήματα σταθερής κατάστασης.
Θεωρήστε μια επίπεδη επιφάνεια, χωρίς εσωτερική τάση. Μπορούμε να τροποποιήσουμε τη γεωμετρία της
αν εισαγάγουμε τοπική τάση. Μπορούμε να εισαγάγουμε θετική ή αρνητική τάση
(τανυστή τάσης). Για παράδειγμα, αν θερμάνω ένα πλαστικό φιλμ, θα δημιουργήσω μια φουσκάλα
(φαινόμενο θετικής καμπυλότητας)
Μπορώ επίσης να εμποτίσω το υλικό με ένα προϊόν το οποίο,
όταν στεγνώσει, θα προκαλέσει τοπική διάταση (φαινόμενο αρνητικής καμπυλότητας).
Ένας λεβητοποιός ξέρει πώς να χρησιμοποιεί θέρμανση και ψύξη
για να διαμορφώσει μια μεταλλική επιφάνεια, για παράδειγμα, ένα κουτί που έχει υποστεί ατύχημα.
Πάρτε έναν απλό μεταλλικό σωλήνα. Ας τον θερμάνουμε στη μία πλευρά
και ας τον ψύξουμε στην αντίθετη πλευρά. Τι θα συμβεί;
(40)
Η τάση θα λυγίσει τον σωλήνα, όπως φαίνεται στο σχήμα (41).
(41)
Έχουμε εισαγάγει τάσεις στο μέταλλο. Αυτή είναι η
προέλευση της λέξης τανυστής στα μαθηματικά, στην αντοχή των υλικών και στη γεωμετρία.
Ο ειδικός στην αντοχή των υλικών θα μιλήσει με όρους τανυστή τάσης. Ο γεωμέτρης θα επικαλεστεί τον τανυστή καμπυλότητας. Ο ειδικός
της γενικής σχετικότητας θα εφαρμόσει τη βασική αρχή:
τοπικό περιεχόμενο ενέργειας-ύλης
<-------> τοπική γεωμετρία
Φυσικά, αυτό το τοπικό περιεχόμενο ενέργειας-ύλης καθορίζει
την τοπική γεωμετρία μιας υπερεπιφάνειας 4 διαστάσεων. Αλλά η ιδέα είναι παρόμοια.
Πώς να το γράψουμε αυτό; Χρησιμοποιώντας αυτό που οι μαθηματικοί ονομάζουν τανυστές.
Είναι δύσκολο να προχωρήσουμε περισσότερο προς αυτή την κατεύθυνση, χωρίς
να αναπτύξουμε ένα πλήρες μάθημα διαφορικής γεωμετρίας. Η περίφημη
εξίσωση του Αϊνστάιν είναι:
(42)
S = c
T
Το c είναι μια απλή σταθερά (που ονομάζεται
σταθερά του Αϊνστάιν). Εξαρτάται από τις τιμές δύο άλλων σταθερών:
-
Την ταχύτητα του φωτός c.
-
Τη σταθερά της βαρύτητας G.
μέσω:
(42bis)
Το S είναι ένας γεωμετρικός τανυστής και αναλαμβάνει τα
γεωμετρικά χαρακτηριστικά.
Το T είναι ένας άλλος τανυστής, που περιγράφει το τοπικό περιεχόμενο
του σύμπαντος. Σε αυτόν τον τανυστή θα βρείτε την πυκνότητα ύλης r
και την πίεση p. Εκφράζονται ως πυκνότητες ενέργειας.
r c2
είναι μια πυκνότητα ενέργειας
Αλλά και το p είναι μια πυκνότητα ενέργειας. Συνήθως εκφράζει κανείς μια
πίεση ως πασκάλ ανά τετραγωνικό μέτρο. Αλλά ένα πασκάλ ανά τετραγωνικό μέτρο είναι επίσης
ένα τζάουλ ανά κυβικό μέτρο. Μια πίεση είναι βασικά μια ογκομετρική πυκνότητα ενέργειας.
Τα πεδία
r (x,y,z) και p
(x,y,z)
για ένα σύστημα σταθερής κατάστασης, αποτελούν τα δεδομένα εισόδου του προβλήματος.
Από αυτά τα βαθμωτά πεδία μπορούμε να κατασκευάσουμε τον τανυστή T. Τότε το ερώτημα
γίνεται:
- Ποια είναι η γεωμετρία που ταιριάζει με ένα τέτοιο πεδίο τανυστή
T (x,y,z), το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση (42);
Δεδομένου του τοπικού περιεχομένου του Σύμπαντος, ο θεωρητικός
πρέπει να κατασκευάσει την τοπική γεωμετρία της υπερεπιφάνειας του χωροχρόνου. Αλλά, για ποιο σκοπό;
Εδώ χρησιμοποιείται η δεύτερη βασική υπόθεση:
- Όλα τα αντικείμενα που συνθέτουν το σύμπαν μας ακολουθούν
γεωδαισιακές της υπερεπιφάνειας του χωροχρόνου.
Ένα αντικείμενο μπορεί να είναι ένα αστέρι, ένας πλανήτης, ένα άτομο, ένα φωτόνιο, ένα
στοιχειώδες σωματίδιο.
Τα σωματίδια προκύπτουν από την εξίσωση πεδίου; Καθόλου. Η γενική
σχετικότητα τα αγνοεί εντελώς. Για τον ειδικό της γενικής
σχετικότητας, το σύμπαν είναι ένα συνεχές, τίποτα άλλο. Οι συναρτήσεις εισόδου
r και p αντιστοιχούν
σε μια μακροσκοπική περιγραφή του σύμπαντος. Το ίδιο για την έξοδο: το γεωδαισιακό
σύστημα. Για τον θεωρητικό της γενικής σχετικότητας, το Σύμπαν είναι μια υπερεπιφάνεια,
τίποτα άλλο. Λέει:
- Μου δώσατε συναρτήσεις r (x,y,z)
και p (x,y,z). Σας έχω
κατασκευάσει την κατάλληλη υπερεπιφάνεια, η οποία υπακούει στην εξίσωση πεδίου. Έχω
προσδιορίσει όλες τις δυνατές διαδρομές: το γεωδαισιακό σύστημα. Αλλά είμαι εντελώς
ανίκανος να σας κατασκευάσω σωματίδια. Συγγνώμη. Δείτε άλλο τμήμα.
Συνοψίζοντας: η γέφυρα μεταξύ της γενικής σχετικότητας και
του κόσμου των στοιχειωδών σωματιδίων περιμένει ακόμη τον κατασκευαστή της.
Αλλά ο αστρονόμος θα πει:
- Και τι έγινε; Τα φωτόνια υποτίθεται ότι ακολουθούν
ιδιαίτερες γεωδαισιακές αυτής της υπερεπιφάνειας. Λειτουργεί: μπορώ να παρατηρήσω πράγματα με
οπτικές συσκευές. Οι πλανήτες επίσης υποτίθεται ότι ακολουθούν ένα άλλο είδος γεωδαισιακών.
Λειτουργεί επίσης. Μπορώ να υπολογίσω τις τροχιές τους, να προβλέψω τη μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή. Υπάρχει επίσης το φαινόμενο του βαρυτικού φακού.
Έχει δίκιο.
Λίγα λόγια για αυτό το βαρυτικό φαινόμενο. Πρώτα απ' όλα,
αυτή η εικόνα του αμβλέος κώνου είναι μια απλή διδακτική εικόνα. Για παράδειγμα, δεν μπορεί
να περιγράψει τις κυκλικές τροχιές ενός πλανήτη γύρω από ένα αστέρι:
(43)
Αυτό απλώς δείχνει το όριο των διδακτικών εικόνων. Αλλά μπορούμε
να χρησιμοποιήσουμε αυτό το τελευταίο παράδειγμα για να απεικονίσουμε το φαινόμενο του βαρυτικού φακού, με
δύο γεωδαισιακές:
(44)
Παρακάτω, η νοητική, ευκλείδεια αναπαράσταση του χώρου.
Υπάρχει ένα φαινόμενο αντικατοπτρισμού. Αντί για ένα μόνο αντικείμενο, ο παρατηρητής βλέπει δύο «βαρυτικούς
αντικατοπτρισμούς».
