| 8 |
Το συντεταγμενικά αναλλοίωτο φορμαλισμό.
Αυτή είναι μια άλλη λέξη-κλειδί της γενικής σχετικότητας. Είχαμε πει ότι το έργο του κοσμολόγου είναι ισοδύναμο με αυτό που συνίσταται στην πρόβλεψη του σχήματος ενός υλικού, λόγω εσωτερικών τάσεων.
Πάρτε ένα αντικείμενο, η τοπολογία του οποίου είναι αυτή της σφαίρας. Είναι μια σφαίρα από μέταλλο. Εδώ πάλι θα μπορούσαμε να το διαμορφώσουμε, με ροές θερμού και ψυχρού αέρα.
(45)
Αυτές οι ροές δημιουργούν τάση στο μέταλλο, η οποία τροποποιεί το σχήμα του. Φυσικά, καθώς η θερμότητα διαδίδεται στο μέταλλο, αν σταματήσουμε την θέρμανση και την ψύξη, η θερμοκρασία της σφαίρας επιστρέφει στην ομοιογένεια και η όψη της γίνεται ξανά κανονική.
Δημιουργούμε τάση στο υλικό, η οποία τροποποιεί τη γεωμετρία του.
Αυτό το πεδίο τάσης μπορεί να περιγραφεί από ένα μαθηματικό αντικείμενο που ονομάζεται τανυστής T.
Η γεωμετρία του αντικειμένου θα μπορούσε να υπολογιστεί από μια εξίσωση πεδίου, παρόμοια με την εξίσωση του Αϊνστάιν.
(46)
S = a T
όπου a είναι μια σταθερά και S ένας γεωμετρικός τανυστής, ο οποίος περιγράφει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά.
Ο καλύτερος τρόπος για να «διαβάσει» κανείς τη λύση θα ήταν να υπολογίσει το γεωδαιτικό σύστημα. Γνωρίζουμε τις γεωδαιτικές της σφαίρας, αλλά οι γεωδαιτικές ενός αυγού είναι διαφορετικές. Για να εκφράσουμε αυτές τις γεωδαιτικές χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Για μια σφαίρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα (q,j):
(47)
Σε αυτό το peculiar σύστημα συντεταγμένων, η γεωδαιτική της σφαίρας μπορεί να εκφραστεί σε μια peculiar μορφή. Για παράδειγμα, οι καμπύλες:
q = σταθερό (μεσημβρινές)
είναι γεωδαιτικές. Αλλά οι καμπύλες
j = σταθερό (παράλληλοι)
δεν είναι γεωδαιτικές καμπύλες αυτής της επιφάνειας.
Θα μπορούσαμε να ορίσουμε ένα παρόμοιο σύστημα συντεταγμένων στην επιφάνεια «αυγό». Αλλά κάτι είναι προφανές: Το γεωδαιτικό σύστημα υπάρχει ανεξάρτητα από τη μαθηματική του αναπαράσταση (σε ένα δεδομένο, peculiar σύστημα συντεταγμένων).
Το γεωδαιτικό σύστημα είναι συντεταγμενικά αναλλοίωτο.
Ένα άλλο παράδειγμα είναι πολύ απλούστερο. Θεωρήστε τις γεωδαιτικές ενός επίπεδου φύλλου. Είναι ευθείες γραμμές. Μπορούμε να περιγράψουμε αυτές τις ευθείες γραμμές σε καρτεσιανές συντεταγμένες:
(48)
Μπορούμε επίσης να περιγράψουμε αυτή την οικογένεια γεωδαιτικών σε πολικές συντεταγμένες. Τότε οι εξισώσεις είναι εντελώς διαφορετικές, αλλά αναφέρονται στην ίδια οικογένεια ευθειών γραμμών. Αυτές οι ευθείες γραμμές, γεωδαιτικές του επίπεδου φύλλου, υπάρχουν ανεξάρτητα από τις επιλεγμένες συντεταγμένες. Είναι συντεταγμενικά αναλλοίωτα αντικείμενα.
Οι εξισώσεις δεν είναι ένα εγγενές χαρακτηριστικό.
Υπάρχει κάτι που δεν αλλάζει όταν μεταβαίνουμε από ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο;
Ναι: η γεωδαιτική διαδρομή, μεταξύ δύο σημείων M1 και M2, δεν αλλάζει. Το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε γραμμή σχεδιασμένη στην επιφάνεια. Η επιφάνεια, τα σημεία, η καμπύλη που τα ενώνει, υπάρχουν ανεξάρτητα από τις επιλεγμένες συντεταγμένες. Το ίδιο ισχύει για το μήκος της διαδρομής μεταξύ M1 και M2. Αυτό ισχύει επίσης για ένα γεωδαιτικό τόξο, που είναι μια peculiar γραμμή που ενώνει δύο σημεία:
(49)
Παρεμπιπτόντως, αυτή η γεωδαιτική διαδρομή είναι επίσης μια διαδρομή ακρότατης τιμής (για παράδειγμα η συντομότερη, shown εκεί).
Αυτό είναι παρόμοιο για την υπερ επιφάνεια του χωροχρόνου, η οποία κατέχει το δικό της σύστημα γεωδαιτικών, επίσης συντεταγμενικά αναλλοίωτο. Σε αυτή την υπερ επιφάνεια, ένα μήκος s υπάρχει, το οποίο ανήκει στο αντικείμενο και είναι ανεξάρτητο από το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων.
Το δύσκολο σημείο είναι ότι ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι ανεξάρτητα μεγέθη. Δεν ζούμε σε έναν 3d χώρο, με σημεία (x, y, z). Ανήκουμε σε μια 4d-υπερ επιφάνεια η οποία περιγράφεται πλήρως από το σύστημα γεωδαιτικών της. Θεωρήστε δύο διακριτά σημεία αυτής της υπερ επιφάνειας M1 και M2.
Τέτοια σημεία μπορούν να περιγραφούν σε ένα δεδομένο σύστημα τεσσάρων συντεταγμένων:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1)
M2 ---> (x2, y2, z2, t2)
Αυτά τα σημεία ονομάζονται γεγονότα. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη γεωδαιτική καμπύλη που τα συνδέει, αν υπάρχουν. Τέτοια γεγονότα δεν είναι identical. Μεταξύ των δύο μπορούμε να μετρήσουμε μια απόσταση s, η οποία είναι συντεταγμενικά αναλλοίωτη. Αυτό το μήκος ονομάζεται:
ιδιος χρόνος s
Υποθέστε ότι εσείς και εγώ χρησιμοποιούμε ένα διαστημόπλοιο για να ταξιδέψουμε, από ένα σημείο M1 σε ένα άλλο σημείο M2, located in space time.
s είναι η μέτρηση του χρόνου στο ρολόι μας στο σκάφος.
Εσείς θα υποστηρίξετε:
- Αλλά ο χώρος υπάρχει, σωστά;
- Προσέξτε. Αυτός ο ορισμός αυτού που ονομάζουμε χώρο και «απόλυτο χρόνο» αντιστοιχεί σε μια arbitrary επιλογή. Είναι απλώς κάποιο convenient τρόπος για να «διαβάσει» κανείς την επιφάνεια, όπως όταν γράψαμε την εξίσωση των ευθειών γραμμών, σε ένα επίπεδο φύλλο, σε δύο διαφορετικές εξισώσεις. Το μόνο πράγμα που δεν αλλάζει, που είναι συντεταγμενικά αναλλοίωτο, είναι το διάστημα ιδίου χρόνου Δt μεταξύ δύο γεγονότων που συνδέονται από ένα άλλο συντεταγμενικά αναλλοίωτο αντικείμενο: μια γεωδαιτική γραμμή. Ο λεγόμενος «απόλυτος χρόνος» t δεν είναι παρά ένα somewhat arbitrary χρονολογικό marker.
Αλλάζοντας το σύστημα συντεταγμένων σας, αλλάζετε την ανάγνωση των γεγονότων. Στα έγγραφα που θα παρουσιάσουμε σε αυτήν την ιστοσελίδα θα δείτε ότι αυτό είναι ένα πραγματικό πρόβλημα.
Πάντως, καταλαβαίνετε γιατί οι φυσικοί και οι μαθηματικοί έχουν επιλέξει ένα συντεταγμενικά αναλλοίωτο φορμαλισμό, βασισμένο σε τανυστές.
Οι εξισώσεις σε μορφή τανυστών είναι συντεταγμενικά αναλλοίωτες.
Αυτό είναι το πνεύμα της γενικής σχετικότητας. Αλλά, εκτός από τη χρήση sophisticated hardware, είναι δύσκολο να σας πω περισσότερα για αυτό.
