| 10 |
Αντιθέτως, υπάρχουν πραγματικές εγγενείς ανωμαλίες, πάνω σε επιφάνειες.
Είναι αληθινές γεωμετρικές ανωμαλίες :(55)
(56)
(57)
Και ούτω καθεξής...
Παρεμπιπτόντως, μια πτυχή είναι μια ιδιάζουσα περιοχή μιας επιφάνειας όπου συγκεντρώνεται η γραμμική καμπυλότητα. Στο σχήμα (57), αριστερά, έχουμε μια αρνητική γραμμική καμπυλότητα. Στα δεξιά μια θετική γραμμική καμπυλότητα.
Χρησιμοποιήσαμε σε κάθε υπο-σχήμα δύο τμήματα μιας σφαίρας. Το συνολικό αντικείμενο έχει την ίδια τοπολογία με τη σφαίρα, που σημαίνει ότι η συνολική γωνιακή του καμπυλότητα είναι 4π.
Ας υποθέσουμε ότι το αντικείμενο στα αριστερά ήταν κατασκευασμένο με δύο τμήματα σφαιρών που περιέχουν, το καθένα, μια γωνιακή καμπυλότητα 3π.
3π + 3π = 6π
Αυτό είναι υπερβολικό. Τότε η (αρνητική) γραμμική καμπυλότητα πρέπει να το εξισορροπήσει, για να δώσει την τελική απαιτούμενη τιμή 4π :
Ως συμπέρασμα η πτυχή μας περιέχει μια αρνητική καμπυλότητα :
- 2π.
Αυτή η καμπυλότητα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη κατά μήκος της κυκλικής καμπύλης, κατά μήκος της πτυχής.
Επιστρέψτε στα σχήματα (57). Έχουμε σχεδιάσει τρίγωνα, κατασκευασμένα με γεωδαισιακές γραμμές. Αλλά μπορείτε να διασχίσετε μια πτυχή χωρίς κανένα πρόβλημα με μια (στενή) κολλητική ταινία. Ξέρετε πώς να υπολογίζετε, να προβλέπετε το άθροισμα των τριών γωνιών του τριγώνου. Απλώς χρειάζεται να συγκρίνετε το εμβαδόν του τριγώνου με το εμβαδόν της σφαίρας. Η περίσσεια καμπυλότητας είναι :
(58)
Αλλά πρέπει να λάβετε υπόψη την (αρνητική ή θετική) καμπυλότητα που περιέχεται στο τμήμα της πτυχής, στο τόξο mn. Είναι :
(59)
Ας υποθέσουμε ότι ένα είδος φακού, στα δεξιά του σχήματος (57) είναι κατασκευασμένος από δύο τμήματα μιας σφαίρας, που το καθένα περιέχει μια γωνιακή καμπυλότητα π. Επομένως, αν ξεχάσουμε την πτυχή, αυτό το σύνολο δύο τμημάτων μιας σφαίρας περιέχει μια γωνιακή καμπυλότητα 2π. Αλλά αυτός ο φακός έχει σφαιροειδή τοπολογία. Η συμβολή της γωνιακής καμπυλότητας πρέπει να είναι 2π. Τότε :
2π + 2π = 4π
( συνολική καμπυλότητα της σφαίρας )
Μπορείτε επίσης να προβλέψετε το άθροισμα αυτού του παράξενου τριγώνου, που σχηματίζεται από τρεις γεωδαισιακές γραμμές. Το τόξο mn περιέχει τη γραμμική γωνιακή καμπυλότητα :
(60)
Κατά τη μέτρηση της ποσότητας γωνιακής καμπυλότητας που περιέχεται στην πτυχή, μέσα στο τρίγωνο, μπορεί κανείς να μετρήσει την απόκλιση από το ευκλείδειο άθροισμα, που είναι π.
Βλέπετε ότι μπορείτε να χειριστείτε αυτά τα προβλήματα καμπυλότητας, πάνω σε επιφάνειες, σχετικά εύκολα.
Μια επιφάνεια μπορεί να έχει κωνικά σημεία, ή γραμμές πτυχής. Είναι εγγενείς ανωμαλίες, όχι αυτές οι τεχνητές ανωμαλίες, που οφείλονται σε κάποια επιλογή συντεταγμένων. Σημειώστε ότι μπορούμε να εξομαλύνουμε την πτυχή. Τότε παίρνουμε ένα φιστίκι :
(61)
Αυτό είναι παρόμοιο με την εξομάλυνση της σημειακής κορυφής ενός κώνου (συγκεντρωμένη γωνιακή καμπυλότητα), μετατρέποντας το αντικείμενο σε έναν αμβλύ κώνο (γωνιακή καμπυλότητα εμφανιζόμενη σε ένα τμήμα μιας σφαίρας).
Ας υποθέσουμε ότι τα δύο τμήματα σφαίρας, παραπάνω, στο σχήμα (61) αντιπροσωπεύουν τα 2/3 μιας σφαίρας, το καθένα, δηλαδή μια καμπυλότητα
(62)
Το γκρι τμήμα του "φιστικιού" περιέχει αρνητική καμπυλότητα. Συγκεκριμένα :
(63)
