| 9 |
Το πρόβλημα των ιδιομορφιών.
Σε μια σφαίρα, αν επιλέξετε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων,
δεν μπορείτε να αποφύγετε τις ιδιομορφίες (για παράδειγμα δύο πολικές ιδιομορφίες):
(50)
Παρατηρήστε ότι μπορείτε να χαρτογραφήσετε μια σφαίρα με μία μόνο «πολική ιδιομορφία».
Κόψτε τη σφαίρα με αυτή την πρώτη οικογένεια επιπέδων, που διέρχεται από την ίδια ευθεία:
(51)
Στη συνέχεια, εισάγετε τη δεύτερη οικογένεια επιπέδων, η οποία τέμνει
επίσης τη σφαίρα.
(52)
Εάν εξαιρέσουμε αυτόν τοπικό «χαμό», αλλού δεν υπάρχει πρόβλημα.
Κοιτάζοντας τη σφαίρα από την άλλη πλευρά, λαμβάνετε αυτό:
(53)
Αλλά, στα σημεία S, οι τιμές του a
και του b δεν είναι απλώς
ορισμένες!
Ωστόσο, μια σφαίρα είναι ουσιαστικά μια κανονική επιφάνεια. Γυρίστε
ένα αυγό στο χέρι σας: δεν θα ανακαλύψετε κανένα peculiar σημείο, καμία
εγγενής ιδιομορφία.
(54)
Συμπέρασμα: αυτές οι ιδιομορφίες είναι ένα τεχνουργήμα που
οφείλεται στην επιλογή των συντεταγμένων.
Αυτές οι πολικές ιδιομορφίες δεν είναι «πραγματικές», δεν είναι εγγενείς
ιδιομορφίες. Επιλέγετε ένα σύστημα συντεταγμένων. Τότε ένα αυθαίρετο σημείο,
ή δύο, γίνεται ιδιόμορφο. Οι δύο ιδιομορφίες μιας χαρτογραφημένης σφαίρας: ο βόρειος
πόλος και ο νότιος πόλος, είναι μια καθαρή δημιουργία της επιλογής του συστήματος
συντεταγμένων, ένα τεχνουργήμα.
